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2012江苏省数学竞赛提优教案:第66讲


第 66 讲 覆盖 本节主要内容是图形覆盖与嵌入. 一、图形覆盖的定义: 平面闭图形指的是由平面上一条简单闭曲线及其围成的平面部分组成的图形. 所谓简单 闭曲线,就是自身不相交的封闭曲线.它作为图形的边界,而它围成的平面部分(不包括闭 曲线本身)称为平面图形的内部. 定义 1 设 M 和 N 是两个平面图形,若 M? N 或 M 经过运动变成 M',而 M'? N

,则称图形 M 可以覆盖图形 N,或 N 能被 M 覆盖,也说 N 嵌入 M. 设 M1,M2,?,Mn 是一组平面图形,若 M1?M2???Mn? N,或 M1,M2,?,Mn 各自经过运 动(施于每一个图形的运动不一定相同)分别变为 M1',M2',?,Mn',而 M1'?M2'???Mn'? N, 则称图形 M1,M2,?,Mn 可以覆盖图形 N,或 N 能被 M1,M2,?,Mn 覆盖. 二、图形覆盖的性质:覆盖的下述性质是十分明显的: ⑴ 图形 G 覆盖自身; ⑵ 图形 G 覆盖图形 E,图形 E 覆盖图形 F,则图形 G 覆盖图形 F. ⑶ 如果一条线段的两个端点都在一个凸图形内部,则此线段被此凸图形覆盖. 推论: 一个凸图形如果盖住了一个凸多边形的所有顶点, 则此凸多边形被此凸图形覆盖. 定义 2 设 F 是一个平面闭图形,我们称 F 的任意两点之间的距离的最大值为 M 的直径, 记为 d(F),即 d(F)=max{|AB|,A,B∈F}. 三、关于覆盖的三条原则:覆盖的以下三个原则是常用的: 原则 1 若图形 F 的面积大于图形 G 的面积,则图形 G 不能覆盖图形 F; 原则 2 直径为 d 的图形F不能被直径小于 d 的图形 G 所覆盖. 原则 3 (重叠原理) n 个平面图形的面积分别为 S1,S2,?,Sn,若它们被一个面积为 A 的平面图形完全覆盖,又 A<S1+S2+?+Sn,则此 n 个图形中至少有两个图形发生重叠. 这三个原则十分显然,不再证明. 四、用圆盘覆盖图形: 圆盘:圆及圆内部分构成圆盘. 定理 1 如果能在图形F所在平面上找到一点 O, 使得图形F中的每一点与 O 的距离都不 大于定长 r,则F可被一半径为 r 的圆盘所覆盖; 定理 2 对于二定点 A、B 及定角 α ,若图形 F 中的每点都在 AB 同侧,且对 A、B 视角 不小于 α ,则图形 F 被以 AB 为弦,对 AB 视角等于 α 的弓形 G 所覆盖; 在用圆盘去覆盖图形的有关问题的研究中,上述二定理应用十分广泛. 称覆盖图形 F 的圆盘中最小的一个为 F 的最小覆盖圆盘. 最小覆盖圆盘的半径叫做图形 F 的覆盖半径. A 类例题 例 1 △ABC 的最大边 BC 等于 a,试求出覆盖△ABC 的最小圆盘. 解:⑴若此三角形为钝角三角形或直角三角形,则以其最大边 a 为直径作圆,该圆盘可以覆盖此三角形,而任一直径小于 a 的圆 盘,则不能盖住此三角形,故覆盖直角三角形或钝角三角形的最小 圆盘是以其最大边为直径的圆盘.即覆盖△ABC 的最小圆盘的半径 1 = a. 2 ⑵ 若三角形 ABC 是锐角三角形,任取一个覆盖?ABC 的半径为 r 的圆盘 O,若 A、B、C 都不在圆上,连 OA、OB、OC,设 OA≥OB≥OC,则以 O 为圆心,OA 为半径作圆,该圆盘也能 覆盖?ABC,且 OA<r.即当三角形的顶点在圆内时,覆盖此三角形的圆一定不是最小圆盘. 现设 A 在⊙O 上,B、C 在圆上或圆内,且⊙O 的直径为d,△ABC 外接圆直径为 d0,延 长 CB、 BC 与圆

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