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数学选修2 (12)


§2.4 抛物线

2.4.1 抛物线及其标准方程

第1页 共 63 页

自学导引

(学生用书P47)

第2页 共 63 页

1.理解并掌握抛物线的定义?标准方程. 2.能根据有关条件利用待定系数法求抛物线的方程.

第3页 共

63 页

课前热身

(学生用书P47)

第4页 共 63 页

1.抛物线定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫 焦点 抛物线 做__________.定点F叫做抛物线的__________,定直线l 准线 叫做抛物线的__________.

第5页 共 63 页

2.抛物线的标准方程的特点: 抛物 线标 准方 程 y2=2px( y2=p>0) 2px(p>0) x2=2py (p>0) x2=2py(p>0)

图 形

第6页 共 63 页

焦 点

________

________
(? p , 0) 2

p ( , 0) 2

_________ _________ _ _ p p (0, ? ) (0, ) 2 2 _________ _________ _ _ p p y?? y? 2 2

准 线

___ ________ _____ p p x?? x? 2 2

第7页 共 63 页

名师讲解

(学生用书P47)

第8页 共 63 页

1.抛物线的定义及其标准方程 (1)抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则动点的轨迹不 是抛物线,而是过定点F与l垂直的一条直线.

(2)抛物线的定义中,指明了抛物线上的点到焦点的距离与到
准线距离的等价性,故二者可以相互转化. (3)在抛物线标准方程y2=2px(p>0)中,参数p的几何意义是:焦 点到准线的距离.焦点到顶点的距离等于顶点到准线的距 p 离都等于 . 2

第9页 共 63 页

(4)焦点在x轴上的抛物线方程可统一为y2=ax(a≠0),焦点在y 轴上的抛物线可统一为x2=ay(a≠0).

第10页 共 63 页

2.二次函数与抛物线的标准方程的关系 二次函数的图象是开口向上或开口向下的抛物线,因此抛 物线开口向左或向右不能认为是二次函数的图象, b 2 4ac ? b 2 二次函数y ? ax ? bx ? c ? a(x ? ) ? , 2a 4a b 4ac ? b 2 b 易知顶点坐标(? , ), 对称轴方程x ? ? , 2a 4a 2a 它是由y ? ax 2 (a ? 0)平移得到的而y ? ax 2的标准方程为 .
2

1 1 y,当a ? 0时, 开口向上, 顶点 ? 0, 0 ? , 焦点(0, ); a 4a 1 当a ? 0时, 开口向下, 顶点 ? 0, 0 ? , 焦点(0, ? ), 对称轴为y轴. 4a x2 ?

第11页 共 63 页

典例剖析

(学生用书P47)

第12页 共 63 页

题型一 利用抛物线的定义求方程 例1:若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则

动圆圆心的轨迹方程是(
A.y2=8x C.y2=4x 答案:A B.y2=-8x D.y2=-4x

)

第13页 共 63 页

解析:如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设可知定 圆圆心为C(2,0),半径r=1.∵两圆外切,∴|MC|=R+1.又动圆

M与已知直线x+1=0相切,∴圆心M到直线x+1=0的距离
d=R,∴|MC|=d+1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到 定直线x+2=0的距离.由抛物线的定义可知点M的轨迹为以

C为焦点,x+2=0为准线的抛物线,其方程为y2=8x.故正确答
案为A.

第14页 共 63 页

变式训练1:动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1, 则动点P的轨迹是( )

A.椭圆
C.双曲线一支

B.双曲线
D.抛物线

解析:将直线x=-2向左平移一个单位,由已知可得动点P到点 (3,0)的距离等于到直线x=-3的距离. 答案:D

第15页 共 63 页

题型二 求抛物线的标准方程 例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为?. 分析:首先需确定使用哪种标准方程形式,若无法确定,则应讨 论,然后由条件求p的值.

第16页 共 63 页

解 : (1) ?点(?3, 2)在第二象限,? 设抛物线的标准方程为y 2 ? ?2px(p ? 0) 或x 2 ? 2p1y (p1 ? 0), 则由抛物线过 ? ?3, 2 ? , 解得 4 9 4 2 2 p ? 或2 p1 ? ,? 所求抛物线方程为y ? ? x 3 2 3 9 2 或x ? y. 2

第17页 共 63 页

(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2, ∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时, 设抛物线方程为x2=-2py(p>0), p 则由 =2得p=4, 2 ∴所求抛物线方程为x2=-8y. ②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,

∴当抛物线的焦点为F(4,0)时,
设抛物线方程为y2=2px(p>0), p 则由 =4得p=8, 2 ∴所求抛物线方程为y2=16x. 综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.
第18页 共 63 页

(3)∵焦点到准线的距离为 ∴所求抛物线方程为:

5 ∴p= , 2

5 , 2

y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.

规律技巧:(1)抛物线的标准方程有四种形状,主要看其焦点的
位置和开口方向.(2)不知道焦点的具体位置时,标准方程有 两种一般形式:y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).

第19页 共 63 页

变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,-4); (2)焦点在直线x+3y+15=0上. 解:(1)∵点(3,-4)在第四象限,∴设抛物线标准方程为 y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).

把点(3,-4)的坐标分别代入
y2=2px和x2=-2p1y, 得(-4)2=2p\53,32=-2p1\5(-4),

第20页 共 63 页

? 2p ?

16 9 , ?2 p1 ? ? .故所求的抛物线方程 3 4 16 9 2 2 为y ? x或x ? ? y. 3 4

(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15.

∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
故所求的抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.

第21页 共 63 页

题型三 与抛物线有关的最值问题 例3:已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A的坐标为

(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小
值.

第22页 共 63 页

分析:由定义知,抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准 线的距离d,求|PA|与点P到x轴的距离之和的最小值,转化 成求|PA|+d- p 的最小值.
2

第23页 共 63 页

解:如下图,易判断知点A在抛物线外侧,设P(x,y),则P到x轴的 距离即y值,设P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.

第24页 共 63 页

故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d. 于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.

由图可知,当A?P?F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为13.故
所求距离之和的最小值为|FA|-1=12.

第25页 共 63 页

规律技巧:定义是解决问题的基础和灵魂,要善于思考定义和 应用定义,本题如果设P点坐标为(x,y),利用两点间距离公

式求解,无法得到答案.由抛物线定义可知,|PF|等于P点到
准线的距离,当P?A?F三点共线时,|PA|+|PF|的距离最小, 这体现了数学中的转化思想.

第26页 共 63 页

变式训练3:(2008·辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一 个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离 之和的最小值为(
17 A. 2 B.3 C. 5

)
9 D. 2

解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于 到焦点的距离.由图可知,P点,(0,2)点和抛物线的焦点(?,0)三 点共线时距离之和最小.

第27页 共 63 页

1 2 17 2 所以最小距离d ? (0 ? ) ? (2 ? 0) ? . 2 2

答案:A

第28页 共 63 页

题型四 抛物线的应用

例4:一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,
如下图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.

第29页 共 63 页

分析:要求拱宽a的最小值,需建立适当的坐标系,写出抛物线 方程,然后利用方程求解.

第30页 共 63 页

解 : 以拱顶为原点, 拱高所在直线为y轴, 建立直角坐标系, 如上图所示, 设抛物线方程为x 2 ? ?2py ? p ? 0 ? , a a 则点B的坐标为( , ? ),由于点B在抛物线上, 所以 2 4 a 2 a a ( ) ? ?2 p?(? ), p ? , 所以, 抛物线方程为x 2 ? ?ay. 2 4 2

第31页 共 63 页

0.64 将点E(0.8, y )代入抛物线方程, 得y ? ? . a a a 0.64 所以, 点E到拱底AB的距离为y ? (? ) ? ? ? 3. 4 4 a 解得a ? 12.21,? a取整数,? a的最小值为13.

第32页 共 63 页

规律技巧:这是抛物线的应用问题.解题时,可画出示意图,帮助 理解题意,转化为数学问题,作出解答.

第33页 共 63 页

变式训练4:某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水 面宽8 m,一木船宽4 m, 高2 m,载货后木船露在水面上的

部分高为? m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始
不能通航?

第34页 共 63 页

解 : 以拱桥的拱顶为坐标原点, 拱高所在直线为y轴, 建立如 图所示的直角坐标系, 设抛物线方程为x 2 ? ?2py ? p ? 0 ? , 由题意知, 点A(4, ?5)在抛物线x 2 ? ?2py (p ? 0)上, 16 所以16 ? ?2p ? ? ?5 ? , 2 p ? .所以抛物线方程为 5 16 2 x ? ? y (?4 ? x ? 4). 5 设水面上涨到船面两侧与抛物线拱桥接触于B?B?时, 16 船开始不能通航, 设B ? 2, y ? ,由于2 ? ? ? y. 5 5 3 所以y ? ? .所以水面与抛物线拱顶相距 | y | ? ? 2(m). 4 4
2

答:水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.
第35页 共 63 页

技能演练

(学生用书P49)

第36页 共 63 页

基础强化

第37页 共 63 页

1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是 ( )

A.圆
C.线段

B.抛物线
D.直线

解析:因为定点(3,5)在直线上,所以点的轨迹是直线. 答案:D

第38页 共 63 页

2.抛物线y2=8x的准线方程是( A.x=-2 B.x=-4

)

C.y=-2
答案:A

D.y=-4

第39页 共 63 页

解析:y2=8x=2·4x,∴p=4,准线方程为 x ? ?

p ? ?2. 2

第40页 共 63 页

3.抛物线x 2 ? ay的准线方程是y ? 2, 则实数a的值为( 1 1 A.8 B. ? 8 C. D. ? 8 8
答案:B
解析:x2=ay的准线方程为

)

a ,∴a=-8. y?? ?2 4

第41页 共 63 页

4.抛物线y ? 2x2的焦点坐标是( A. ?1, 0 ?
答案:C

) ? 1? D. ? 0, ? ? 4?

?1 ? B. ? , 0? ?4 ?
2 2

? 1? C. ? 0, ? ? 8?

1 解析 :由y ? 2x 得, x ? y. 2 ? 1? ? 焦点坐标为 ? 0, ? . ? 8?

第42页 共 63 页

5.顶点在原点, 坐标轴为对称轴的抛物线过点 ? ?2, 3 ? , 则它的方程是(
2

)

9 4 2 A.x ? ? y或y ? x 2 3 9 4 2 2 B. y ? ? x或x ? y 2 3 4 2 C.x ? y 3 9 2 D. y ? ? x 2
答案:B

第43页 共 63 页

解析 : 点(?2, 3)在第二象限, ? ? 设抛物线的标准方程为x 2 ? 2py (p ? 0)或y 2 ? ?2p1x(p1 ? 0), 把(?2, 3)代入, 得(?2) 2 ? 2p?3或9 ? ?2p1 ? ?2 ? , 4 9 ? 2p ? 或 ? 2 p ? ? , 3 2 故所求的抛物线方程为x 2 ? 4 9 y或y 2 ? ? x. 3 2

第44页 共 63 页

6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在 y2=8x 原点,且过点P(2,4),则该抛物线的方程为__________.

解析:设抛物线方程为y2=ax,又抛物线过点P(2,4),则 16=2a,∴a=8,

∴y2=8x.

第45页 共 63 页

7.(2008上海,6)若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则 -1 实数a=__________.

解析:由y2=4x得焦点F(1,0),代入直线方程得a+1=0.∴a=-1.

第46页 共 63 页

8.(2009·海南?宁夏卷)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点 在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB y2=4x 的中点,则抛物线C的方程为________.

第47页 共 63 页

解析:设抛物线方程为y2=ax(a≠0), 由方程组
? y ? x, ? 2 ? y ? ax,

得交点坐标为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)为AB的中点,从而a=4.

故所求抛物线方程为y2=4x.

第48页 共 63 页

能力提升

第49页 共 63 页

9.已知抛物线的焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的 距离为5,求m的值,抛物线标准方程和准线方程.
p 解 : 设所求的抛物线方程为x 2 ? ?2py ? p ? 0 ? , 则焦点为F (0, ? ). 2 ? M (m, ?3)在抛物线上, 且 MF ? 5,? m 2 ? 6 p, ? ? p ? 4, ? ? 解得 ? ? 2 p 2 ?m ? ?2 6. ? ? m ? (?3 ? ) ? 5, 2 ? ? m ? ?2 6, 抛物线方程为x 2 ? ?8y, 准线方程为y ? 2.

第50页 共 63 页

10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物 线的焦点处,已知灯口圆的直径为60 cm,灯深为40 cm,求 抛物线的标准方程和焦点位置. 解:如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使 反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口 直径.

第51页 共 63 页

设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0). 由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程,得 302=2p×40,即
p? 45 , 4

所求的抛物线标准方程为

45 y ? x ,焦点 2
2

45 ( , 0). 8

第52页 共 63 页

品味高考

第53页 共 63 页

11.(2010·福建卷)以抛物线y2=4x的焦点为圆心且过坐标原 点的圆的方程为( )

A.x2+y2+2x=0
C.x2+y2-x=0

B.x2+y2+x=0
D.x2+y2-2x=0

解析:∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0), ∴圆心坐标为(1,0),半径r=1, ∴圆的方程为(x-1)2+y2=1, 即x2+y2-2x=0. 答案:D
第54页 共 63 页

12.(2010? 辽宁卷)设抛物线y 2 ? 8x的焦点为F, 准线为l, P为抛物线上一点, PA ? l, A为垂足, 如果直线AF的斜率为 ? 3, 那么 PF ? ( A.4 3
答案:B

)

B.8 C.8 3

D.16

第55页 共 63 页

解析 : 抛物线y 2 ? 8x的焦点F ? 2, 0 ? , 准线l : x ? ?2, AF的方程为 y ? ? 3( x ? 2), 与直线l的交点为(?2, 4 3). 设P ? x, y ? ,? PA ? l,?当y ? 4 3时, 有(4 3) 2 ? 8 x,? x ? 6. ? PF ? PA ? 6 ? ? ?2 ? ? 8.

第56页 共 63 页


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