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1.1.2


1.1.2 导数的概念

一.复习 1.平均变化率的公式

f ( x1 ? ?x ) ? f ( x1 ) ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?x ?x x2 ? x1
2.平均变化率的几何意义 两点连线的斜率 3.求函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率 实质是求x0到x0+△x的平均 变化率 4.求函数的平均变化率(割线的斜率)的步骤:

(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?x x2 ? x1

1.瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米) 与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系 h(t)=4.9t2+6.5t+10. 那么t=2时的瞬时速度是多少? 我们先考虑t=2附近的情况,之前或之后

瞬时速度(瞬时变化率的一种特殊情况)
? 我们用
h( 2 ? ?t ) ? h( 2) ? 4.9?t 2 ? 13.1?t lim ? lim ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ?t
? lim ( ?4.9?t ? 13 .1) ? ?13.1
?t ? 0

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h ( t ? ? t ) ? h ( t ) 0 0 lim ?t ? 0 ?t

2.导数的定义:

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

注:1.△x可正、可负不可为0, △y可正、可负也可为0; 2.极限值是一个常数而不是一个变量,而且唯一. 3.y=f(x)在x0附近要有定义,否则不可导。

4.导数的定义的另一种记法

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x ? x0

lim

f ( x ) ? f ( x0 ) x ? x0

我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数. 记做

f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ? y? |x ? x0 x ? x0 x ? x0

题型一:利用导数的定义求导 例1.( P6例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不 同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时, 2 0 y ? f ( x ) ? x ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 原油的温度(单位: C)为: 计算第2 h与第6 h时,原油速度的瞬时变化率,并说明它 们的意义。 分析:求温度的瞬时变化率: (1)求温度增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

?y (2)求平均温度 y ? ?x (3)求极限

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? ? lim ?t ?0 ?x ?t ?0 ?x 一差 二化 三 求极限

练习:求函数y=f(x)=3(x+1)2在x=1处的导数.
由导数的定义可得求导数的一般步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

(2)求平均变化率

?y ?x

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? ? lim (3)求极限 ?lim x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

一差 二化 三 求极限

例2.求函数y ? 2 x 2 ? 2 在x=1处的导数

题型二.对导数定义的理解

f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) 例4.已知f '( x0 ) ? 3, 则(1) lim h ?0 h f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ? h) (2) lim h ?0 h
f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ? ?x) 例5.已知 lim ? 2, 求f '( x0 ) ?x ?0 2?x

思考:函数

f ( x) ? x 在点x0 ? 0处是否有导数?

4.小结: 1.平均变化率
2.瞬时变化率(导数) 3.平均变化率的步骤 4.求导数的一般步骤(求瞬时变化率的步骤)

物理(平均速度)
物理 (瞬时速度)

作业:

P10 A:2, 4

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1.若f ?( x0 ) ? 2, 求 lim 的值 k ?0 2k

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ? ?x) 例5.已知 lim ? 2, 求f '( x0 ) ?x ?0 2?x

2.求函数f ? x? ? x在点x=1时的导数


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