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二项式定理例题讲解


二项式定理例题讲解

例 1.试求:

2 5 ) 的展开式中 x5 的系数; 2 x 1 (2)(2x2- )6 的展开式中的常数项; x
(1)(x3- (3)(x-1)9 的展开式中系数最大的项; (4)在 ( 3x ? 3 2 )100 的展开式中,系数为有理数的项的个数. 解: (1)Tr+1= C 5 ( x )

/>r 3 5? r

(?

2 r ) ? (?2) r C5r x15?5 r x2

依题意 15-5r=5,解得 r=2
r 故(-2)2 C5 =40 为所求 x5 的系数 r (2)Tr+1= C6 (2x2)6
- r

1 r (? ) r =(-1)r·26- r· C6 x12?3r x

依题意 12-3r=0,解得 r=4
2 故 (?1) ·22 C 6 =60 为所求的常数项. r (3)Tr+1= (?1) C9 x 9?r
r 4

4 5 ∵ C9 ? C9 ? 126,而(-1)4=1,(-1)5=-1

∴ T5=126x5 是所求系数最大的项
r r (4)Tr+1= C100 ( 3x)100?r (3 2 ) r ? C100 ? 3 50? r 2

? 2 x100?r ,

r 3

要使 x 的系数为有理数,指数 50-

r r 与 都必须是整数, 2 3

因此 r 应是 6 的倍数,即 r=6k(k∈Z) , 又 0≤6k≤100,解得 0≤k≤16

2 (k∈Z) 3

∴x 的系数为有理数的项共有 17 项. 评述 求二项展开式中具有某特定性质的项,关键是确定 r 的值或取值范围.应当注意 的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念,要加以区分. 例 2.试求: (1)(x+2)10(x2-1)的展开式中 x10 的系数;

(2)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中 x2 的系数;

? ? 1 (3) ? x ? ? 2 ? 的展开式中的常数项. ? ? x ? ?
解: (1)∵ (x+2)10=x10+20x9+180x8+… ∴ (x+2)10(x2-1)的展开式中 x10 的系数是-1+180=179 (2)∵ (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 =

3

( x ? 1){ ? [?( x ? 1)]5 } ( x ? 1) ? ( x ? 1) 6 1 ? 1 ? [?( x ? 1)] x

3 ∴所求展开式中 x2 的系数就是(x-1)6 的展开式中 x3 的系数 ? C6 =-20
6

3 ? ? ? 1 ? 1 ? (3)∵ ? x ? ? 2? = ? x ? ? ? ? x x ? ? ? ? ?

3 ∴ 所求展开式中的常数项是- C6 =-20

评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加,或扩展为简单的三项展 开式, 求解的关键在于转化为二项展开式的问题, 转化时要注意分析题目中式子的结构特征. 例 3. (1)已知(1+x)n 的展开式中,x3 的系数是 x 的系数的 7 倍,求 n 的值; (2)已知(ax+1)7(a≠0)的展开式中,x3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差 中项,求 a 的值; (3)已知(2x+ x
1 gx 8

) 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120,求 x 的值.

3 1 解: (1)依题意 Cn ? 7Cn ,即

n(n ? 1)( n ? 2) =7n 6

由于 n∈N,整理得 n2-3n-40=0,解得 n=8
5 3 4 (2) 依题意 C7 a 2 ? C7 a 4 ? 2C7 a 3

由于 a≠0,整理得 5a2-10a+3=0,解得 a=1± (3)依题意 T5= C8 (2 x) ( x 整理得 x4(1
+lgx)

10 5

4

4

lg x 4

) =1120,

=1,两边取对数,得

lg2x+lgx=0,解得 lgx=0 或 lgx=-1

∴x=1 或 x=

1 10

评述 (a+b)n 的展开式及其通项公式是 a,b,n,r,Tr+1 五个量的统一体,已知与未知 相对的,运用函数与方程的思想方法,应会求其中居于不同位置,具有不同意义的未知数. 例 4. (1)若(2x+ 3 )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值等于
1 2 10 (2)1+2 C10 ? 4C10 ? ?? 210 C10 =

; .

解(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=( 2 ? 3 )4, 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4= ( 3 ? 2) 4 , 由此可得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0+a1+a2+a3+a4)( a0-a1+a2-a3+a4) =[ ( 3 ? 2)( 3 ? 2) ]4=1 (2)在(1+x)10=

?
r ?0

10

r C10 x r 中,

1 2 10 令 x=2,得 1+2 C10 ? 4C10 ? ? ? 210 C10 ? 310 ? 59049

评 述 这 是 一 组 求 二 项 式 系 数 组 成 的 式 子 的 值 的 问 题 , 其 理 论 依 据 是 (a + b)n =

r ?10

?

n

r C n a n?r b r 为恒等式.


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