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高中数学


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2.4 正态分布
教学目标: 知识与技能:掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。 过程与方法:结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质 。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1) 。 教学难点:通过正态分布的图形特

征,归纳正态曲线的性质。 教学课时:3 课时 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 教学设想:在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口,正态分布在统计学中是最基本、最重 要的一种分布。 内容分析: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限
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增大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总
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体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突 破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
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由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把它记为 N (?, ? )
2
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? 1 f ( x) ? e 2??

2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成: ( x ? ? )2
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2?

2

, x ? (??, ??) , (σ >0)
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3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取最大值
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从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负
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两个方向都是以 x 轴为渐近线的

4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

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5.由于正态分布是由其平均数μ 和标准差σ 唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多, 这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现,许多正态分布中,重点研究 N(0,1) ,其他的正态分

x) ? ? ( 布都可以通过 F ( 1

x??

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F ( x) ?

1

6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时
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2?

e

? x2 2

,x∈(-∞,+∞) ,从而使正态分布的研究得以简化

?

) 转化为 N(0,1) ,我们把 N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为
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可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质
频率/组距
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总体密度曲线

教学过程: 学生探究过程: 复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大, 所分组数越多, 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率. 设 想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 ,这条曲 线叫做总体密度曲线.
O

单位

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等
用心 爱心 专心 1

于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观 察 总 体 密 度 曲 线 的 形状 , 它 具 有 “ 两 头 低 ,中 间 高 , 左 右 对 称 ” 的特 征 , 具 有 这 种 特征 的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示: ( x ? ? )2

?? ,? ( x) ? e 2? , x ? (??, ??) 2?? 式 中 的 实 数 ? 、 ? (? ? 0) 是 参 数 , 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 , ?? ,? ( x) 的 图 象 为 正 态 分 布
2

1

?

密度曲线 , 简称正态 曲线. 讲解新课:

一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足 则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和 ? 确定,因此正态 分布常记作 N (?, ? ) .如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~ N (?, ? ) .
2 2

P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a

b

经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从 或近似服从正态分布.例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的 结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞 的结果,所以它近似服从正态分布.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长 度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位 面积产量等;正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子 管的使用寿命等) ;某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等;一般都服从正态分布.因此,正 态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统计中占有重要的地位. 说明:1 参数 ? 是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计; ? 是衡量随机变 量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计. 2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用 n!的近似公式得到了正态分布.之后,德国数学家高斯在 研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布. 2.正态分布 N (?, ? ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布
2

通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

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3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线
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的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态
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曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质 4.正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称
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(3)当 x=μ 时,曲线位于最高点

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(4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数) 并且当曲线向左、右两边
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无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近
用心

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爱心

专心

2

(5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定

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σ 越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比 教学
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5.标准正态 曲 线 : 当 μ =0 、 σ =l 时 , 正 态 总 体 称 为 标 准 正 态 总 体 , 其 相 应 的 函 数 表 示 式 是 x2

f ( x) ?

1

其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态分布的概率问题 讲解范例:

2?

e

?

2

, (-∞<x<+∞)
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标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成
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例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值 μ 和标准差σ x2

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答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5

1 ?2 (1) f ( x) ? e (, x ? (??,??) x ?1) 2 1 2 ? ? 8 (2) f ( x) ? e , x ? (??,??) 2 2 2? ?2( x ?1)y2 (3) f ( x) ? e , x ? (??, ??) 2?
解:利用等式 p ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) 有

例 2 求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率.

p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? ?? 1 ?? ? = ?(2) ? ?(1) ? 1 =0.9772 + 0.8413 - 1=0.8151 .
1.标准正态总体的概率问题:
x

对于标准正态总体 N(0,1) , ?( x0 ) 是总体取值小于 x 0 的概率,

?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , 其中 x0 ? 0 , 图中阴影部分的面积表示为概率 P( x ? x0 ) 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不 难发现:当 x0 ? 0 时, ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ;而当 x0 ? 0 时,Φ (0)=0.5

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2. 标准正态分布表 标 准 正 态 总 体 N (0,1) 在 正 态 总 体 的 研 究 中 有 非 常 重 要 的 地 位 , 为 此 专 门 制 作 了 “ 标 准 正 态 分 布 表 ” . 在 这 个 表 中 , 对 应 于 x 0 的 值 ?( x0 ) 是 指 总 体 取 值 小 于 x 0 的 概 率 , 即

?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , ( x0 ? 0) . 若 x0 ? 0 ,则 ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) .
利 用 标 准 正 态 分 布 表 , 可 以 求 出 标 准 正 态 总 体 在 任 意 区 间 ( x1 , x 2 ) 内 取 值 的 概 率 , 即 直 线

标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差,然后进行相应的
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x ? x1 , x ? x2 与正态曲线、 x 轴所围成的曲边梯形的面积 P( x1 ? x ? x2 ) ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) . x?? ) 转化成标准正态总体,然后查 3.非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过 F ( x) ? ? ( ?
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转化

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4.小概率事件的含义 发生概率一般不超过 5%的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生 能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析
用心
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假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,依照小概率事件几乎不可
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爱心

专心

3

假设检验方法的操作程序,即“三步曲” 一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体; 二是确定一次试验中的 a 值是否落入(μ -3σ ,μ +3σ ); 三是作出判断 讲解范例: 例 1. 若 x ~ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2). 解: (1) P (-2.32< x <1.2)= ? (1.2)- ? (-2.32) = ? (1.2)-[1- ? (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2) P ( x >2)=1- P ( x <2)=1- ? (2)=l-0.9772=0.0228. (1)在 N(1,4)下,求 F (3)
2
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例 2.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率:
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(2)在 N(μ ,σ )下,求F(μ -σ ,μ +σ ) ; F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ ) ;F(μ -2σ ,μ +2σ ) ; F(μ -3σ ,μ +3σ ) 解: (1) F (3) = ? (

3 ?1 ) =Φ (1)=0.8413 2 ? ?? ? ? ) =Φ (1)=0.8413 (2)F(μ +σ )= ? ( ? ? ? ? ?? ) =Φ (-1)=1-Φ (1)=1-0.8413=0.1587 F(μ -σ )= ? (
F(μ -σ ,μ +σ )=F(μ +σ )-F(μ -σ )=0.8413-0.1587=0.6826 F(μ -1.84σ ,μ +1.84σ )=F(μ +1.84σ )-F(μ -1.84σ )=0.9342 F(μ -2σ ,μ +2σ )=F(μ +2σ )-F(μ -2σ )=0.954 F(μ -3σ ,μ +3σ )=F(μ +3σ )-F(μ -3σ )=0.997

?

95.4% 68.3% 对于正态总体 N (?, ? ) 取值的概率:
2
x
x

99.7%
x







在区间(μ -σ ,μ +σ ) 、 (μ -2σ ,μ +2σ ) 、 (μ -3σ ,μ +3σ )内取值的概率分别为 68.3%、95.4%、 99.7% 因此我们时常只在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分
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例 3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 1.2,0.2)之间的概率 的最大值为 f ( ? ) =
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1

2?

,求总体落入区间(-

解: 正态分布的概率密度函数是 f ( x) ?

1 2? ?

1

e

?

( x?? )2 2? 2

它是偶函数, 说明μ =0,f ( x) , x ? (??,??) ,
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2? ? P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
1,2,3

,所以σ =1,这个正态分布就是标准正态分布

巩固练习:书本第 74 页 教学反思:

课后作业: 书本第 75 页 习题 2. 4 A 组 1 , 2 B 组 1 , 2 1. 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增
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大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体
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密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破 口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
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由此可见,正态分布是由它的平均数μ 和标准差σ 唯一决定的 常把它记为 N (?, ? )
2
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? 1 f ( x) ? e 2??

2.正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成: ( x ? ? )2
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2? 2

, x ? (??, ??) , (σ >0)
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用心

爱心

专心

4

3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为 x=μ ,并在 x=μ 时取最大值
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从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负
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两个方向都是以 x 轴为渐近线的

4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。由于正态分布 是由其平均数μ 和标准差σ 唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研 究带来一定的困难 但我们也发现,许多正态分布中,重点研究 N(0,1) ,其他的正态分布都可以通过 1

F ( x) ? ? (

x??

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x∈(-∞,+∞) ,从而使正态分布的研究得以简化。结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正
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?

) 转化为 N (0, 1) , 我们把 N (0, 1) 称为标准正态分布, 其密度函数为 F ( x) ?

1

2?

e

? x2 2



态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了, 关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质。

用心

爱心

专心

5

第三章 统计案例
§3.1 独立性检验(1)
教学目标 (1)通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求 2? 2 列联表)的基本思想、方法及初步应用; (2)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法. 教学重点、难点:独立性检验的基本方法是重点.基本思想的领会及方法应用是难点. 教学过程 一.问题情境 5 月 31 日是世界无烟日。有关医学研究表明,许多疾病,例如:心脏病、癌症、脑血管病、慢性 阻塞性肺病等都与吸烟有关,吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结 论是怎样得出的呢?我们看一下问题: 1. 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关,进行了一次抽样调查,共调查了 515 个成年人,其 中吸烟者 220 人, 不吸烟者 295 人. 调查结果是: 吸烟的 220 人中有 37 人患呼吸道疾病 (简称患病) , 183 人未患呼吸道疾病(简称未患病);不吸烟的 295 人中有 21 人患病,274 人未患病. 问题:根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”? 二.学生活动 为了研究这个问题, (1)引导学生将上述数据用下表来表示: 患病 吸烟 不吸烟 合计 37 21 58 未患病 183 274 457 合计 220 295 515

(2)估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异: 在吸烟的人中,有 三.建构数学 1.独立性检验: (1)假设 H 0 :患病与吸烟没有关系. 若将表中“观测值”用字母表示,则得下表: 患病 吸烟 不吸烟 合计 未患病

问题:由上述结论能否得出患病与吸烟有关?把握有多大?

37 21 ? 16.82% 的人患病,在不吸烟的人中,有 ? 7.12% 的人患病. 220 295

合计

a
c

b d
b?d

a?b
c?d

a?c

a?b?c?d

(近似的判断方法:设 n ? a ? b ? c ? d ,如果 H 0 成立,则在吸烟的人中患病的比例与 不 吸 烟 的 人 中 患 病 的 比 例 应 差 不 多 , 由 此 可 得

a( c ?

d )?

( c ?a ) ? b

a ?d ? 0 b c | ad ? bc | 越小,患病与吸烟之间的关系越弱,否则,关 ,因此,

a c ? a?b c?d

, 即

系越强. ) 设n ? a?b?c?d ,
用心 爱心 专心 6

在假设 H 0 成立的条件下,可以通过求 “吸烟且患病” 、 “吸烟但未患病” 、 “不吸烟但患病” 、 “不 吸烟且未患病”的概率(观测频率) ,将各种人群的估计人数用 a, b, c, d , n 表示出来. 例如: “吸烟且患病”的估计人数为 n ? P ( AB ) ? n ?

a?b a?c ? ; a ?n b b ?n d ? “吸烟但未患病” 的估计人数为 n ? P ( AB ) ? n ? ; c ?n d a ?n c ? “不吸烟但患病”的估计人数为 n ? P ( AB ) ? n ? ; n c?d n b?d ? “不吸烟且未患病”的估计人数为 n ? P( AB) ? n ? . n n

如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大, 就可以认为所给数据 (观测值) 不能否定假设 H 0 . 否 则,应认为假设 H 0 不能接受,即可作出与假设 H 0 相反的结论. (2)卡方统计量: 为了消除样本对上式的影响,通常用卡方统计量( χ ?? 2 2
2

(观测值 ? 预期值) 2

预期值 a?b a?c ? ? a?b b?d ? 卡方 ? χa 2?统计量公式: n? ? 2 ? ?b ? n? ? 2 ? ? n ?? ? c ? d n b ? d n ? c?d n a?c? 2 ? ? ?? n ? χ? c ? n ? a ?? d ? ?? ? ? b n a?c a?b n b ?? d n ?n ? ? ? 2? n ?n ? ? ?? c?d n a?cn c?d n b?d n n ? ? ad ? bc ? n ? (其中 ? n ? a?b?c?d ) ? n? n?? c ? n n n d ?? a ? c ?? b ? d ? ?a ? b 2 由此若 H 0 成立,即患病与吸烟没有关系,则 χ 的值应该很小.把 a ? 37, b ? 183, c ? 21, d ? 274 代入 2 2 计算得 χ ? 11.8634 ,统计学中有明确的结论,在 H 0 成立的情况下,随机事件“ ? ? 6.635 ” 2 2 发生的概率约为 0.01 ,即 P( ? ? 6.635) ? 0.01 ,也就是说,在 H 0 成立的情况下,对统计量 χ 进

)来进行估计.

行多次观测,观测值超过 6.635 的频率约为 0.01 .由此,我们有 99%的把握认为 H 0 不成立,即有 99% 的把握认为“患病与吸烟有关系”. 象以上这种用 ? 统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检验.
2

说明: (1)估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率,利用 χ 进行独立性检验,可以对 推断的正确性的概率作出估计,观测数据 a, b, c, d 取值越大,效果越好.在实际应用中,当 a, b, c, d 均不小于 5,近似的效果才可接受. (2)这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系,这种关系是指“抽烟的人患呼吸道 疾病的可能性(风险)更大”,而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”. (3)在假设 H 0 下统计量 χ 应该很小,如果由观测数据计算得到 χ 的观测值很大,则在一定程度
2 2 2

上说明假设不合理(即统计量 χ 越大,“两个分类变量有关系”的可能性就越大). 2.独立性检验的一般步骤: 一般地,对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值:类 A 和类 B (如吸烟与不吸烟),Ⅱ也有两 类取值:类 1和类 2 (如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病),得到如下表所示: Ⅱ 类1 Ⅰ 类A 类B 合计 推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为: 第一步,提出假设 H 0 :两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系; 第二步,根据 2×2 列联表和公式计算 χ 统计量; 第三步,查对课本中临界值表,作出判断.
用心 爱心 专心 7
2

2

类2

合计

a c

b

a?b

d
b?d

c?d

a?c

a?b?c?d

3.独立性检验与反证法: 反证法原理:在一个已知假设下,如果推出一个矛盾,就证明了这个假设不成立; 独立性检验(假设检验)原理:在一个已知假设下,如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生,就推 断这个假设不成立. 四.数学运用 1.例题: 例 1.在 500 人身上试验某种血清预防感冒的作用,把他们一年中的感冒记录与另外 500 名未用血清 的人的感冒记录作比较,结果如表所示.问:该种血清能否起到预防感冒的作用? 未感冒 使用血清 未使用血清 合计 258 216 474 感冒 242 284 526 合计 500 500 1000

242 ? 48.4% 的人患过感冒;在没有使用该种血清的人中,有 分析:在使用该种血清的人中,有 500 284 ? 56.8% 的人患过感冒,使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大.从直观上来 500
看,使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异. 解:提出假设 H 0 :感冒与是否使用该种血清没有关系.由列联表中的数据,求得 2

1000 ? (258 ? 284 ? 242 ? 216) ? 7.075 474 ? 526 2 ? 500 ? 500 ∵当 H 0 成立时, ? ? 6.635 的概率约为 0.01 ,∴我们有 99%的把握认为:该种血清能起到预防感冒

?2 ?

的作用. 例 2.为研究不同的给药方式(口服或注射)和药的效果(有效与无效)是否有关,进行了相应的抽 样调查,调查结果如表所示.根据所选择的 193 个病人的数据,能否作出药的效果与给药方式有关的 结论? 有效 口服 注射 合计 58 64 122 无效 40 31 71 合计 98 95 193

58 64 ? 59% 的人有效;在注射的病人中,有 ? 67% 的人有效.从直观 分析:在口服的病人中,有 98 95
关呢?下面用独立性检验的方法加以说明. 解:提出假设 H 0 :药的效果与给药方式没有关系.由列联表中的数据,求得 2

上来看,口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异,能否认为用药效果与用药方式一定有

193 ? (58 ? 31 ? 40 ? 64) ? 1.3896 ? 2.072 122 ? 71 2 ? 98 ? 95 当 H 0 成立时, ? ? 1.3896 的概率大于 15% ,这个概率比较大,所以根据目前的调查数据,不能否 定假设 H 0 ,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论.

?2 ?

说明:如果观测值 ? ? 2.706 ,那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系” ,但也不能作出结
2

论“ H 0 成立” ,即Ⅰ与Ⅱ没有关系. 2.练习:课本第 91 页 练习第 1、2、3 题. 五.回顾小结: 1.独立性检验的思想方法及一般步骤; 2.独立性检验与反证法的关系.
用心 爱心 专心 8

六.课外作业: 课本第 93 页 习题 3.1 第 1、2、3 题.

§3.1
教学目标

独立性检验(2)
2

通过对典型案例的探究,进一步巩固独立性检验的基本思想、方法,并能运用 χ 统计量进行独立性 检验. 教学重点,难点:独立性检验的基本方法是重点.基本思想的领会及方法应用是难点. 教学过程 一.学生活动 练习: ( 1 )某大学在研究性别与职称 ( 分正教授、副教授 ) 之间是否有关系,你认为应该收集哪些数 据? . (2)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:
专 性 别 业

非统计专业 13 7

统计专业 10 20

男 女

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 2

χ 2?

所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 附:临界值表(部分) :

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7) ? 4.844 ,∵χ 2 ? 3.841 , 23 ? 27 ? 20 ? 30

. (答案:5%)

P (χ ? x0 )
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

x0
二.数学运用 1.例题:

例 1.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人。女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是 看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 2× 2 列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系。 解: (1)2× 2 的列联表:
休闲方式 性别

看电视 43 21
用心

运动 27 33
爱心 专心

总计 70 54
9

女 男

总计

64

60

124

(2)假设“休闲方式与性别无关” 2 χ ?
2

124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21) ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60 2 因为 χ ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的,即有 97.5%的把握认为
“休闲方式与性别有关” 。 例 2.气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比, 所得数据如表所示.问它们的疗效有无差异(可靠性不低于 99%)? 有效 复方江剪刀草 胆黄片 合计 者的有效率为 184 91 275 无效 61 9 70 合计 245 100 345

分析:由列联表中的数据可知,服用复方江剪刀草的患者的有效率为

差异.下面用 ? 进行独立性检验,以确定能有多大把握作出这一推断. 有明显差异.

91 ? 91% ,可见, 服用复方江剪刀草的患者与服用胆黄片的患者的有 效率存在较大 100 2

184 ? 75% ,服用胆黄片的患 245

解:提出假设 H 0 :两种中草药的治疗效果没有差异,即病人使用这两种药物中的何种药物对疗效没

345 ? (184 ? 9 ? 61? 91) 2 ? ? ? 11.098 由列联表中的数据,求得 275 ? 70 ? 245 ?100 2 2 当 H 0 成立时, ? ? 10.828 的概率约为 0.001 ,而这里 ? ? 11.098 ? 10.828 所以我们有 99.9% 的把握认为:两种药物的疗效有差异.
2

例 3.下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果,若要使结论的可靠性不低于 95%,根 据所调查的数据,能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结论? 喝过酒 男生 女生 合计 77 16 93 没喝过酒 404 122 526 合计 481 138 619

解:提出假设 H 0 :该周内中学生是否喝过酒与性别无关. 由列联表中的数据,求得
2

? 2 ? 1.6366 ,
2

当 H 0 成立时, ? ? 3.841 的概率约为 0.05 ,而这里 ? ? 1.6366 ? 3.841 , 所以,不能推断出喝酒与性别有关的结论. 三.回顾小结: 1.独立性检验的思想方法及一般步骤. 四.课外作业:补充。

§3.2 回归分析(1)
教学目标
用心 爱心 专心 10

(1)通过实例引入线性回归模型,感受产生随机误差的原因; (2)通过对回归模型的合理性等问题的研究,渗透线性回归分析的思想和方法; (3)能求出简单实际问题的线性回归方程. 教学重点,难点 线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法. 教学过程 一.问题情境 1. 情境:对一作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据,试估计当 x=9时的位 置 y 的值. 时刻 x /s 位置观测值 y /cm

1
5.54

2
7.52

3
10.02

4
11.73

5
15.69

6
16.12

7
16.98

8
21.06

根据《数学 3 (必修) 》中的有关内容,解决这个问题的方法是: 先作散点图,如下图所示: 从散点图中可以看出,样本点呈直线趋势, 时间 x 与位置观测值 y 之间有着较好的线性关
n 系.因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的 ? i i ? 系.根 关 据 线 性 回 归 的 系 数 公 式 , i ?1

? ?b ? n ? xi2 ? n( x ) 2 ? ? i ?1 可以得到线性回归方为 y ? 3.5361 ? 2.1214x , ? ?? bx 9 时,由线性回归方程可以估计其位 ? 所以当 ?a ? y x
置值为 y ? 22.6287 2.问题:在时刻 x ? 9 时,质点的运动位置一定是 22.6287cm 吗? 二.学生活动 思考,讨论:这些点并不都在同一条直线上,上述直线并不能精确地反映 x 与 y 之间的关系, y 的值不能由 x 完全确定,它们之间是统计相关关系, y 的实际值与估计值之间存在着误差. 三.建构数学 1.线性回归模型的定义: 我们将用于估计 y 值的线性函数 a ? bx 作为确定性函数;

? x y ? nx y

y 的实际值与估计值之间的误差记为 ? ,称之为随机误差; 将 y ? a ? bx ? ? 称为线性回归模型.
说明: (1)产生随机误差的主要原因有: ①所用的确定性函数不恰当引起的误差; ②忽略了某些因素的影响; ③存在观测误差. (2)对于线性回归模型,我们应该考虑下面两个问题: ①模型是否合理(这个问题在下一节课解决) ; ②在模型合理的情况下,如何估计 a , b ? 2.探求线性回归系数的最佳估计值: 对于问题②,设有 n 对观测数据 ( xi , yi ) (i ? 1, 2,3,
用心 爱心 专心

, n) ,根据线性回归模型,对于每一个 xi ,
11

对应的随机误差项 ? i ? yi ? (a ? bxi ) ,我们希望总误差越小越好,即要使 要求出使 Q(? , ? ) ? 注:这里的 ? i 就是拟合直线上的点 ? xi , a ? bxi ? 到点 P i ? xi , yi ? 的距离.
i ?1

?( y ? ? x ??)
i i

n

2

取得最小值时的 ? , ? 值作为 a , b 的估计值,记为 a , b .

??
i ?1

n

2 i

越小越好.所以,只

用什么方法求 a , b ?
n n 2.4 线性回归方程”P71“热茶问题”中求 a , b 的方法:最小二乘法. 3(必修) 》 “ ? 回忆《数学 ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? a, 利用最小二乘法可以得到 i ?1 i ?1 b 的计算公式为 ? ? n ?b ? n 2 ? ( xi ? x) 1 n? xi2 ? n( x) 2 , n ? 1 ? x ? i ?1 x , y ? 1 其中 ? i ?i?y i ? n i ?1 n i ?1 a ? y ? bx 由此得到的直线 就称为这 n 对数据的回归直线,此直线方程即为线性回归方程.其中 y ? a ? bx ? ? a , b 分别为 a , b 的估计值, a 称为回归截距, b 称为回归系数, y 称为回归值. 在前面质点运动的线性回归方程 y ? 3.5361 ? 2.1214x 中, a ? 3.5361 , b ? 2.1214 . 3. 线性回归方程 y ? a ? bx 中 a ,b 的意义是:以 a 为基数, x 每增加 1 个单位, y 相应地平均增加 b 个

单位; 4. 化归思想(转化思想) 在实际问题中, 有时两个变量之间的关系并不是线性关系, 这就需要我们根据专业知识或散点图, 对某些特殊的非线性关系,选择适当的变量代换,把非线性方程转化为线性回归方程,从而确定未知 参数.下面列举出一些常见的曲线方程,并给出相应的化为线性回归方程的换元公式.

b 1 ,令 y ' ? y , x ' ? ,则有 y ' ? a ? bx ' . x x b (2) y ? ax ,令 y ' ? ln y , x ' ? ln x , a ' ? ln a ,则有 y ' ? a '? bx ' .
(1) y ? a ?
bx (3) y ? ae b ,令 y ' ? ln y , x ' ? x , a ' ? ln a ,则有 y ' ? a '? bx ' .

1 , a ' ? ln a ,则有 y ' ? a '? bx ' . x (5) y ? a ? b ln x ,令 y ' ? y , x ' ? ln x ,则有 y ' ? a ? bx ' .
(4) y ? ae x ,令 y ' ? ln y , x ' ? 四.数学运用 1.例题: 例 1. 下表给出了我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料, 试根据表中数据估计我国 2004 年的人口数. 年份

1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999

人口数/百万 542 数据表:

975 1035 1107 1177 1246 解:为了简化数据,先将年份减去 1949 ,并将所得值用 x 表示,对应人口数用 y 表示,得到下面的 603 672 705 807 909
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

x

y

542 603 672 705 807 作出 11个点 ? x, y ? 构成的散点图,
根据公式(1)可得

909

975

1035 1107 1177 1246

由图可知,这些点在一条直线附近,可以用线性回归模型 y ? a ? bx ? ? 来表示它们之间的关系.

? ?b ? 14.453, ? ? ?a ? 527.591. 这里的 a, b 分别为 a , b 的估
计值,因此线性回归方程 为 y ? 527.591 ? 14.453x
用心 爱心 专心 12

由于 2004 年对应的 x ? 55 ,代入线性回归方程 y ? 527.591? 14.453x 可得 y ? 1322.506 (百万) , 即 2004 年的人口总数估计为 13.23 亿. 例 2. 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查, 下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本 x (万 元)与人均产出 y (万元)的数据: 人均 资本

3

4

5.5

6.5

7

8

9

10.5

11.5

14

x /万元
人均 产出

4.12

4.67

8.68

11.01
b

13.04

14.43

17.50

25.46

26.66

45.20

y /万元
(1)设 y 与 x 之间具有近似关系 y ? ax ( a , b 为常数) ,试根据表中数据估计 a 和 b 的值; (2)估计企业人均资本为 16 万元时的人均产出(精确到 0.01 ) . 分析:根据 x , y 所具有的关系可知,此问题不是线性回归问题,不能直接用线性回归方程处理.但 由对数运算的性质可知,只要对 y ? ax 的两边取对数,就能将其转化为线性关系.
b b 解(1)在 y ? ax 的两边取常用对数,可得 lg y ? lg a ? b lg x ,设 lg y ? z , lg a ? A , lg x ? X ,

则 z ? A ? bX .相关数据计算如图 3 ? 2 ? 7 所示.

A
1 2 3 4
人 均 资 本

B
3 4.12
0.47712 0.6149

C
4 4.67
0.60206 0.66932

D
5.5 8.68
0.74036 0.93852

E
6.5 11.01
0.81291 1.04179

F
7 13.04
0.8451 1.11528

G
8 14.43
0.90309 1.15927

H
9 17.5
0.95424 1.24304

I
10.5 25.46
1.02119 1.40586

J
11.5 26.66
1.0607 1.42586

K
14 45.2
1.14613 1.65514

x /万元
人 均 产 出

y /万元
X ? lg x

z ? lg y

仿照问题情境可得 A , b 的估计值 A , b 分别为 ? 即 a , b 的估计值分别为 0.6088 和 1.5677 .

? ? A ? ?0.2155, ? ?b ? 1.5677,

由 lg a ? ?0.2155 可得 a ? 0.6088 ,

(2)由(1)知 y ? 0.6088x1.5677 .样本数据及回归曲线的图形如图 3 ? 2 ? 8 (见书本 P 102 页) 当 x ? 16 时, y ? 0.6088?161.5677 ? 47.01(万元) ,故当企业人均资本为 16 万元时,人均产值约为

47.01 万元.
2.练习: P 104 练习第 1 题. 五.回顾小结: 1. 线性回归模型 y ? a ? bx ? ? 与确定性函数 y ? a ? bx 相比,它表示 y 与 x 之间是统计相关关系(非确

b的 定性关系) 其中的随机误差 ? 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值 a ,
工具; 2. 线性回归方程 y ? a ? bx 中 a ,b 的意义是:以 a 为基数, x 每增加 1 个单位, y 相应地平均增加 b 个 单位; 3.求线性回归方程的基本步骤. 六.课外作业: P 106 第 2 题.
用心 爱心 专心 13

§3.2
教学目标

回归分析(2)

(1)通过实例了解相关系数的概念和性质,感受相关性检验的作用; (2)能对相关系数进行显著性检验,并解决简单的回归分析问题; (3)进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用. 教学重点,难点 相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤. 教学过程 一.问题情境 1.情境:下面是一组数据的散点图,若求出相应的线性回归方程,求出的线性回归方程可以用作预测和 估计吗?
10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 系列1
10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 系列1

2.问题:思考、讨论:求得的线性回归方程是否有实际意义. 二.学生活动 对任意给定的样本数据,由计算公式都可以求出相应的线性回归方程,但求得的线性回归方程未 必有实际意义.左图中的散点明显不在一条直线附近,不能进行线性拟合,求得的线性回归方程是没 有实际意义的;右图中的散点基本上在一条直线附近,我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关 系,但它们线性相关的程度如何,如何较为精确地刻画线性相关关系呢? 这就是上节课提到的问题①,即模型的合理性问题.为了回答这个问题,我们需要对变量 x 与 y 的线性相关性进行检验(简称相关性检验) . 三.建构数学 1.相关系数的计算公式:

r?

2,3, , n) ,样本相关系数 r 的计算公式为 对于 x , 随机取到的 ( xiy? x)( yi ? y ) n 对数据 ( xi , yi ) (i ? x1, i yi ? nx y
i ?1

?

n

2.相关系数 r(的性质: xi ? x) ?
2

(1) | r |? 1 ;

?
i ?1

n

? ( y ? y)
i ?1 i

n

?

?
i ?1

n

2

?

(? x ? n( x) )(? y ? n( y ) )
i ?1 2 i 2 i ?1 2 i 2

n

n

. ? 2?

(2) | r | 越接近与 1, x , y 的线性相关程度越强; (3) | r | 越接近与 0, x , y 的线性相关程度越弱. 可见,一条回归直线有多大的预测功能,和变量间的相关系数密切相关. 3.对相关系数 r 进行显著性检验的步骤: 相关系数 r 的绝对值与 1 接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢?这需要对相关系 数 r 进行显著性检验.对此,在统计上有明确的检验方法,基本步骤是:
用心 爱心 专心 14

(1)提出统计假设 H 0 :变量 x , y 不具有线性相关关系; (2) 如果以 95% 的把握作出推断, 那么可以根据 1 ? 0.95 ? 0.05 与 n ? 2( n 是样本容量) 在附录 2(教 材 P111)中查出一个 r 的临界值 r0.05 (其中 1 ? 0.95 ? 0.05 称为检验水平) ; (3)计算样本相关系数 r ; (4)作出统计推断:若 | r |? r0.05 ,则否定 H 0 ,表明有 95% 的把握认为变量 y 与 x 之间具有线性相关 关系;若 | r |? r0.05 ,则没有理由拒绝 H 0 ,即就目前数据而言,没有充分理由认为变量 y 与 x 之间具有 线性相关关系. 说明:1.对相关系数 r 进行显著性检验,一般取检验水平 ? ? 0.05 ,即可靠程度为 95% . 2.这里的 r 指的是线性相关系数, r 的绝对值很小,只是说明线性相关程度低,不一定不相关,可能 是非线性相关的某种关系. 3.这里的 r 是对抽样数据而言的.有时即使 | r |? 1 ,两者也不一定是线性相关的.故在统计分析时, 不能就数据论数据,要结合实际情况进行合理解释. 4.对于上节课的例 1,可按下面的过程进行检验: (1)作统计假设 H 0 : x 与 y 不具有线性相关关系; (2)由检验水平 0.05 与 n ? 2 ? 9 在附录 2 中查得 r0.05 ? 0.602 ; (3)根据公式 ? 2 ? 得相关系数 r ? 0.998 ; (4)因为 r ? 0.998 ? 0.602 ,即 r ? r0.05 ,所以有 95 ﹪的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系, 线性回归方程为 y ? 527.591 ? 14.453x 是有意义的. 四.数学运用 1.例题: 例 1.下表是随机抽取的 8 对母女的身高数据,试根据这些数据探讨 y 与 x 之间的关系.

母亲身高 x / cm 女儿身高 y / cm

154 155

157 156

158 159

159 162

160 161

161 164

162 165

163 166

解:所给数据的散点图如图所示:由图可以看出,这些点在一条直线附近,

因为 x ? ?154 ? 157 ?
8 2 i 2 i 2

? 163? ? 8 ? 159.25 , y ? ?155 ? 156 ? ? 166? ? 8 ? 161 , x ? 8( x) ? ?154 ? ? 1632 ? ? 8 ?159.252 ? 59.5 , ? 8 i ?1 y ? 8( y)2 ? ?1552 ? ? 1662 ? ? 8 ?1612 ? 116 , ? 8 i ?1 ? xi yi ? 8x y ?154 ?155 ? ? 163 ?166 ? ? 8 ?159.25 ?161 ? 80 ,
2 i ?1

用心

爱心

专心

15

所以 r ?

? 0.963, 59.5 ? 116 由检验水平 0.05 及 n ? 2 ? 6 ,在附录 2 中查得 r0.05 ? 0.707 ,因为 0.963 ? 0.707 ,所以可以认为 x 与 8 y ? a ? bx ? ? 中 a , b 的估计值 a, b 分别为 y 之间具有较强的线性相关关系.线性回归模型 ? xi yi ? 8 x y

80

a ? y ? bx ? ?53.191 , ? ?8 x y ? ?53.191? 1.345x . 故 y? 对 x i的线性回归方程为
i ?1 8 2 i ?1

b?

??

2

? 1.345,

例 2.要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响,在高一年级学生中随机抽取 10 名 学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表: 学生编号 入学成绩 x 高一期末成绩 y

82 (1)计算入学成绩 x 与高一期末成绩 y 的相关系数; (2)如果 x 与 y 之间具有线性相关关系,求线性回归方程; (3)若某学生入学数学成绩为 80 分,试估计他高一期末数学考试成绩. 1 1 ? ? 63 ? 67 ? ? 76 ? ? 70 , y ? ? ? 65 ? 78 ? ? 75 ? ? 76 , 解:(1)因为 x ? 2 10 10 10 10 Lxy ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? 1894 , Lxx ? ? ( xi ? x) ? 2474 , 10 10 i ?1 i ?1 Lyy ? ? ( yi ? y ) 2 ? 2056 . ? ( xi ? x)( yi ? y ) Lxy i ?1 i ?1 因此求得相关系数为 r ? ? ? 0.840 . 10 10 Lxx Lyy 2 2 结果说明这两组数据的相关程度是比较高的; ? ( xi ? x) ? ( yi ? y)
小结解决这类问题的解题步骤: (2)求相关系数 r ; (3)由检验水平和 n ? 2 的值在附录中查出临界值,判断 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系; (4)计算 a , b ,写出线性回归方程. 2.练习: P 104 练习第 1 题. 五.回顾小结: 1.相关系数的计算公式与回归系数 b 计算公式的比较; 2.相关系数的性质; 3.探讨相关关系的基本步骤. 六.课外作业: P 106 习题 3.2 第 1 题.
i ?1 i ?1

1 63 65

2 67
78

3 45 52

4 88

5 81 92

6 71 89

7 52 73

8 99 98

9 58 56

10 76 75

(1)作出散点图,直观判断散点是否在一条直线附近;

用心

爱心

专心

16


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