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高考数学参数方程大题2016


高三最后一题
1、以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标 系中取相同的长度单位,设点 A 的极坐标为 ( 2,

?

? ? ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos( ? ? ) . 4 3 (1)写出直线 l 参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程;
(2)设直线 l

与曲线圆 C 交于 B 、 C 两点,求 AB . AC 的值.

6

) ,直线 l 过点 A 且与极轴成角为

1 ? x? 3? t ? 2 ? 【答案】 (1)直线 l 参数方程 ? 圆 C 的直角坐标方程为 (t为参数) 3 ?y ? 1? t ? 2 ?
(2)? AB ? AC ? 2 3 ? 2 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ; 2、已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?

( ? 为参数) ,以直角坐标系原点为

极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. (2)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ?

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

【答案】 (1) ? ? 6cos ? ? 2sin ? (2) 22

? 2 t ?x ? ? 5 ? ? 2 l 3、在直角坐标系 xOy 中,直线 的参数方程为 ? ,若以 O (t 为参数) ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? 。 (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)将曲线 C 上各点的横坐标缩短为原来的

1 ,再将所得曲线向左平移 1 个单位, 2

得到曲线 C1 ,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值
2 2 【答案】 (1) ?x ? 2? ? y ? 4 , x ? y ? 2

5 ? 0 (2) 2

10

4、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的

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? ?x ? ? 2 极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? .圆 O 的参数方程为 ? ? 4 2 ?y ? ? ? ?

?

2 ? r cos ? 2 , ( ? 为参 2 ? r sin ? 2

数, r ? 0 ) . (1)求圆心的一个极坐标; (2)当 r 为何值时,圆 O 上的点到直线 l 的最大距离为 3 .
(1,
2 5? 2? ) 2 4 ; (2)

【答案】 (1)

5、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平 面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t ( t 为参数), ? ? y ? 2 ? 3t

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

? x? ? x ? (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 后得到曲线 C ? ,设 M ( x, y) 为 C ? 上任意一 ? y ? y ? ? 2
点,求 x2 ? 3xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标. 【答案】 (1)圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 L 方程为 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 . (2 ) 当 M ?1,

? ? ?

? 3? 3? ? 或 M ? ? 1, ? 时,原式的最小值为 1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?

? 3 x ? 5? t ? ? 2 (t 为参数) 6、已知直线 l : ? .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 1 ?y ? 3 ? t ? ? 2
轴建立极坐标系,曲线 C 的坐标方程为 ? ? 2cos? . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B,求 | MA | ?| MB | 的值. 【答案】 (1) ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ; (2)18. 7、在极坐标系中,曲线 C:? ? 2a cos ? (a ? 0), l : ? cos( ? ? 且仅有一个公共点. (1)求 a 的值; (2)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且 ?AOB ?
试卷第 2 页,总 9 页

?
3

)?

3 ,曲线 C 与 l 有 2

?
3

,求 OA ? OB 的最大值.

8、在直角坐标系 x?y 中,圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 .以 ? 为极点, x 轴的非
2

负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)射线 ?? : ? ?

?
4

与圆 C 的交点为 ? 、 ? 两点,求 ? 点的极坐标.

【答案】 (1) ? ? 2 cos ? ; (2) ? 2,

? ?

??

?. 4?
? x ? 2 2 cos? ? y ? 2 sin a

9、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲 线 C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? sin ? ? 15 ,曲线 C2 的参数方程为 ? 参数). (1)将 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若 C2 上的点 Q 对应的参数为 ? ? (? 为

3 ? , P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值。 4

【答案】 (1) x2 ? y 2 ? 8 y ? 15=0 ; (2) 13 ? 1 10、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线

? ?? 3 2 ? x ? cos ? ? l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? ,曲线 C 的参数方程是 ? (? 是 4? 2 ? ? ? y ? 3 sin ?
参数) . (1)求直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离. 【答案】 (1) x ? y ? 3 ? 0 , x 2 ?

y2 5 2 ? 1; (2) . 3 2

11、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 线 l 与曲线 C : ( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A,B 两点. (1)求 AB 的长;

? x ? ?2 ? t (t 为参数) ,直 ? y ? 2 ? 3t

( 2 )在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为

(2 2 ,

3? ) ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 4

【答案】 (1) 2 14 ;(2) 2 12、将圆 x 2 ? y 2 ? 1 上每一点的横坐标都伸长为原来的 3 倍,纵坐标都伸长为原 来的 2 倍,得到曲线 C. (1)求曲线 C 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的极坐标为

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( 2,

2? 5? ) ,且点 P 关于直线 ? ? 的对称点为点 Q,设直线 PQ 与曲线 C 相交于 A、B 3 6

两点,求线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程. 【答案】 (1) ?

? x ? 3 cos? ? y ? 2 sin ?

; (2) ? cos ? ? 3? sin ? ? (? 为参数)

6 ? 0. 13

13、已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 2?t (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? y ? ?1 ? 3t

? ? 2 sin ? ? 4 cos? .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和参数方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 【答案】 (1)直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ?1) 2 ? 5 ,参数方程为 ? ( ? 为参数) ; (2) 4 . 14、已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合, 且长度单位相同.直线 l 的极坐标方程为:ρ = 2sinα +2) ,参数 α ∈[0,2π ]. (1)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (2)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 答案(2)点 P 到直线 l 距离的最大值 4+2=6. (1)P 的轨迹的直角坐标方程为 x +(y﹣2) =4.
2 2

? x ? 2 ? 5 cos? ? y ? 1 ? 5 sin ?

,点 P(2cosα ,

15、在直角坐标系 xoy 中,直角 l 的参数方程为

, (t 为参数) .在

极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ =2 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, 求|PA|﹣|PB|的取值范围. (Ⅰ)|PA|﹣|PB|的取值范围是[﹣3 (Ⅱ圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2 ,﹣3 y; ]. ) ,当 ≤α ≤ 时, sinθ .

16、已知定点 O(0,0) ,A(3,0) ,动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的距离的比值 是 .

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 λ =4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D.F,G 是曲线 D 上不同的两点,对于 定点 Q(﹣3,0) ,有|QF| ? |QG|=4.试问无论 F,G 两点的位置怎样,直线 FG 能恒和
试卷第 4 页,总 9 页

一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由. 试题解析:解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y) , 则由 |PO|=|PA|得 λ (x2+y2)=(x﹣3)2+y2, 整理得: (λ ﹣1)x2+(λ ﹣1)y2+6x﹣9=0, ∵λ >0,∴当 λ =1 时,方程可化为:2x﹣3=0,方程表示的曲线是线段 OA 的垂直 平分线; 当 λ ≠1 时,则方程可化为, 即方程表示的曲线是以(﹣ +y2= ,0)为圆心, , 为半径的圆.

(Ⅱ)当 λ =4 时,曲线 D 的方程是 x2+y2+2x﹣3=0, 故曲线 D 表示圆,圆心是 D(﹣1,0) ,半径是 2. 设点 Q 到直线 FG 的距离为 d,∠FQG=θ , 则由面积相等得到|QF| ? |QG|sinθ =d|FG|,且圆的半径 r=2. 即 d= = =1.于是顶点 Q 到动直线 FG 的距离为定值,

即动直线 FG 与定圆(x+3)2+y2=1 相切.

? ? x ? 1? ? l xoy 17、在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ? ?y ? 4? ? ?
位,在该极坐标系中圆 C 的方程为 ? ? 4sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程;

2 t 2 (t 为参数) ,再以原 2 t 2

点为极点,以 x 正半轴为极轴建立坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单

(2)设圆 C 与直线 l 将于点 A 、 B ,若点 M 的坐标为 (?2,1) ,求 MA ? MB 的值. (1) x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ; (2) 3 2 . 18、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? y ? 3 ? 2 sin t ?

, (t 为参数) ,

在以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程 为 ? cos(? ?

) ? ? 2 ,A,B 两点的极坐标分别为 A(2, ), B (2, ? ) . 4 2 (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求 ?PAB 面积的最小值.
答案(1) ( x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 , x ? y ? 2 ? 0 ; (2)4. 19、已知圆 C 的参数方程是 ?

?

?

? x ? 1 ? cos? ? y ? 2 ? sin ?

. (? 为参数)

(Ⅰ)以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设直线 l 和圆 C 的交点为 M , N ,求 4

?CM N 的面积.
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【答案】 (Ⅰ) ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ; (Ⅱ)

1 1 CM ? CN ? . 2 2

1 ? x ? m? t ? 2 ? 20、已知直线 l 的参数方程为: ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ?y ? 3 t ? ? 2

? 2 cos 2? ? 1 .
(1)以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系,求曲线 C 的直角坐标 方程; (2)若直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 10 ,求 m 的值. 【答案】 (1) x 2 ? y 2 ? 1;(2) ? 2 . 21、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极
? 2 t ?x?m? ? 2 轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? (t ?y ? 2 t ? ? 2

是参数) . (1)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 值. (2)设 M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? 2 y 的取值范围. 【答案】 (1) 1 或 3 ; (2) [2 ? 2 5, 2 ? 2 5] 22、在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? cos ? (θ 为参数) ,将 C1 上的所 ? y ? sin ?

有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 C2 ,以平面直角坐 标系 xoy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 取相同的单位长度建立极坐标系, 已知直线 l : ?

?

2 cos ? ? sin ? ? 4 .

?

(1)试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最小,并求此最小值. 【答案】 (1) C1 的极坐标方程为 ? ? 1 , C2 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos ? ? ( ? 是参 ? ? y ? 2sin ?

数) ; (2) P(1 ,最小值是 ,2 ) )

4 3?2 6 . 3

试卷第 6 页,总 9 页

23、在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C2 的参数方程为

(α 为参数) ,曲线

(β 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系. (1)求 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)已知射线 l1:θ =α (0<α < ) ,将 l1 逆时针旋转 得到 l2:θ =α + ,

且 l1 与 C1 交于 O,P 两点,l2 与 C2 交于 O,Q 两点,求|OP|?|OQ|取最大值时点 P 的 极坐标. 【答案】曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y﹣1)2=4,所以 C2 极坐标方程为 ρ =4sinθ P 极点坐标(2 , ) .

24、 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 自极点 O 作 直 线 与 曲 线 ? cos ? ? 4 相 交 于 点 Q , 在 OQ 上 有 一 动 点 P 满 足

? ?x ? 1? t ( t 为参数)表示的轨 | O P |? | O Q ? | .若点 1 2 P 的轨迹为曲线 C1 ,方程 ? ? ?y ? 2 t
迹为曲线 C2 . (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 与 C2 交于点 A 、 B ,求 A 、 B 两点间的距离 | AB | .

25、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极

? 3 x? t?m ? ? 2 轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (t 为 ?y ? 1 t ? ? 2
参数) . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设点 ? ? m,0? ,若直线 l 与曲线 C 交于 ? , ? 两点,且 ?? ? ?? ? 1,求实数

m 的值.
【答案】 (Ⅰ) x ? 3 y ? m ? 0 ; (Ⅱ) 1 ? 2 或 1 ? 2

? x ? 1 ? 3t , ? x ? 2cos ? , ? ( t 为参数 ) 26、已知直线 l : ? , 曲线 C : (? 为参数) . ? 1 3 t ? y ? sin ? ?y ? ? 2
(1)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ; (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为 原来的

1 3 ,纵坐标压缩为原来的 得到曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点, 2 2

求它到直线 l 的距离的最大值.
试卷第 7 页,总 9 页

【答案】 (1)

3 5 35 ; (2) d max ? 5 2

? 2 t ?x ? 1? ? 2 xOy C 1 27、 在直角坐标系 中, 曲线 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 以原点 O ?y ? 2 t ? 2 ?

为 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

??

2 2 5 ? 3cos 2?

. (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

(2)曲线 C1 与曲线 C2 交于 A, B 两点, C1 与 x 轴交于点 P ,求 PA ? PB 的值. 【答案】 (1) C1 : x ? y ? 1; C2 :

x2 6 ? y2 ? 1; (2) 5 4

28、 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已
? x ? ?2 ? cos ? C1 : ? ? x ? 8cos? ? ? y ? 3 ? sin ? ( ? 为参数) 知曲线 , C2 : ? ( ? 为参数) . ? ? y ? 2 3 sin ?

(1)将 C1 , C2 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 ? ?

?
2

Q 为 C2 上的动点, , 求 PQ 中点 M 到直线 l :

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 的距离的最大值. 3?
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,椭圆; 【答案】 (1) ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1,圆; (2) (2)3. 64 12
29、在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)设直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数) ,以 O 为 ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交

点为 O、P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长. 【答案】 (1) ? ? 2 cos? ; (2)2. 30、在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.

试卷第 8 页,总 9 页

已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cost , ? x ? 8 cos? , (t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3 sin ? ,

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数方程为 t ?

?
2

,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到

直线 C3 : ? (cos? ? 2 sin ? ) ? 7 的距离的最小值.
x2 y 2 【答案】解: (Ⅰ) C1: ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1, C2: ? ?1 . 64 9

31、平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程 ?

? x ? 2 ? 3t ? ( t 为参数) ,圆 C 的方 ? ?y ? t

程为 x2 ? y 2 ? 4 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 和圆 C 的交点的极坐标(要求极角 ? ??0, 2? ? ) . 【答案】 (1) ? cos ? ? ?

? ?

??

? 2? (2) (2, 0) , ? 2, ? ? 1, ? ? 2 ; 3? ? 3

? ?. ?

32、极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点为极点,以 x 轴正半轴 为极轴, 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? m ? t cos ? ? y ? t sin ?

? ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,射线 ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ? ? 与曲线 C1 交于(不
4 4
包括极点 O )三点 A, B, C . (1)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ; (2)当 ? ?

?
12

时, B, C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 ? 的值.

试题分析: (1)依题意先表示出 | OA | , | OB | , | OC | ,根据三角函数公式得

| OB | ? | OC |?

?? ? ?? ? 2, ? ? 2 3, ? ? ? 6 ? 化为直角坐 (2)把 B, C 两点的极坐标 ? 3 ? , ? 4 2 cos ? ? 2 | OA | .
标为 B(1, 3), C(3, ? 3) ,又因为经过点 B, C 的直线方程为 y ? ? 3( x ? 2) ,所以

m ? 2, ? ?

2? 3

试卷第 9 页,总 9 页

答案第 1 页,总 1 页


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