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2014高考数学必考点解题方法秘籍 向量与三角 理


2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:向量与三角函数
一.专题综述 三角函数高中数学传统的内容,而平面向量则是新添内容,现在高考对这两部分的考查完美 的体现了传统和现代的结合。 1.考纲要求 三角函数 : (1)能灵活运用三角函数的有关公式,对三角函数进行变形与化简 ; (2)理解和掌握三角函数的图像及性质 ; (3)能用正弦定理、余弦定理解三角形问题 。 平面向量

: (1)能灵活运用向量的数量积解决有关问题 ; (2) 理解和掌握向量的几何运算、坐标运算 ; (3) 理解和掌握平面向量的平行和垂直关系。 2.考题设置与分值: 高考对这两部分的考试一般有 1-2 个客观题和 1 个解答题(第 16 题) ,总分值 20 分左右; 3.考试重点及难度: (1)三角函数主要考查: ①灵活运用公式的能力,特别是单项化公式; ②在客观题中,突出考察三角函数的图像和性质; ③解三角形也是高考的一个重点. (2)平面向量的考察侧重: ①平面向量的运算,特别是数量积的运算(坐标运算) ;要关注各种运算的几何意义和物理意 义,要善于在几何图形中寻求各向量的关系; ②向量的平行、垂直的充要条件的运用; (3)三角函数与平面向量的综合: 将三角函数和向量综合在一起进行考查是现在高考的趋势(解答题 16 题) ,这体现了在知识 的交汇点命题的原则,由于这种题放在 16 题的位置,是较容易的题 总之,高考对三角和向量的考查小题大都以考察基本公式、基本性质为主,解答题以基础题 为主,中档题可能有所涉及,压轴题可能性不大。 二.考点选讲 【考点 1】三角函数的图像和性质 【例 1】已知函数

y ? sin( x ?

?
12

) cos( x ?

), 12 则下列对函数的判断正确的是( (

?



A.周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 12

?

, 0)



( , 0) B.周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 12

?
(

C.周期为 2? ,其图象的一个对称中心是 6

?

, 0)



( , 0) D.周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 6

?

-1-

12 【解析】 2? ? T? ?? ( , 0) 2 所以 ,对称中心是 12 。所以选 B。

y ? sin( x ?

?

) cos( x ?

1 ? sin( 2 x ? ) 12 = 2 6 )

?

【注】:本题考查三角函数的简单变形和三角函数图像的基础知识。 【练习 1】函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的 交点,则 k 的取值范围是__________。

【 练 习 2 】 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) ? b 的 图 象 如 图 , 则 f ( x) 的 解 析 式 和

S ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2006)
的值分别为( )

A.
1 ? 1 f ( x) ? sin x ? 1 S ? 2007 2 2 2 B. ,

f ( x) ?

1 sin 2?x ? 1 2 , S ? 2006

C. D.

f ( x) ?
f ( x) ?

1 ? 1 sin x ? 1 S ? 2006 2 2 2 ,
1 ? sin x ? 1 2 2

, S ? 2007

【考点 2】三角公式的灵活运用

? ? 3? ? cos( ? ? ) 3 ?? ? 0? ? ? 4 4 , 4, 【例 2】已知 4 =5,
sin( 3? 5 ? ?) 4 = 13 ,求 sin(? ? ? ) 的值.

?
【解析】

?

? 4 ? ? ? ? ?? ? 0
2 4
?
4 ??) ? ?

?? ?

3? 4 cos(

?
4

,又

??) ?

3 5

?
又 ∴

sin(

4 5, 3? 3? ?? ? ?? 4 4

0? ? ?

?
4 ,

?

sin(

3? 5 ? ?) 4 13 =

,

cos(

3? 12 ? ?) ? ? 4 13

-2-

? ?? ? ? 3? ? sin(? ? ? ) ? ? cos ? ? (? ? ? ) ? ? ? cos ?( ? ? ) ? ( ? ? )? 2 4 4 ? ? ? ? ∴
? ? cos( 3? ? 3? ? ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4

56 12 3 5 4 ? ? ? ? 65 13 5 13 5 =

【注】本题考查三角函数的有关运算,特别是分析其中三角函数式的差异、角的差异,利用 所学公式进行合理变形 。 【考点 3】解三角形 【例 3】如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与

D .测得:
?BCD ? 150,?BDC ? 300,CD ? 30 米,
并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 为 60 ,则塔高 AB=
0

【解析】由题意得
s ? tan ? sin ? 30 tan 60? sin 30? ? ? 15 6 sin(? ? ? ) sin ?15? ? 30? ?

AB ?

(米)

【注】:在 2007 年的课改区高考试题中,十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷 更注意数学应用意识和实践能力的考查,试题设计更加注意贴近生活实践. 【练习 1】已知三角形 ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设 m ? (a, b), n ? (sin B, sin A) ,
p ? (b ? 2, a ? 2)

若 m // n ,求证:△ABC 为等腰三角形

若 m ? p ,边长 c=2,角

c?

?
3 ,求△ABC 的面积。

【考点 4】向量的运算与应用 【例 4】已知△ ABC 中,过重心 G 的直线交边 AB 于 P ,交边 AC 于 Q ,设△ APQ 的面积为
S1

??? ? ??? ? ???? ???? ,△ ABC 的面积为 S 2 , AP ? pPB , AQ ? qQC ,则:

-3-

pq ? (ⅰ) p ? q ——————

S1 (ⅱ) S 2 的取值范围是

.

? ? ???? ? ??? ? ? ???? ? ??? AP ? ? a AQ ? ? b AB ? a AC ? b 1 2 【解析】设 , , , ,因为 G 是△ ABC 的重心,故
???? 1 ? ? AG ? (a ? b) 3 ,

??? ? ???? ??? ? ? 1? 1 PG ? AG ? AP ? ( ? ?1 )a ? b 3 3 , 又
??? ? ???? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? PQ ? AQ ? AP ? ?2 b ? ?1 a ,因为 PG 与 PQ 共线,所以 PQ ? ? PG ,
? 1 ? ? 1 1 1 ? ? [? ( ? ?1 ) ? ?1 ]a ? ( ? ? ?2 )b ? 0 ? ( ? ?1 ) ? ??1 ? ? ?2 a b 3 3 3 即 ,又 与 不共线,所以 及3 ,消去 ? ,得

?1 ? ?2 ? 3?1?2 .
1 1 1 1 pq ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 3 ? 2 ? 1 ?1 ?2 (ⅰ) p q ?1 ,故 p ? q ; ?1 1 ?2 ? (?1 ? ) 3 ? ? 1 3 ,那么 1 (ⅱ)
S1 | AP | ? | AQ | ? sin ?BAC ? S2 | AB | ? | AC | ? sin ?BAC

? ?1?2 ?

?12 1 ? 1 3?1 ? 1 ?( ? 3 ) 2 ? 9 ?1 2 4,
?1 ?
S1 1 1 4 1 ?1 ? [ ,1] ? [ , ]. 2, 故 2 ,故 S 2 9 2 但因为 P

当 P 与 B 重合时, ?1 ? 1 ,当 P 位于 AB 中点时,
S1 4 1 ? [ , ). S 9 2 2 B 与 不能重合,故

? ???? ???? ??? ? ??? AE ? y AC , AD ? x AB 【练习 1】过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 ,

1 1 ? xy ? 0 ,则 x y 的值为(
A、4 B、3 C、2

) D、1

【练习 2】已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足 PA ? 2 PB ? 3PC ? 0,记 ?ABP 、 ?BCP 、 ?ACP 的 面积依次为 S1 、 S 2 、 S 3 ,则 S1 : S 2 : S 3 等于( A、1:2:3 C、 3 : 2 :1 B、1:4:9 D、3:1:2
-4-



【考点 5】三角与向量的综合
? ? 1 1 m ? (a ? sin ? ,? ) n ? ( , cos? ) 2 , 2 【例 5】已知向量 .

a?
(1)当

2 ? ? 2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值;
? ?

(2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan ? 的值.

3 a ? (sin x,?1), b ? (cos x, ) 2 . 【练习 1】 :已知向量
(1)当 a // b时, 求 cos x ? 3 sin 2 x 的值。
2

(2)求 f ( x) ? (a ? b) ? b 的最小正周期和单调递增区间。

【 练 习 2 】 已 知 向 量 OA = a = ( cos

? , sin ? ), OB ? b ? (2 cos ? ,2 sin ? ) ,
?

OC ? c ? (0, d )(d ? 0), 其中 O 为坐标原点,且 0 ? ? ? 2 ? ? ? ? .
(1)若 a ? (b ? a ), 求 ? ? ? 的值;
OB ? OC ? 1, OA ? OC | OC | ? 3 , 2

(2)若 | OC |

求△OAB 的面积

【练习 3】三角形的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,设向量 m ? (c ? a, b ? a ) ,

n ? (a ? b, c) , 若 m // n .
(1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围.

三角函数与平面向量综合测试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,恰有 一项是符合题目要求的。

?
1.下列函数中,周期为 2 的是( )

-5-

y ? sin
A.

x 2

B. y ? sin 2 x

y ? cos
C. )

x 4

D. y ? cos 4 x

2.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1 ,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

3. 条件甲 1 ? sin ? ? a ,条件乙

sin

?
2

? cos

?
2

?a
,那么 ( )

A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的充要条件 C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件

??? ? ??? ? ???? O △ ABC BC 2 OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( ) D 4.已知 是 所在平面内一点, 为 边中点,且 ???? ???? ???? ???? AO ? OD AO ? 2 OD A. B.
C. AO ? 3OD

????

????

D. 2 AO ? OD

????

????

1 ? 5. 若函数 f(x)= 3 sin 2 x, x∈[0, 3 ], 则函数 f(x)的最大值是 1 A. 2 2 B. 3

(

)

2 C. 2
C.1

3 D. 2
( D.-1 ( ) )

6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 A.-2 B.2 7.

? 、 ? 为锐角 a=sin( ? ? ? ),b= sin ? ? cos ? ,则 a、b 之间关系为
B.b>a C.a=b D.不确定

A.a>b

8. 下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? .

k? ,k ? Z ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= 2 |.
③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.

? ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象向右平移 得到y ? 3 sin 2 x的图象. 3 6 ④把函数 ? y ? sin( x ? )在〔 0,?〕上是减函数. 2 ⑤函数

-6-

其中真命题的序号是

① ④

( (写出所有真命题的编号) )

9. f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则 A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数





10. 使 y ? sin ?x (ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,则ω 的最小值为(



5 ? A. 2

5 ? B. 4

C.π

3 ? D. 2

?? i xOy 11、在直角坐标系 中, , j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若直角三角形 ABC 中, ??? ? ? ? ???? ? ? AB ? 2i ? j , AC ? 3i ? k j ,则 k 的可能值有 (
)

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 12. 如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间 的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是 ( )
4 6 (B) 3 2 21 (D) 3

(A) 2 3
3 17 (C) 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.若 tan ? =2,则 2sin2 ? -3sin ? cos ? = .

14.若 sin ? -

cos? ?

7 5 , ? ∈(0,π ) ,则 tan ? =

.

15. 如右图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则

???? ??? ? AD?BC ? __________ .
16.2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1, 大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,
B D

A

C

-7-

那么 cos 2? 的值等于



三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 Δ ABC_三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

??? ? ???? AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (1)若
18. (本小题满分 12 分)

(2)若 C=5,求 sin∠A 的值.

已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1, x ? R. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? ? 3? ? ?8 , 4 ? f ( x ) ? 上的最小值和最大值. (II)求函数 在区间 ?
19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 函 数

π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ 0 ?≤ ) 2 的图象与 y 轴交于点
(0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 .
(1)求 ? 和 ? 的值;

y

3
O
A

P

x

?π ? A? , 0? Q( x0,y0 ) 2 ? ?, (2) 已知点 点 P 是该函数图象上一点, 点 y0 ? 3 x ? ? π ,π ? 0 ? ? ?2 ? 时,求 x0 的值. 2 ,

是 PA 的中点,当

20. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? a 在(0, 2π )内有两个不同零点 ? 、 ? . (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求 tan(? ? ? ) 的值. 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ( x) ? a ? (b ? c) , 其 中 向 量 a ? (sin x, ? cos x) ,

?

? ?

?

? ? b ? (sin x, ?3cos x) , c ? (? cos x,sin x) , x ? R 。
(Ⅰ) 、求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期;
-8-

(Ⅱ) 、将函数 f ( x) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称, 求长度最小的 d 。

? ?

? ?

π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? g ( x) ? 1 ? 1 sin 2 x 12 ? , ? 2 22.(本小题满分 14 分)已知函数 .
(I)设

x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.

(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

三角函数与平面向量综合测试题参考答案

T=
1. D 由

2?

? ,逐一验证即可得出结果.

2. C 此题以三角函数为背景 ,考查命题的否定 : 全称命题的否定为特称命题 ,否定形式 是改全称量词为特称量词,同时还须否定结论.由此不难得到答案.

1 ? sin ? ? (sin
3. D

?

? cos ) 2 ?| sin ? cos | 2 2 2 2 , 故选 D

?

?

?

??? ? ???? ???? O △ ABC BC OB ? OC ? 2 OD D 4. 是 所在平面内一点, 为 边中点,∴ ,且 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? 2OA ? OB ? OC ? 0 ,∴ 2OA ? 2OD ? 0 ,即 AO ? OD ,选 A
3 1 ? 1 ? 1 ? 2 5. D 函数 f(x)= 3 sin 2 x, ∵x∈[0, 3 ],∴ 2 x∈[0, 6 ],∴ 3 sin 2 x
6. B (1+tan25°)(1+tan20°)=1+ tan 25 ? tan 20 ? tan 25 tan 20
0 0 0

0

? 1 ? tan(25 0 ? 20 0 )(1 ? tan 25 0 tan 20 0 ) ? tan 25 0 tan 20 0 ? 1 ? 1 ? tan 25 0 tan 20 0 ? tan 25 0 tan 20 0 ?2
B ∵ ? 、 ? 为锐角∴

7.

0 ? sin ? ? 1,

0 ? cos ? ? 1

又 sin( ? ? ? )= sin ? cos ? ? cos ? sin ? < sin ? ? cos ?
-9-

∴a ? b

8.解答:① y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? ?cos 2 x ,正确;②错误;③ y ? sin x ,
4 4 2 2

y ? tan x 和 y ? x 在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识 . 三角 函数的概念,在今年的高考中,主要是以选择、填空的形式出现,每套试卷都有不同程度的 考查.预计在 2008 年高考中,三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一. ∵ f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值

9.

D

∴ f ( x ? 1) 在 x=0 处取最大值, 即 y 轴是函数 f ( x ? 1) 的对称轴 ∴函数 f ( x ? 1) 是偶函数

10.

A 要使 y ? sin ?x (ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值

5 2? 5 ? ?? ? 2 只需要最小正周期 4 ? ? 1,故
11.【答案】B

??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? BC ? BA ? AC ? ? 2 i ? j ? 3 i ? k j ? i ? ( k ? 1) j?? 【解析】解法一: ??? ? ???? ? ? ? ? AB ? AC ? (2 i ? j )(3i ? k j ) ? 6 ? k ? 0 ? k ? ?6 ; (1) 若 A 为直角,则 ??? ? ??? ? ? ? ? ? (2) 若 B 为直角,则 AB ? BC ? (2i ? j )[i ? (k ? 1) j ] ? 1 ? k ? 0 ? k ? ?1 ; ???? ??? ? ? ? ? ? AC ? BC ? (3 i ? k j )[ i ? ( k ? 1) j] ? k 2 ? k ? 3 ? 0 ? k ?? 。 (3) 若 C 为直角,则
所以 k 的可能值个数是 2,选 B 解法二:数形结合.如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1),C 点坐标为(3,k),所以 C 点在直线 x=3 上,由图知,只可能 A、B 为直角, C 不可能为直角.所以 k 的可能值个数是 2,选 B 12.解答:D 因为 l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,所以过 A 作 l2 的垂线,交 l2、l3 分别于点 D、E,如图,则∠BAD= ∠BAC+∠CAE,即∠BAD=60°+∠CAE,记正三角形 ABC 的边长为 a,两边取余弦得:

- 10 -

1 ? cos 60? cos CAE ? sin 60? sin CAE a ,

1 1 3 3 a 2 ? 32 ? ? ? ? 2 a 即a 2 a
3(a 2 ? 9) ? 1, 解之得, a ?
整理得

2 21 3 ,故选 D.

【点评】 本题以平面几何为平台,主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力. 本题意图与新课标接轨,需引起高三备考学生的密切关注.

2 13. 5 ?

2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? 2 tan 2 ? ? 3 tan ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 2sin2 ? -3sin ? cos ? =
∵ sin ? -

4 3 ? 14. 3 或 4

cos? ?

7 ? 5 >1,且 ? ∈(0,π )∴? ∈( 2 ,π )

7 cos ? ) 2 ? ( ) 2 5 ∴ ( sin ? - 24 ∴2sin ? cos ? = 25 ?
∴ sin ? +

cos ? ? ?

1 5 ? 4 cos ? = 5 ?

4 ∴sin ? = 5 ?

3 3 cos ? = 5 或 sin ? = 5

4 3 ? tan ? = 3 或 4

8 15.【答案】 3 ?
cos B ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? BD

【 分 析 】 由 余 弦 定 理 得

可 得

BC ? 7

, AD ?

13 3 ,

- 11 -

???? ??? ? cos ?ADB ? 又 AD, BC 夹角大小为 ?ADB ,
8 ???? ??? ? AD ? BC ? cos ?ADB ? ? 3 . 所以 AD?BC ?

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 32 9 8 ?? ? ?? 2 ? BD ? AD 9 4 13 ? 7 91 ,

16.图中小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,∴ 每一个直角三角形的面积是 6,设

?a 2 ? b 2 ? 25 ? ? 1 ab ? 6 ? 直角三角形的两条直角边长分别为 a, b,则 ? 2 ,
4 ∴ 两条直角边的长分别为 3,4,直角三角形中较小的锐角为 ? ,cosθ = 5 , 7 cos2θ =2cos2θ -1= 25 .
??? ? ???? AB ? ( ? 3, ? 4), AC ? (c ? 3, ?4) 17.【解析】(1)

??? ? ???? AB ? AC ? 0 可得 ?3(c ? 3) ? 16 ? 0 , 由

c?
解得

25 3

(2)当 c ? 5 时,可得 AB ? 5, AC ? 2 5, BC ? 5 , Δ ABC 为等腰三角形 过 B 作 BD ? AC 交 AC 于 D ,可求得 BD ? 2 5

sin A ?


BD 2 5 ? AB 5

(其它方法如①利用数量积 AB ? AC 求出 cos A 进而求 sin A ;②余弦定理,正弦定理等!)

??? ? ????

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ?. ? 18.【分析】 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x
因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .

?? ? ? ? 3? ? ? 3? 3? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? , ? , ? ? 4 ? 在区间 ? 8 8 ? 上为增函数,在区间 ? ? ? 8 4 ? 上为 (II)解法一:因为
减函数,



? ?? ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? ? f ? ? ? 0, f ? ? ? 2, f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1, 4 ?8? ? 8 ? ? 4 ? ? 2 4?
- 12 -

? ? 3? ? ? , ? 故函数 f ( x) 在区间 ? 8 8 ? 上的最大值为 2, 最小值为 ?1 .

?? ? ? ? 9? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ?8 , 8 ? 4 ? ? ? 上的图象如下: 解法二:作函数 在长度为一个周期的区间 ?

? ? 3? ? ?8 , 4 ? f ( x ) ? 上的最大值为 2, 最小值为 由图象得函数 在区间 ?
函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.

? 3? f? ? 4

? ? ? ?1 ? .

【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、

19.解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2 cos(? x ? ? ) 得

cos ? ?

3 2 ,

0 ≤? ≤
因为

? ? ?? 2 ,所以 6.

? 又因为 y ? ?2? sin(? x ? ? ) ,

y?

x ?0

? ?2

??


? 6 ,所以 ? ? 2 ,

?? ? y ? 2 cos ? 2 x ? ? 6?. ? 因此 ?? ? 3 A? , 0? y0 ? Q ( x , y ) 0 0 是 PA 的中点, 2 , (2)因为点 ? 2 ? , ? ? ? ? 2 x0 ? ,3 ? 2 ?. 所以点 P 的坐标为 ?

5? ? 3 ?? ? ? cos ? 4 x0 ? ? ? y ? 2 cos ? 2 x ? ? 6 ? 2 . 6 ? 的图象上,所以 ? ? 又因为点 P 在

- 13 -

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ≤ 4 x0 ? ≤ 6 6 , 因为 2 ,所以 6 4 x0 ? 5? 11? 5? 13? ? 4 x0 ? ? 6 6 或 6 6 .

从而得



x0 ?

2? 3? x0 ? 3 或 4 .

3 1 ? 20.解: (Ⅰ)∵sinx+ 3 cosx=2( 2 sinx+ 2 cosx)=2 sin(x+ 3 ),
而 函 数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? a 在 (0, 2 π ) 内 有 两 个 不 同 零 点 等 价 于 关 于 x 的 方 程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解

a ∴方程化为 sin(x+ 3 )=- 2 .
∵方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解,

?

3 ∴sin(x+ 3 )≠sin 3 = 2 . 3 又 sin(x+ 3 )≠±1 (∵当等于 2 和±1 时仅有一解),
3 a a ∴|- 2 |<1 . 且- 2 ≠ 2 . 即|a|<2 且 a≠- 3 .
∴ a 的取值范围是(-2, - 3 )∪(- 3 , 2). (Ⅱ) ∵α 、 β 是方程的相异解, ∴sinα + 3 cosα +a=0 sinβ + 3 cosβ +a=0 ①. ②.

?

?

?

①-②得(sinα - sinβ )+ 3 ( cosα - cosβ )=0.

???
∴ 2sin

???
cos

???
-2 3 sin

???
sin

???
=0, 又 sin

2

2

2

2

2

≠0,

- 14 -

???
∴tan

2

3 = 3 .

2 tan
∴tan(α +β )=

???
2 ? ? ?

2

2 ? tan

2

= 3.

21. 分析:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识,考查推理和运算能力。 解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a?(b+c)=(sinx,-cosx)?(sinx-cosx,sinx-3cosx)

3? =sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+ 4 ). 2? 所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是 2 = ? . 3? 3? k? 3? ? 8 ,k∈Z, (Ⅱ)由 sin(2x+ 4 )=0 得 2x+ 4 =k. ? ,即 x= 2

k? 3? 2 k? 3? d ? ( ? ) ? 4, ? 2 8 8 ,-2) 于是 d=( 2 , k∈Z.

因为 k 为整数,要使

d

?
最小,则只有 k=1,此时 d=(― 8 ,―2)即为所求.

点评:三角函数,三角形问题相结合也是一个很好的命题素材,主要考查向量的数量积、正 弦定理、余弦定理与三角函数等基础知识.在这种试题中一般考查学生的转化化归思想,要 求学生利用三角形的几何特性,通过构造向量,将解三角形的问题转化化归为向量的基本关 系和基本运算.

1 π f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] 2 6 . 22.解: (I)由题设知

因为

x ? x0

是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以

2 x0 ?

π 6 ? kπ ,



2 x0 ? kπ ?

π 6 (k ?Z ) .

1 1 π g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) 2 2 6 . 所以

- 15 -

1 1 3 ? π? g ( x0 ) ? 1 ? sin ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 6? 4 4, 当 k 为偶数时,
1 π 1 5 g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? 2 6 4 4. 当 k 为奇数时,

h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
(II)

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2x ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? π ? ? 3 ? ? ? ? ? 2? ? 6? 2 2 2 2 ? 3? 2. ? ? 2 2 ?
2kπ ? π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? kπ ? ≤ x ≤ kπ ? 2 3 2 ,即 12 12 ( k ? Z )时,



1 π? 3 ? h( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 2 ? 3 ? 2 是增函数, 函数 5π π? ? kπ ? ,kπ ? ? ? 12 12 ? ( k ? Z ) 故函数 h( x) 的单调递增区间是 ?

- 16 -


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