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2015年广东省深圳市翠园中学高考数学模拟试卷(文科)


2015 年广东省深圳市翠园中学高考数学模拟试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选 择符合题目要求的选项. 1.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a+i=2﹣bi,则(a+bi) =( A. 3﹣4i B. 3+4i C. 4﹣3i D. 4+3i 2.设集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|

1≤x≤4},则 A∩B=( ) A. (0,2] B. (1,2) C. [1,2) D. (1,4)
2 2



3.函数 f(x)=

的定义域为(



A. (0,2) B. (0,2] C. (2,+∞) D. [2,+∞) 4.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是( ) 2 A. 方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D. 方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 5.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是( 3 3 A. x >y B. sinx>siny C. ln(x +1)>ln(y +1) D.
2 2 x y 2





6.已知函数 y=loga(x+c) (a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论

成立的是(



A. a>1,c>1 B. a>1,0<c<1 C. 0<a<1,c>1 D. 0<a<1,0<c<1 7.已知向量 =(1, ) , =(3,m) ,若向量 , 的夹角为 ,则实数 m=( )

A. 2

B.

C. 0 D. ﹣

8. 为了研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验. 所有志愿者的舒张压数据 (单 位:kPa)的分组区间为[12,13) ,[13,14) ,[14,15) ,[15,16) ,[16,17],将其按从左 到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布 直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效 的人数为( )

A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 9.对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=f(2a﹣ x) ,则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( ) A. f(x)= B. f(x)=x C. f(x)=tanx D. f(x)=cos(x+1)
2

10.已知 x,y 满足约束条件 束条件下取到最小值 2 A. 5 B. 4 C.
2 2

,当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约 )

时,a +b 的最小值为( D. 2

二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案须填在题中横线上. 11.执行如图程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为 .

12.函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为

2



13.一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱 锥的侧面积为 .

一、选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得 分. (坐标系与参数方程选做题)

14.在平面直角坐标系中,曲线 C:

(t 为参数)的普通方程为



一、几何证明选讲选做题 15. (2015?深圳校级模拟) (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线,切点为 B,OC 平行于弦 AD,若 OB=3,OC=5,则 CD= .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (13 分) (2014?山东)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样 检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这 些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (Ⅰ)求这 6 件样品来自 A,B,C 各地区商品的数量; (Ⅱ) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 17. (13 分) (2014?山东) △ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a=3, cosA= B=A+ .



(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积. 18. (13 分) (2014?山东) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, AP⊥平面 PCD, AD∥BC, AB=BC= AD, E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AP∥平面 BEF; (Ⅱ)求证:BE⊥平面 PAC.

19. (13 分) (2014?山东)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅱ)设 bn=a ,记 Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn,求 Tn.

20. (13 分) (2014?山东)设函数 f(x)=alnx+

,其中 a 为常数.

(Ⅰ)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性.

21. (15 分) (2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离

心率为

,直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值.

2015 年广东省深圳市翠园中学高考数学模拟试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选 择符合题目要求的选项. 2 1.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a+i=2﹣bi,则(a+bi) =( ) A. 3﹣4i B. 3+4i C. 4﹣3i D. 4+3i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用两个复数相等的充要条件求得 a、b 的值,再利用两个复数代数形式的乘法法则 求得(a+bi) 的值. 2 2 解答: 解:∵a+i=2﹣bi,∴a=2、b=﹣1,则(a+bi) =(2﹣i) =3﹣4i, 故选:A. 点评: 本题主要考查两个复数相等的充要条件,两个复数代数形式的乘法法则,属于基础 题. 2.设集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=( ) A. (0,2] B. (1,2) C. [1,2) D. (1,4) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别解出集合 A 和 B,再根据交集的定义计算即可. 解答: 解:A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4}, ∴A∩B={x|1≤x<2}. 故选:C. 点评: 本题是简单的计算题,一般都是在高考的第一题出现,答题时要注意到端点是否取 得到,计算也是高考中的考查点,学生在平时要加强这方面的练习,考试时做到细致悉心, 一般可以顺利解决问题.
2 2

3.函数 f(x)=

的定义域为(



A. (0,2) B. (0,2] C. (2,+∞) D. [2,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分析可知, ,解出 x 即可.

解答: 解:由题意可得,



解得

,即 x>2.

∴所求定义域为(2,+∞) . 故选:C. 点评: 本题是对基本计算的考查,注意到“真数大于 0”和“开偶数次方根时,被开方数要大 于等于 0”,及“分母不为 0”,即可确定所有条件.高考中对定义域的考查,大多属于容易题. 4.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是( ) 2 A. 方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D. 方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 考点: 专题: 分析: 解答: 反证法与放缩法. 证明题;反证法. 直接利用命题的否定写出假设即可. 解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,
2 2

∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 2 是方程 x +ax+b=0 没有实根. 故选:A. 点评: 本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查. 5.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是( 3 3 A. x >y B. sinx>siny C. ln(x +1)>ln(y +1) D.
2 2 x y





考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键. x y 解答: 解:∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴x>y, 3 3 A.当 x>y 时,x >y ,恒成立,

B.当 x=π,y=
2

时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.
2 2 2

C.若 ln(x +1)>ln(y +1) ,则等价为 x >y 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 2 2 x >y 不成立. D.若
2 2



,则等价为 x +1<y +1,即 x <y ,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但

2

2

2

2

x <y 不成立. 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题 的关键. 6.已知函数 y=loga(x+c) (a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论

成立的是(



A. a>1,c>1 B. a>1,0<c<1 C. 0<a<1,c>1 D. 0<a<1,0<c<1 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的图象和性质即可得到结论. 解答: 解:∵函数单调递减,∴0<a<1, 当 x=1 时 loga(x+c)=loga(1+c)<0,即 1+c>1,即 c>0, 当 x=0 时 loga(x+c)=logac>0,即 c<1,即 0<c<1, 故选:D. 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质,利用对数函数的单调性是解决本题的关键, 比较基础.

7.已知向量 =(1, A. 2 B.

) , =(3,m) ,若向量 , 的夹角为 C. 0 D. ﹣

,则实数 m=(



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得 m 的值. 解答: 解:由题意可得 cos = = = ,

解得 m= , 故选:B. 点评: 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属于基础题. 8. 为了研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验. 所有志愿者的舒张压数据 (单 位:kPa)的分组区间为[12,13) ,[13,14) ,[14,15) ,[15,16) ,[16,17],将其按从左 到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布 直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效 的人数为( )

A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由频率= 以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人的频率,

即可求出第三组中有疗效的人数得到答案; 解答: 解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人,分布在区间第一组与第二 组的频率分别为 0.24,0.16,所以第一组有 12 人,第二组 8 人,第三组的频率为 0.36,所 以第三组的人数:18 人, 第三组中没有疗效的有 6 人, 第三组中有疗效的有 12 人. 故选:C. 点评: 本题考查古典概型的求解和频率分布的结合,列举对事件是解决问题的关键,属中 档题. 9.对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=f(2a﹣ x) ,则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( ) 2 A. f(x)= B. f(x)=x C. f(x)=tanx D. f(x)=cos(x+1) 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意判断 f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.

解答: 解:对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x) =f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准偶函数, ∴函数的对称轴是 x=a,a≠0, 选项 A 函数没有对称轴;选项 B、函数的对称轴是 x=0,选项 C,函数没有对称轴. 函数 f(x)=cos(x+1) ,有对称轴,且 x=0 不是对称轴,选项 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查函数的对称性的应用,新定义的理解,基本知识的考查.

10.已知 x,y 满足约束条件 束条件下取到最小值 2 A. 5 B. 4 C.
2 2

,当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约 )

时,a +b 的最小值为( D. 2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函 数得到 2a+b﹣2 =0.a +b 的几何意义为坐标原点到直线 2a+b﹣2 然后由点到直线的距离公式得答案. 解答: 解:由约束条件 作可行域如图,
2 2

=0 的距离的平方,

联立

,解得:A(2,1) .

化目标函数为直线方程得: 由图可知,当直线 ∴2a+b=2 . 即 2a+b﹣2 =0. 则 a +b 的最小值为
2 2

(b>0) . 过 A 点时,直线在 y 轴上的截距最小,z 最小.



故选:B. 点评: 本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方 法,训练了点到直线距离公式的应用,是中档题. 二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案须填在题中横线上. 11.执行如图程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为 3 .

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 计算循环中不等式的值,当不等式的值大于 0 时,不满足判断框的条件,退出循环, 输出结果即可. 解答: 解:循环前输入的 x 的值为 1, 2 第 1 次循环,x ﹣4x+3=0≤0, 2 满足判断框条件,x=2,n=1,x ﹣4x+3=﹣1≤0, 2 满足判断框条件,x=3,n=2,x ﹣4x+3=0≤0 2 满足判断框条件,x=4,n=3,x ﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件, 输出 n:3. 故答案为:3. 点评: 本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力.
2

12.函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为 π .

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和的正弦公式、 二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 f (x) =sin (2x+ 从而求得函数的最小正周期 解答: 解:∵函数 y= sin2x+cos x=
2

) ,

sin2x+ =π,

=sin(2x+

)+ ,

故函数的最小正周期的最小正周期为

故答案为:π. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦函数的周期性,属于基 础题.

13.一个六棱锥的体积为 2 锥的侧面积为 12 . 考点: 专题: 分析: 解答:

,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱

棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离;立体几何. 判断棱锥是正六棱锥,利用体积求出棱锥的高,然后求出斜高,即可求解侧面积. 解:∵一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, ,

∴棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为 h,则 ∴h=1, 棱锥的斜高为: 该六棱锥的侧面积为: 故答案为:12. = =12. =2,

点评: 本题考查了棱锥的体积,侧面积的求法,解答的关键是能够正确利用体积与表面积 公式解题. 一、选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得 分. (坐标系与参数方程选做题)

14.在平面直角坐标系中,曲线 C:

(t 为参数)的普通方程为 x﹣y﹣1=0 .

考点: 直线的参数方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: 利用两式相减,消去 t,从而得到曲线 C 的普通方程.

解答: 解:∵曲线 C:

(t 为参数) ,

∴两式相减可得 x﹣y﹣1=0. 故答案为:x﹣y﹣1=0. 点评: 本题考查参数方程化成普通方程,应掌握两者的互相转化. 一、几何证明选讲选做题

15. (2015?深圳校级模拟) (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线,切点为 B,OC 平行于弦 AD,若 OB=3,OC=5,则 CD= 4 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 利用圆的切线的性质和勾股定理可得 BC,再利用平行线的性质和全等三角形的性 质可得 CD=CB.即可得出. 解答: 解:∵AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线, ∴OB⊥BC. 在 Rt△ OBC 中, =4.

∵AD∥OC,∴∠A=∠BOC,∠ADO=∠COD. ∵∠A=∠ADO,∴∠BOC=∠DOC. 又∵OB=OD,OC 为公共边. ∴△BOC≌△DOC. ∴CD=CB=4. 点评: 本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质,属于 基础题. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (2014?山东)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样 检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这 些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (Ⅰ)求这 6 件样品来自 A,B,C 各地区商品的数量; (Ⅱ) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这 6 件样品来自 A,B,C 各地区商品的数量; (Ⅱ) 先计算在这 6 件样品中随机抽取 2 件的基本事件总数, 及这 2 件商品来自相同地区的 事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)A,B,C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300,

故抽样比 k=

=

, ×50=1;

故 A 地区抽取的商品的数量为: B 地区抽取的商品的数量为: C 地区抽取的商品的数量为:

×150=3; ×100=2; =15 个不同的基本事件;

(Ⅱ)在这 6 件样品中随机抽取 2 件共有:

且这些事件是等可能发生的, 记“这 2 件商品来自相同地区”为事件 A,则这 2 件商品可能都来自 B 地区或 C 地区, 则 A 中包含 故 P(A)= , . =4 种不同的基本事件,

即这 2 件商品来自相同地区的概率为

点评: 本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题. 17. (13 分) (2014?山东) △ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a=3, cosA= B=A+ .



(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用 cosA 求得 sinA,进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB,最后利用正弦定理 求得 b 的值. (Ⅱ)利用 sinB,求得 cosB 的值,进而根两角和公式求得 sinC 的值,最后利用三角形面积 公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵cosA= ∴sinA= ∵B=A+ . )=cosA= = , , = , ,

∴sinB=sin(A+ 由正弦定理知

∴b=

?sinB=

×

=3



(Ⅱ)∵sinB= ∴cosB=﹣

,B=A+ =﹣ ,



sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴S= a?b?sinC= ×3×3 × = .

×(﹣

)+

×

= ,

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数 恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用.

18. (13 分) (2014?山东) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, AP⊥平面 PCD, AD∥BC, AB=BC= AD, E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AP∥平面 BEF; (Ⅱ)求证:BE⊥平面 PAC.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (Ⅰ)证明四边形 ABCE 是平行四边形,可得 O 是 AC 的中点,利用 F 为线段 PC 的中点,可得 PA∥OF,从而可证 AP∥平面 BEF; (Ⅱ)证明 BE⊥AP、BE⊥AC,即可证明 BE⊥平面 PAC. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 CE,则 ∵AD∥BC,BC= AD,E 为线段 AD 的中点, ∴四边形 ABCE 是平行四边形,BCDE 是平行四边形, 设 AC∩BE=O,连接 OF,则 O 是 AC 的中点, ∵F 为线段 PC 的中点, ∴PA∥OF, ∵PA?平面 BEF,OF?平面 BEF, ∴AP∥平面 BEF; (Ⅱ)∵BCDE 是平行四边形, ∴BE∥CD, ∵AP⊥平面 PCD,CD?平面 PCD,

∴AP⊥CD, ∴BE⊥AP, ∵AB=BC,四边形 ABCE 是平行四边形, ∴四边形 ABCE 是菱形, ∴BE⊥AC, ∵AP∩AC=A, ∴BE⊥平面 PAC.

点评: 本题考查直线与平面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,正确运用 直线与平面平行、垂直的判定是关键 19. (13 分) (2014?山东)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅱ)设 bn=a ,记 Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由于 a2 是 a1 与 a4 的等比中项,可得 即可得出. (Ⅱ)利用(Ⅰ)可得 bn=a ,再利用等差数列的通项公式

=n(n+1) ,因此 Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn=
n

n

﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1) n?(n+1) .对 n 分奇偶讨论即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵a2 是 a1 与 a4 的等比中项, ∴ ,

∵在等差数列{an}中,公差 d=2, ∴ 化为 ,解得 a1=2. ,即 ,

∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n. (Ⅱ)∵bn=a =n(n+1) , ∴Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1) bn=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1) n?(n+1) . * 当 n=2k(k∈N )时,b2k﹣b2k﹣1=2k(2k+1)﹣(2k﹣1) (2k﹣1+1)=4k Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣b2k﹣1)
n n

=4(1+2+…+k)=4×
*

=2k(k+1)=



当 n=2k﹣1(k∈N )时, Tn=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣2﹣b2k﹣3)﹣b2k﹣1 = n(n+1)

=﹣



故 Tn=



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 分类讨论思想方法, 属于中档题.

20. (13 分) (2014?山东)设函数 f(x)=alnx+

,其中 a 为常数.

(Ⅰ)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据导数的几何意义,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣f(1)=f′(1) (x﹣1) ,代入计算即可. (Ⅱ)先对其进行求导,即 ,考虑函数 g(x)=ax +(2a+2)x+a,
2

分成 a≥0,﹣ <a<0,a≤﹣ 三种情况分别讨论即可. 解答: 解: ,

(Ⅰ)当 a=0 时,

,f′(1)= ,f(1)=0

∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y= (x﹣1) . (Ⅱ) (1)当 a≥0 时,由 x>0 知 f′(x)>0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a<0 时,令 f′(x)>0,则 >0,整理得,ax +(2a+2)x+a>0,
2

令 f′(x)<0,则
2

<0,整理得,ax +(2a+2)x+a<0.

2

以下考虑函数 g(x)=ax +(2a+2)x+a,g(0)=a<0. . ①当 a≤﹣ 时,△ ≤0,∴g(x)<0 恒成立. (x>0) ②当﹣ <a<0 时,此时,对称轴方程 ∴g(x)=0 的两根均大于零,计算得 当 当 0<x< 综合(1) (2)可知, 当 a≤﹣ 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当﹣ <a<0 时,f(x)在( 在(0, ) , ( , <x< 或 x> 时,g(x)>0; 时,g(x)<0. >0,

,对称轴方程

)上单调递增, ,+∞)上单调递减;

当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 点评: 导数是高考中极易考察到的知识模块,导数的几何意义和导数的单调性是本题检查 的知识点,特别是单调性的处理中,分类讨论是非常关键和必要的,分类讨论也是高考中经 常考查的思想方法.

21. (15 分) (2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离

心率为

,直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由椭圆离心率得到 a,b 的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点 的横坐标, 把弦长用交点横坐标表示, 则 a 的值可求, 进一步得到 b 的值, 则椭圆方程可求;

(Ⅱ) (i)设出 A,D 的坐标分别为(x1,y1) (x1y1≠0) , (x2,y2) ,用 A 的坐标表示 B 的 坐标,把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示,写出直线 AD 的方程,和椭圆方程联立后利 用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和,求出 AD 中点坐标,则 BD 斜率可求,再写出 BD 所在直线方程,取 y=0 得到 M 点坐标,由两点求斜率得到 AM 的斜率,由两直线斜率的关 系得到 λ 的值; (ii)由 BD 方程求出 N 点坐标,结合(i)中求得的 M 的坐标得到△ OMN 的面积,然后结 合椭圆方程利用基本不等式求最值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知, ∴椭圆 C 的方程可化为 x +4y =a . 将 y=x 代入可得 因此 则 b=1. ∴椭圆 C 的方程为 ; , ,解得 a=2.
2 2 2

,则 a =4b .

2

2

(Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) , 则 B(﹣x1,﹣y1) . ∵直线 AB 的斜率 又 AB⊥AD, ∴直线 AD 的斜率 设 AD 方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0.
2 2 2





联立

,得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0.

∴ 因此

. .

由题意可得



∴直线 BD 的方程为 令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0) .



可得



∴ 因此存在常数

,即

. 使得结论成立.

(ii)直线 BD 方程为



令 x=0,得

,即 N(

) .

由(i)知 M(3x1,0) , 可得△ OMN 的面积为 S= 当且仅当 时等号成立. = .

∴△OMN 面积的最大值为 . 点评: 本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线 联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的 特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.


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