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与抛物线有关的结论


与抛物线有结论
抛物线中有一些常见、常 ? y ? k ( x ?
p ? ) 用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题 2 ? ? y 2 ? 2 px ?

时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一: 若 AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 (过焦点的弦) , 且 A( x1, y1 )

,B( x2 , y2 ) , 则:x1 x2 ?
y1 y2 ? ? p2 。
p2 , 4

证明: 因为焦点坐标为 F( 由得: ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0

p p ,0),当 AB 不垂直于 x 轴时, 可设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? ) , 2 2

∴ y1 y2 ? ? p 2 , x1 x2 ?

y12 y22 p4 p2 。 ? ? 2? 2p 2p 4p 4

当 AB⊥x 轴时,直线 AB 方程为 x ?
x1 x2 ? p2 。 4

p ,则 y1 ? p , y2 ? ? p ,∴ y1 y2 ? ? p 2 ,同上也有: 2

例:已知直线 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F,求证:

1 1 ? AF BF

为定值。
p p , BF ? x2 ? , 又 2 2

证 明 : 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 抛 物 线 的 定 义 知 : A F ? x 1?

AF + BF = AB ,所以 x1 + x2 = AB -p,且由结论一知: x1 x2 ?
则: 1 ? 1 ? AF ? BF ?
AF BF AF ? BF AB AB ? 2 p p ( x1 ? )( x2 ? ) x1 x2 ? p ( x1 ? x2 ) ? p 2 2 2 4

p2 。 4
AB
2

=

p p p ? ( AB ? p) ? 4 2 4

2

?

2 (常数) p
AB ? 2P sin 2 ?

结论二: (1 ) 若 AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦, 且直线 AB 的倾斜角为α, 则 (α≠0) 。 (2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。 p 证明: (1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,设直线 AB: y ? k ( x ? ) 2 p 2p ? 由 ? y ? k ( x ? 2 ) 得:, ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ∴ y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? p 2 , ? k 2
? y ? 2 px ?

∴ AB ? 1 ?

1 1 1 2 p 1 ? k 2 2 p(1 ? k 2 ) 2 p(1 ? tan 2 ? ) 2 P 2 y ? y ? 1 ? ( y ? y ) ? 4 y y ? 1 ? ? ? ? 2 。 1 2 1 2 1 2 k2 k2 k2 k k2 tan 2 ? sin ?

易验证,结论对斜率不存在时也成立。 (2)由(1) :AB 为通径时, ? ? 90 , sin 2 ? 的值最大, AB 最小。

1

例:已知过抛物线 y 2 ? 9 x 的焦点的弦 AB 长为 12,则直线 AB 倾斜角为 解:由结论二,12= 则 sin ? ? ?
9 (其中α 为直线 AB 的倾斜角) , sin 2 ?



? 2? 3 ,所以直线 AB 倾斜角为 或 。 3 3 2

结论三:两个相切: (1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 (2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相 切。 已知 AB 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过焦点 F 的弦,求证: (1)以 AB 为直径的圆与抛物线的 准线相切。 (2)分别过 A、B 做准线的垂线,垂足为 M、N,求证:以 MN 为直径的圆与直线 AB 相 y 切。 证明:(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线, 垂足分别为 M、P、N,连结 AP、BP。 由抛物线定义: AM ? AF , BN ? BF ,
1 1 1 ∴ QP ? ( AM ? BN ) ? ( AF ? BF ) ? AB , 2 2 2
M P O N B Q F A

x

∴以 AB 为直径为圆与准线 l 相切 (2)作图如(1) ,取 MN 中点 P,连结 PF、MF、NF,
M ∵ AM ? AF ,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO, y A

∴∠AFM=∠MFO。同理,∠BFN=∠NFO, 1 P ∴∠MFN= (∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°, O F 2 N 1 B ∴ MP ? NP ? FP ? MN , 2 ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°,∴FP⊥AB ∴以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。

x

结论四:若抛物线方程为 y2 ? 2 px( p ? 0) ,过( 2 p ,0)的直线与之交于 A、B 两点,则 OA⊥OB。 反之也成立。

? y ? k ( x ? 2 p) 证明: 设直线 AB 方程为: y ? k ( x ? 2 p) , 由 ? 2 得, △>0,x1 ? x2 ? k ,x1x2 ? ?b y ? 2 px ?
∵ AO ⊥ BO , ∴

AO



BO



x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0

2

将 x1 ? x2 ? k , x1x2 ? ?b 代入得, b ? 1 。∴直线 AB 恒过定点(0,1) 。
S?AOB ? 1 1 1 2 x1 ? x2 ?1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k ? 4 ?1 2 2 2

∴当且仅当 k=0 时, S?AOB 取最小值 1。 结论五 (了解) : 对于抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) , 其参数方程为 ? 坐标为 (2 pt, 显然 kOP ? 2 pt 2 ) ,O 为抛物线的顶点, 动弦 OP 的斜率. 例
OB 和 OA 垂直, 直线 y ? 2 x 与抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 相交于原点和 A 点,B 为抛物线上一点,

? x ? 2 pt,
2

? y ? 2 pt ,

设抛物线 x2 ? 2 py 上动点 P

2 pt 2 ?t , 即 t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的 2 pt

且线段 AB 长为 5 13 ,求 P 的值. 解析:设点 A,B 分别为 (2 pt A2, 2 pt A ), (2 ptB 2, 2 ptB ) ,则 t A ?
1 1 1 ? , tB ? ? ?kOA ? ?2 . kOA 2 kOB
2

p? 5 ?p ? ? A,B 的坐标分别为 ? ,p ?, (8 p, ? 4 p ) .∴ AB ? ? 8 p ? ? ? ( p ? 4 p)2 ? 13 p ? 5 13 .∴ p ? 2 . 2? 2 ?2 ? ?

练习: 1. 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别 是 p,q ,则
1 1 ? = p q

【解析:化为标准方程,得 x2 ? y(a ? 0) ,从而 2 p ? .取特殊情况,过焦点 F 的弦 PQ 垂 直于对称轴,则 PQ 为通径,即 PQ ? 2 p ? ,从而 p ? q ?
1 a
1 1 1 ,故 ? ? 4a 】 p q 2a

1 a

1 a

2.设抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点.点 C 在抛物线 的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明直线 AC 经过原点 O .
? ? 0 ? .设 直线 AB 的方程为 x ? my? 【证明:抛 物线焦点 为 F ? , p ?2 ?
, B( x , y2 ),则 y1 y2 ? ? p2 . y 2 ? 2 pmy ? p2 ? 0 .若设 A( x1, y1 ) 2
kCO ? 2p ; y1

p ,代入抛物 线方程, 得 2

C 在准线 ∵B C ∥ 轴,且点 x

又由 y12 ? 2 px1 ,得 k AO ?

y1 2 p ? , x1 y1

故 kCO ? k AO ,即直线 AC 经过原点 O . 】

, ,准线方程是 x ? y ? 2 ? 0 ,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称 3.已知抛物线的焦点是 F (11)

轴方程.
3

【解:设 P ( x,y ) 是抛物线上的任意一点,由抛物线的定义得 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 整理,得 x2 ? y2 ? 2xy ? 8x ? 8 y ? 0 ,此即为所求抛物线的方程.

x? y?2 2



, 且与准线 x ? y ? 2 ? 0 垂直的直线,因此有对称轴方程 抛物线的对称轴应是过焦点 F (11)

y?x.
, ? 1) ,于是线段 MF 的中点就是抛物线的顶点, 设对称轴与准线的交点为 M ,可求得 M (?1 0) 】 坐标是 (0,

0) , 4..抛物线的顶点坐标是 A(1, 准线 l 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 试求该抛物线的焦点坐标和方程.

解:依题意,抛物线的对称轴方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
? ? ? .设焦点为 F ,则 FM 的中点是 A ,故 设对称轴和准线的交点是 M ,可以求得 M ? ? , 5 5 6 2 ? ? ? 得焦点坐标为 F ? ? ,?. 5 5 4 2 ? ?

再设 P ( x,y ) 是抛物线上的任一点,
2 2 x ? 2y ? 2 4? ? 2? ? x ? ? y ? ? ? ? ? ? 5? ? 5? 5 ?

根 据 抛 物 线 的 定 义 得

, 化 简 整 理 得

4x2 ? y 2 ? 4xy ? 4x ? 12 y ? 0 ,即为所求抛物线的方程.

5.已知 A,B 为抛物线 x 2 ? 4 y 上两点,且 OA ? OB ,求线段 AB 中点的轨迹方程. 解析:设 kOA ? t , OB ? OA ? kOB ? ? ,
? ? 4t 2 ),B ? ? ,2 ? . 据 t 的几何意义,可得 A(4t, t t 4 4 ? ?

1 t

? 1? 4? ? 1? ? x ? 2 ? 4t ? t ? ? 2 ? t ? t ?, ? ? ? ? 设线段中点 P ( x,y ) ,则 ? ? ? y ? 1 ? 4t 2 ? 4 ? ? 2 ? t 2 ? 1 ? . ? ? ? ? ? 2? t2 ? t2 ? ? ?

消去参数 t 得 P 点的轨迹方程为 x2 ? 2( y ? 4) .

4


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