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1.1.3导数的几何意义


§1.1.3 导数的几何意义
备课人:王宏伟 课题内容: 教学目标: 1.知识与技能:了解平均变化率与割线斜率之间的关系;理解曲线的切线的概念;通过 函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题;理解导函数. 2.过程与方法:通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结,发现问题, 解决问题,达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创新能力的目

的. 3.情感态度与价值观:导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义,达到数与形的 结合;同时又是知识在几何学,物理学方面的迁移应用.培养学生学数学,用数学的意识. 教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 教学难点:导数的几何意义. 教辅资源: 导学案 课时安排:1 课时 教学方法:引导探究 教学手段:准备计算机、投影仪、多媒体课件等,多媒体辅助教学 教学过程: 一、创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 我们知道 , 导数表示函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函数 y ? f ( x) 在 1.1.3 导数的几何意义 年级组:高二

x ? x0 附近的变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢?
二、新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率 情境一:如图,观察图中当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿 着 曲 线 f ( x ) 趋 近 于 点

P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PPn 的变化趋势

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问题 1: 当点 P n 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PP n 逐渐趋近于哪个位置?这个 位置有什么特点?(得出切线定义) 问题 2:这个切线的定义与以前我们学过的切线定义有何不同?(可引导学生从交点个数 上进行分析) 问题 3:割线 PP n 的斜率 kn 如何表达?切线 PT 的斜率 k 如何表达,它们有何关系?
f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P 沿着曲线无限接近点 P 时,k 无 (容易知道, 割线 PP n 的斜率是 kn ? n n xn ? x0 限趋近于切线 PT 的斜率 k )

说明: (1)设切线的倾斜角为 ? , 那么当 ?x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是 唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 情境二:联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率,与这节课的割线斜率和切线 斜率进行类比,从而发现知识间的相互关系再进一步得到导数的几何意义

? 瞬时变化率 平均变化率 ??? ? 切线的斜率 割线的斜率 ???
问题 1:已知曲线上两点 P( x0 , f ( x0 )), Pn ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) , 求:(1)结合两点坐标,割线 PPn 的斜率 kn 可表示为什么?( kn ? f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ) (2) 结合 ? x ? 0 ,割线 PPn →切线 PT ,则切线 PT 的斜率 k 可表示为什么? ( k ? lim f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) )
?x ?0

?x ?0

?x ?0

?x

问题 2:你能发现导数的几何意义吗? (二)导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim

?x

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k 得到曲线在点 ?x

③利用点斜式求切线方程. (三)导函数 由函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到 ,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个确定的 数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x) 的导函数. f ( x ? ?x) ? f ( x) 记作: f ?( x ) 或 y? ,即 f ?( x) ? y? ? lim . ?x ?0 ?x 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (四)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f ( x) 的导函数. (3)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值,这也是求 函数在点 x0 处的导数的方法之一. 三、典例分析 例 1 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 ,根据图 像,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 问题 1:用图形体现 h / (1) ? ?3.3 , h / (0.5) ? 1.6 的几何意义. 问题 2:导数值的正负,反应该点附近的曲线有何变化趋势? 问题 3:运用导数的几何意义,描述 h(t ) 在 t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的 情况. 变式:在 t 3 , t 4 附近呢?

此处要求学生动脑(审题),动手(画切线),动口(同桌讨论、描述运动员的运动状 态),体会利用导数的几何意义解释实际问题,渗透“数形结合”的思想方法. 从中小结出: 1. 点附近的增减 ----导数的正负 ----过该点切线的斜率正负 ; . . ...... . . . . . ..... . . . . . .......... . 2. 增减快慢 ----导数的绝对值大小 ---过该点切线的斜率大小的绝对值 --曲线在该点 . . .... . . . . . ........ . . . . .............. . . . ..... 附近的陡峭程度 . ....... . 例 2 如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时间 t (单位: min )
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变化的图象.根据图像,估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精 确到 0.1 ).

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度 f (t ) 在此时刻的导数, 从图像上看,它表示曲线 f (t ) 在此点处的切线的斜率. 如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作 t ? 0.8 处的切线,并在切线上去两点,如 (0.7,0.91) , (1.0,0.48) , 则它的斜率为 k ? 0.48 ? 0.91 ? ?1.4 ,所以 f ?(0.8) ? ?1.4
1.0 ? 0.7

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: 0.2 t 药物浓度瞬时变化率 f ' (t ) 四.重难点探究 金太阳导学案第二层级 探究一:求曲线在某点处的切线方程 0.4

0.4 0

0.6 -0.7

0.8 -1.4

例 1 (1)求曲线 y ? f ( x) ? x ? 1 在点 P(1,2) 处的切线方程.
2

(2)求函数 y ? 3x 在点 (1,3) 处的导数.
2

解: (1) y? |x ?1 ? lim

[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 ? lim ?2 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

所以,所求切线的斜率为 2 因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 (2)因为 y? |x ?1 ? lim

3x 2 ? 3 ?12 3( x2 ?12 ) ? lim ? lim3( x ?1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 所以,所求切线的斜率为 6 ,
因此,所求的切线方程为 y ? 3 ? 6( x ? 1) 即 6 x ? y ? 3 ? 0

问题 3:你能归纳总结出求切线方程的一般步骤吗? 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
4/6

① 出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim 的切线的斜率; ③用点斜式求切线方程
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) ?x

变式研究:若把“在 P(1,3) 处”改为“过点 P (1,3) ”的话,结果如何? 探究二:求经过某定点的曲线的切线方程的基本步骤 例 2 求函数 y ? 3x 2 在经过点 (1,3) 的导数: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ① 设出切点 P 的坐标(x0 ,y 0 ); ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim 的切线的斜率; ③用点斜式求切线方程 ④列出关于(x0 ,y 0 )的二元方程组,即某定点在切线上、切点在曲线上; ⑤解出(x0 ,y 0 )的值,并带入上述的切线方程。 五、课堂练习 1. 已知曲线 y ? x 2 ? 1 上的两点 A(2,3), B(2 ? ?x,3 ? ?y) ,当 ?x ? 1 时,割线 AB 的斜率是 __________,当 ?x ? 0.1 时,割线 AB 的斜率是____,曲线在点 A 处的切线方程是_______. 2.求曲线 y ? f ( x) ? x 在点 (1,1) 处的切线.
3
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) ?x

3.求曲线 y ? 六、回顾总结

x 在点 (4, 2) 处的切线.

1.曲线的切线及切线的斜率. 2.导数的几何意义. 3.求曲线在某点处的切线方程 4. 求经过某定点的曲线的切线方程 学生小结,再由其他人补充,完善,教师调控 设计意图:让学生自己小结,不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重 组知识的过程,是一个多维整合的过程,复习重点知识、思想方法,完善学生的认知结构. 七、布置作业 1.求曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P (?1,3) 处的切线方程 2.已知曲线 y ?

4 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 17 ,求直线 l 的方程 x
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八.板书设计 1.1.3 导数的几何意义 一、创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 二、新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率 (二)导数的几何意义 (三)导函数 九.课后反思

( 四 ) f ?( x0 ) 、 f ?( x ) 、导 数之间的区别与联系 三、典例分析 例1 例2 四.重难点探究 探究一:求曲线在某点处 的切线方程

探究二: 求经过某定点的曲 线的切线方程 五、课堂练习 六、回顾总结 七、布置作业

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