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竞赛讲座-三角运算及三角不等式


三角运算及三角不等关系
三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理(和、差、倍、半角公式 等的统称) ,对三角式作各种有目的的变形(主要指恒等变形) ,有时表现为计算求值、有 时表现为推理证明。由于三角公式很多,并且存在着联系,因此一定要注意选择公式的目 的性与简单性。

三角运算
一.三角运算的常规思考 三角运算主权涉及 3 个

主要变形:角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。 大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题,从角、函数名称、运算方式 这 3 个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地,对于证明题,从 找条件与结论的差异入手,并向着消除差异的方向前进,常能成功。 例 1.已知 ? , ? 都是钝角,且 sin ? ?

12 3 , cos( ? ? ? ) ? ,求 sin ? 13 5

例 2.设 ? , ? 为锐角,且 sin

2

? ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ,求证: ? ? ? ?

?
2



二.三角变换与方程

数学公式(或条件等式)本身就是一个等量关系,视公式(或等式)中的数学对象为已知 值或未知值就成为一个方程。 例 3.已知 ?

?sin ? ? sin ? ? b 2 2 (a ?b ? 4) ,求 sin(? ? ? ) , cos( ? ? ) 。 ? ?cos? ? cos ? ? a

三.三角变换与构造法 通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题 例 5.求 cos

2? 4? ? cos 的值。 5 5

例 6.求值: cos 10? ? cos 50? ? sin 40? sin 80?
2 2

例 7.已知: A1 cos?1 ? A2 cos? 2 ? ? ? An cos? n ? 0

A1 cos(?1 ? 1) ? A2 cos(? 2 ? 1) ? ? ? An cos(? n ? 1) ? 0
求证: 对任意 ? ? R , 恒有 A1 cos( 1 ? ? ) ? A2 cos( 2 ? ? ) ? ? ? An cos( n ? ? ) ? 0 。 ? ? ?

例 8 求满足等式 15 ? 12 cos x ? 7 ? 4 3 sin x ? 4 的锐角 x 。

四.三角法 引进三角函数,进行三角变形去解决其他代数、几何问题。 例 9.已知 a ? b ? 0 ,求证:

2ab a?b a2 ? b2 。 ? ab ? ? a?b 2 2

例 10.在△ ABC 中, P 为形内一点, PD 、 PE 、 PF 为 P 到三边 BC 、 CA 、 AB 的 距离,求证: PA ? PB ? PC ? 2( PD ? PE ? PF )

例 11.求函数 y ?

x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域。

三角不等关系
这是一个与三角恒等变形密切相关的问题,主要包括两个方面:三角不等式与三角最 值。这两个方面在处理方法上在同小异,并互为所用。 一.三角不等式的证明 证明三角不等式注意 3 点: (1)三角不等式首先是不等式,因此,不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。 (2)三角不等式又有自己的特点——含三角函数,因而,三角函数的单调性、有界性(或 极值) ,正负区间,图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。 (3)三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式,无论在结构上还是在证法上都有特别 之处,需要加倍注意。 例 12.若 0 ? ? ? ? ,求证: sin ? ?

1 1 sin 2? ? sin 3? ? 0 2 3

例 13.已知 0 ? ? ? ? ,证明: 2 sin 2? ? ctg

?
2

,并讨论等号成立的条件。

例 14.已知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,能否以 sin ? , sin ? , sin(? ? ? ) 的值为边长,构成三角形。

例 15.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边为 a 、 b 、 c ,求证:

aA ? bB ? cC ? ? 。 a?b?c 3

例 16.在锐角△ ABC 中,求证 (1) sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ; (2) tgAtgBtgC? 1

二.三角最值的求解 例 17.求函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? x cos2 x 的最大值、最小值 (a ? c, b ? 0)

例 18.求 y ?

a ? btgx 的最小值,其中 a ? b ? 0 | cos x |

例 19.求函数 y ?

3 sin x ? 1 的最值。 sin x ? 2

例 20.设 x ? y ? z ?

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值。

习题
1.

cos20? cos35? 1 ? cos20?
2 2

=



2. cos x ? cos ( x ?

2? 4? ) ? cos 2 ( x ? )= 3 3



3.若 {x | cos2 x ? sin x ? m ? 0} ? ? ,求 m 的取值范围。 4.在△ ABC 中, sin

A B C sin sin 的最大值为 2 2 2



5.设 x1 , x2 ,? xn 为 n 个实数,则 cos x1 cos x2 ?cos xn ? sin x1 sin x2 ?sin xn ? M 时, 则 M 的最小值为 6.函数 f ( x) ? 。 。
2 2 2

sin 2 x cos2 x ? 的值域为 1 ? cos2 x 1 ? sin 2 x
2 2 2

7.对任意实数 A, B, C ,求 sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos A 的最大值。 8.在矩形 ABCD 中, P 为对角线 BD 上一点,且 AP?BD , PE?BC 于 E , PF?CD 于

F ,求证: (

PE 3 PF 3 ) ?( ) ? 1。 BD BD
x? y ? 2? 3。 1 ? xy

2

2

9.任给 13 个互不相等的实数,求证其中至少有两个实数 x, y 满足 0 ?

10 在△ ABC 中,求证: c ? a cos A ? b cos B ; b ? c cos C ? a cos A ;

a ? b cos B ? a cos A 。
11.设 ? 为锐角,求证: (1 ?

1 1 )(1 ? ) ? 3? 2 2 sin ? cos ?

12.对 x ? (0,

?
2

) ,求证: 2 x ? sin x ? tgx 。


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