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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷


辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数学 试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题四个选项中只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3, 5,7},N={5,6,7},则 ?U(M∪N)=() A.{5,7} B.{2,4} C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7} 2. (5 分)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={2,4,8},那么 A∩B 子集的个数是() A.4 B. 5 C. 7 D.8

3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f( )=()

A.

B. ﹣

C.

D.

4. (5 分)设 I 为全集,B∩CIA=B,则 A∩B 为() A.A B. B C.CIB

D.φ

5. (5 分)在映射 f:A→B 中,A=B=R,且 f: (x,y)→(x﹣y,x+y) ,则与 A 中的元素 (2,1)在 B 中的象为() A.(﹣3,1) B.(1,3) C.(﹣1,﹣3) D.(3,1) 6. (5 分)函数 f(x)= A. 的定义域为() D. (﹣1,2]

B.(﹣1,0)∪(0,2] C.

7. (5 分)拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06(0.50×+1)给出,其中 m >0,是大于或等于 m 的最小整数(例如=3,=4,=4) ,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分 钟的话费为()元. A.3.71 B.3.97 C.4.24 D.4.77 8. (5 分)在区间(0,+∞)上不是增函数的是() 2 A.f(x)=2x﹣1 B.f(x)=3x ﹣1 C.f(x)=|x+1|

D.f(x)=﹣|x|+3

9. (5 分)若函数 f(x)的定义域为,则函数 g(x)=f(x+1)﹣f(x﹣1)的定义域为() A. B. C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)= A.3 B.﹣3

,若 f(x)=10,则 x=() C.﹣5 或﹣3 D.﹣5 或﹣3 或 3

11. (5 分)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) ,不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 的解集为() A. B. D.

12. (5 分)设函数 f(x)= 的值为() A.199

则 f(

)+f(

)+f(

)+…+f(



B.200

C.201

D.202

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若集合 A={x|x>1},B={x|x<3},则 A∩B=. 14. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣3x 在区间上的最大值为.

15. (5 分)设函数 f(x)=

在区间(3,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是.

16. (5 分)设 f(x)=

,g(x)是二次函数,若 f 的值域是) ;

(2)f(x)=

(x>1) .

19. (12 分)已知二次函数 y=f(x) ,当 x=2 时函数取最小值﹣1,且 f(1)+f(4)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)﹣kx 在区间上不单调,求实数 k 的取值范围.

20. (12 分)设函数 f(x)= (1)画出函数 y=f(x)的图象. (2)讨论方程|f(x)|=a 的解的个数. (只写明结果,无需过程) 21. (12 分)已知 f(x)+2f( )=3x.

(1)求 f(x)的解析式,并标注定义域; (2)指出 f(x)的单调区间,并用定义加以证明.

22. (12 分)设函数 f(x)=

(a 为常数) ,

(1)对任意 x1,x2∈R,当 x1≠x2 时,
2

>0,求实数 a 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,求 g(x )=x ﹣4ax+3 在区间上的最小值 h(a) .

辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高一上学期 10 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题四个选项中只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则 ?U(M∪N)=() A.{5,7} B.{2,4} C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先求集合 M∪N,后求它的补集即可,注意全集的范围. 解答: 解:∵M={1,3,5,7},N={5,6,7}, ∴M∪N={1,3,5,6,7}, ∵U={1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴?U(M∪N )={2,4,8} 故选 C 点评: 本题考查集合运算能力,本题是比较常规的集合题,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={2,4,8},那么 A∩B 子集的个数是() A.4 B. 5 C. 7 D.8 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由集合 A={0,1,2,3,4},B={2,4,8},求出 A∩B,进而可得 A∩B 子集的个 数. 解答: 解:∵集合 A={0,1,2,3,4},B={2,4,8}, ∴A∩B={2,4},

∵A∩B 有 2 个元素, 故 A∩B 子集的个数是 2 =4 个, 故选 A 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题.
2

3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f( )=()

A.

B. ﹣

C.

D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f( )=﹣

= .

故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理运用. 4. (5 分)设 I 为全集,B∩CIA=B,则 A∩B 为() A.A B. B C.CIB

D.φ

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知的等式得到集合 B 为 A 集合补集的子集,即 B 的元素属于 A 补集的元素, 故得到 A 和 B 的交集为空集. 解答: 解:∵B∩CIA=B, ∴B?CIA, 则 A∩B=?. 故选 D 点评: 此题考查了交、补集及其运算,以及两集合的包含关系,是 2015 届高考中的基本 题型.要求学生理解交集、补集的意义,在研究补集问题时应注意全集的范围,本题的关键 是要理解两集合的包含关系. 5. (5 分)在映射 f:A→B 中,A=B=R,且 f: (x,y)→(x﹣y,x+y) ,则与 A 中的元素 (2,1)在 B 中的象为() A.(﹣3,1) B.(1,3) C.(﹣1,﹣3) D.(3,1) 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,x=2,y=1,则 x﹣y=1,x+y=3,即可得出结论.

解答: 解:由题意,x=2,y=1,则 x﹣y=1,x+y=3, ∴与 A 中的元素(2,1)在 B 中的象为(1,3) , 故选:B. 点评: 本题主要考查映射的定义,在映射 f 下,像和原像的定义,属于基础题. 6. (5 分)函数 f(x)= A. 的定义域为() D. (﹣1,2]

B.(﹣1,0)∪(0,2] C.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次根式的性质,结合分母不为 0,得不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,

解得:﹣1<x≤2, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义域问题,考查了二次根式的性质,是一道基础题. 7. (5 分)拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06(0.50×+1)给出,其中 m >0,是大于 或等于 m 的最小整数(例如=3 ,=4,=4) ,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分 钟的话费为()元. A.3 .71 B.3.97 C.4.24 D.4.77 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;新定义. 分析: 先利用 是大于或等于 m 的最小整数求出=6,再直接代入 f(m)=1.06(0.50×+1) 即可求出结论. 解答: 解:由是大于或等于 m 的最小整数可得=6. 所以 f(5.5)=1.06×(0.50×+1)=1.06×4=4.24. 故选:C. 点评: 本题涉及到了对新定义的考查.解决本题的关键在于对是大于或等于 m 的最小整 数的理解和应用,求出=6. 8. (5 分)在区间(0,+∞)上不是增函数的是() A.f(x)=2x﹣1 B.f(x)=3x ﹣1
2

C.f(x)=|x+1|

D.f(x)=﹣|x|+3

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数的单调性, 二次函数的单调性, 含绝对值函数的单调性即可找出正确 选项. 解答: 解:A.f(x)=2x﹣1 是一次函数,在(0,+∞)上是增函数; 2 B.f(x)=3x ﹣1 是二次函数,在(0,+∞)上是增函数;

C.f(x)=|x+1|=

,所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数;

D.f(x)=﹣|x|+3=

,所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数,即该选项正确.

故选 D. 点评: 考查一次函数、二次函数、含绝对值函数在某一段上的单调性. 9. (5 分)若函数 f(x)的定义域为,则函数 g(x)=f(x+1)﹣f(x﹣1)的定义域为() A. B. C. D. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据复合函数定义域之间的关系,即可求出结论. 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域为, ∴要是函数 g(x)有意义, 则 即 , ,

解得 1≤x≤2, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数定义域的求解,要求熟练复合函数定义域之间的关系.

10. (5 分)已知函数 f(x)= A.3 B.﹣3

,若 f(x)=10,则 x=() C.﹣5 或﹣3 D.﹣5 或﹣3 或 3

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合已知中函数 f(x)= ,分当 x≤0 时和当 x>0 时两种情况,

求出满足条件的 x 值,综合讨论结果,可得答案. 2 解答: 解:当 x≤0 时,x +1=10, 解得:x=﹣3,或 x=3(舍去) , 当 x>0 时,﹣2x=10, 解得:x=﹣5(舍去) , 综上所述,a=﹣3, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是函数的值, 熟练掌握分段函数分类讨论的解答方法, 是解答的 关键.

11. (5 分)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) ,不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 的解集为() A. B. D. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由已知令 x=y=1 求得 f(1)=0,再求 f(2)=﹣1,即有 f(4)=﹣2,原不等式 f (﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 即为 f≥f(4) .再由单调性即可得到不等式组,解出它们即可. 解答: 解:由于 f(xy)=f(x)+f(y) , 令 x=y=1 则 f(1)=2f(1) ,即 f(1)=0, 则 f(1)=f(2× )=f(2)+f( )=0, 由于 ,则 f(2)=﹣1,

即有 f(4)=2f(2)=﹣2, 不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 即为 f≥f(4) . 由于对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) , 则 f(x)在(0,+∞)上递减,

则原不等式即为

,即有



即有﹣1≤x<0,即解集为上的最大值为﹣4. 考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 观察可知函数 f(x)= 解答: 解:∵ ∴函数 f(x)= ∴f(x)max=f(2)= ﹣3x 在区间上是减函数;从而求值.

在区间上是减函数,﹣3x 在区间上是减函数; ﹣3x 在区间上是减函数; ﹣3×2=﹣4.

故答案为:﹣4. 点评: 本题考查了函数的最值的求法,观察可知函数为减函数,从而得解,是解最值的一 般方法,属于基础题.

15. (5 分)设函数 f(x)=

在区间(3,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是的值

域是、 (﹣1,1) 、∪上变化, f(x)的值域是(﹣1,+∞) ,而 f(g(x) )的值域是

(2)若 A∩B=B,求实数 a 组成的集合 C. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)解方程求出 A,将 a= 代入求出 B,可判断集合 A 与 B 的关系; (2)若 A∩B=B,则 B?A,分 B=?和 B≠?两种情况讨论实数 a 的取值可得答案. 解答: 解: (1)集合 A={x|x ﹣8x+15=0}={3,5}, 若 a= ,则 B={x| x﹣1=0}={5}. 此时 B?A, (2)若 A∩B=B,则 B?A, 当 a=0 时,B=?,符合要求; 当 a≠0 时,B={ }, ∴ =3 或 5,解得 a= 或 , 故实数 a 的组成的集合 C={0, , } 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 18. (12 分)求下列函数值域 (1)f(x)=3x+5(x∈) ; (2)f(x)= (x>1) .
2

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)观察法求值域; (2)分离常数法求值域;f(x)= =1+ .

解答: 解: (1)∵x∈, ∴3x∈, ∴3x+5∈, 即函数 f(x)=3x+5(x∈)的值域为. (2)f(x)= ∵x>1, ∴0< ∴1<1+ 即 f(x)= <1, <2, (x>1)的值域为(1,2) . =1+

点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有 :1、观察法,2、配方法,3、 反函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、 单调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题 意选择. 19. (12 分)已知二次函数 y=f(x) ,当 x=2 时函数取最小值﹣1,且 f(1)+f(4)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)﹣kx 在区间上不单调,求实数 k 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可以得到该二次函数的图象的顶点坐标为(2,﹣1) ,设解析式为 y=a (x﹣2) ﹣1,结合 f(1)+f(4)=3 可得 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)﹣kx 在区间上不单调,则函数图象的对称轴 x= 4,解得实数 k 的取值范围. 解答: 解: (1)∵二次函数 y=f(x) ,当 x=2 时函数取最小值﹣1, ∴二次函数的图象的顶点坐标为(2,﹣1) , 2 设解析式为 y=a(x﹣2) ﹣1, (a>0) , ∵f(1)+f(4)=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=3, 解得:a=1, 2 2 故 y=(x﹣2) ﹣1=y=x ﹣4x+3; 2 (2)∵g(x)=f(x)﹣kx=x ﹣(k+4)x+3 在区间上不单调, 故 1< <4, ,满足 1< <
2

解 得:﹣2<k<4, 即实数 k 的取值范围为(﹣2,4) 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和 性质,函数解析式的求法,熟练掌握二次 函数的图象和性质,是解答的关键.

20. (12 分)设函数 f(x)= (1)画出函数 y=f(x)的图象. (2)讨论方程|f(x)|=a 的解的个数. (只写明结果,无需过程) 考点: 分段函数的应用;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题(1)分段画出函数数 y=f(x)的图象,一段是直线的一部分,另一段是抛物 线的一部分; (2)利用(1)的图象,画出函数 y=|f(x)|的图象,再利用直线 y=a 与曲线 y=|f(x)|的交点情况,得到方程|f(x)|=a 的解的个数. 解答: (1)函数 y=f(x)的图象如图.

(2)函数 y=|f(x)|的图象如图.

①0<a<4 时,方程有四个解; ②a=4 时,方程有三个解; ③a=0 或 a>4 时,方程有二个解; ④a<0 时,方程没有实数解. 点评: 本题考查了分段函数的图象、绝对值函数的图象,还考查了分类讨论的数学思想, 本题有一定的思维难度,属于中档题.

21. (12 分)已知 f(x)+2f( )=3x. (1)求 f(x)的解析式,并标注定义域; (2)指出 f(x)的单调区间,并用定义加以证明. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间. 专题: 证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 ①

用 代替 x,得 (2)运用单调性的定义证明判断. 解答: 解: (1)由 用 代替 x,得 ②×2﹣①,得 所以 (2)由(1) , , (x≠0) ,

②联立方程组求出 f(x)的式子,注意定义域.

① ②



其递减区间为(﹣∞,0)和(0,+∞) ,无增区间. 事实上,任取 x1,x2∈(﹣∞,0)且 x1<x2, 则

∵x1<x2<0∴x2﹣x1>0,x1x2>0,2+x1x2>0, 所以 ,即 f(x1)>f(x2)

故 f(x)在(﹣∞,0)上递减.同理可证其在(0,+∞)上也递减. 点评: 本题考查了利用方程的方法求解函数解析式,与单调性的定义判断证明.

22. (12 分)设函数 f(x)=

(a 为常数) ,

(1)对任意 x1,x2∈R,当 x1≠x2 时,
2

>0,求实数 a 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,求 g(x)=x ﹣4ax+3 在区间上的最小值 h(a) . 考点: 分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1) 由已知可得函数 f (x) 在 R 上递增, 则有 a>0①, ≤2②, 2a+5≤2 ﹣2a+5③ 解出它们即可; (2)求得 g(x)的对称轴,讨论对称轴与区间的关系,分①当 2≤2a≤3,②当 3<2a≤8 时, 分别求得最小值即可. 解答: 解: (1)对任意 x1,x2∈R,当 x1≠x2 时, >0 ,
2

则函数 f(x)在 R 上递增,即有 a>0①, ≤2②,2a+5≤2 ﹣2a+5③ 则由①②③,解得 1≤a≤4; 2 2 2 (2)g(x)=x ﹣4ax+3=(x﹣2a) +3﹣ 4a ,对称轴 x=2a, 由(1)得,2≤2a≤8, ①当 2≤2a≤3 即 1≤a≤ 时,g(x)min=g(2a)=3﹣4a , ②当 3<2a≤8 即 <a≤4 时,区间为减区间,则 g(x)min=g(3)=12﹣12a.
2

2

故 h(a)=



点评: 本题考查分段函数及运用,考查函数的单调性和应用,注意分界点,考查分类讨论 求二次函数的最值问题,属于中档题和易错题.


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