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2016年高考试数学分类汇编-数列


数列

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(1)
(3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27 , a10 ? 8 ,则 a100 ? (A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97

(15)设等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 10 , a2 ? a4 ?

5 ,则 a1a2 ?an 的最大值为.

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(2)
(17) (本小题满分 12 分)
Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , S7 ? 28 .记 bn ? ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超

过 x 的最大整数,如 ?0.9? ? 0 , ? lg99? ? 1 . (Ⅰ)求 b1 , b11 , b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 【解析】⑴设 ?an ? 的公差为 d , S7 ? 7a4 ? 28 ,

∴ a4 ? 4 ,∴ d ?

a4 ? a1 ? 1 ,∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . 3

∴ b1 ? ?lg a1 ? ? ?lg1? ? 0 , b11 ? ?lg a11 ? ? ?lg11? ? 1 , b101 ? ?lg a101 ? ? ?lg101 ? ? 2 . ⑵记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 T1000 ? b1 ? b2 ? ??? ? b1000
? ?lg a1 ? ? ?lg a2 ? ? ??? ? ?lg a1000 ? .

当 0 ≤ lg an ? 1 时, n ? 1,2 ,???,9 ;
11,? ? ? ,99 ; 当 1≤ lg an ? 2 时, n ? 10 , 101,? ? ? ,999 ; 当 2 ≤ lg an ? 3 时, n ? 100 ,

当 lg an ? 3 时, n ? 1000 . ∴ T1000 ? 0 ? 9 ? 1? 90 ? 2 ? 900 ? 3 ? 1 ? 1893 .

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(3)
(12) 定义“规范 01 数列”{an}如下: {an}共有 2m 项, 其中 m 项为 0, m 项为 1, 且对任意 k ? 2 m ,

a1 , a2 ,?, ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有
(A)18 个 (B)16 个 (17) (本小题满分 12 分) (C)14 个 (D)12 个

已知数列 an 的前 n 项和Sn = 1 + a,Sn = 1 + ? an ,其中 ? ≠0 (I)证明 an 是等比数列,并求其通项公式 (II)若S5 = 32 ,求 ?
31

2016 年高考新课标Ⅰ卷文数试题
17.(本题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差为 3 的等差数列,数列 ?bn ? 满足 b1 =1,b2 = ,anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn ,. (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求 ?bn ? 的前 n 项和.

1 3

3 1 (1)an ? 3n ? 1;(2) Sn ? (1 ? n ). 2 3 【答案】
【解析】 试题分析:

2016 年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析

17.(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 (I)求{ an }的通项公式; (II) 设

bn =[ an ] ,求数列 { bn } 的前 10 项和,其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如

[0.9]=0,[2.6]=2 【试题分析】 (I)先设 ?an ? 的首项和公差,再利用已知条件可得 a1 和 d ,进而可得 ?an ? 的 通项公式; (II) 根据 ?bn ? 的通项公式的特点, 采用分组求和法, 即可得数列 ?bn ? 的前10 项 和.

2016 年高考新课标Ⅲ卷文数试题

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 .
2

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式. 【答案】 (1) , 【解析】 试题分析:

1 1 1 ; (2) an ? n ?1 . 2 4 2

2016 年江苏数学高考试题

2 已知 ?an ? 是等差数列, Sn 是其前 n 项和.若 a1 ? a2 ? ?3 , S5 ? 10 ,则 a 9 的值是.

20 ;

i.

设公差为 d ,则由题意可得 a1 ? ? a1 ? d ? ? ?3 , 5a1 ? 10d ? 10 ,
2

解得 a1 ? ?4 , d ? 3 ,则 a9 ? ?4 ? 8 ? 3 ? 20 .

(本小题满分 14 分) 记 U ? ?1, 2,?,100? .对数列 ?an? ( n ? N* )和 U 的子集 T ,若 T ? ? ,定义 ST ? 0 ;

T ? ?1,3,66? 时, ST ? a1 ? a3 ? a66 . 若 T ? ?t1 , t2 ,?, tk ? , 定义 ST ? at1 ? at2 ? ? ? atk . 例如:

现设 ?an? ( n ? N* )是公比为 3 的等比数列,且当 T ? ?2,4? 时, ST ? 30 . ⑴求数列 ?an? 的通项公式; ⑵对任意正整数 k ( 1 ≤ k ≤ 100 ) ,若 T ? ?1,2,?, k? ,求证: ST ? ak ?1 ; ⑶设 C ? U , D ? U , SC ≥ SD ,求证: SC ? SC ? D ≥ 2SD . ⑴ an ? 3n?1 ;⑵⑶详见解析; 1. 当 T ? ?2,4? 时, ST ? a2 ? a4 ? a2 ? 9a2 ? 30 ,因此 a2 ? 3 ,从而 a1 ?
an ? 3n?1 ;

a2 ?1 , 3

a) ST ≤ a1 ? a2 ? ?ak ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3k ?1 ? i.

3k ? 1 k ? 3 ? ak ?1 ; 2

设 A ? ?C ? C ? D ? , B ? ?D ? C ? D ? ,则 A ? B ? ? , SC ? S A ? SC?D ,
SD ? SB ? SC?D , SC ? SC?D ? 2SD ? S A ? 2SB ,因此原题就等价于证明 S A ≥ 2S B .

由条件 SC ≥ SD 可知 S A ≥ SB . ①若 B ? ? ,则 SB ? 0 ,所以 S A ≥ 2S B . ②若 B ? ? ,由 S A ≥ SB 可知 A ? ? ,设 A 中最大元素为 l , B 中最大元素为

m,
若 m ≥ l ? 1 ,则由第⑵小题, S A ? al ?1 ≤ am ≤ SB ,矛盾. 因为 A ? B ? ? ,所以 l ? m ,所以 l ≥ m ? 1 ,

SB ≤ a1 ? a2 ? ? ? am ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3m?1 ?

S 3m ? 1 am?1 al ? ≤ ≤ A ,即 2 2 2 2

S A ? 2S B .
综上所述, S A ≥ 2S B ,因此 SC ? SC ?D ≥ 2SD .

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (2) (山东卷)理科数学

(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n +8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1.
2

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)另 cn ?

(an ? 1)n?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (3) (山东卷)数学(文科)

(12)观察下列等式:

π 2π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ?1? 2 ; 3 3 3 π 2π 3π 4π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ? 2 ? 3 ; 5 5 5 5 3 π 2π 3π 6π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 3 ? 4 ; 7 7 7 7 3 π 2π 3π 8π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 4 ? 5 ; 9 9 9 9 3
?? 照此规律,(sin

π ?2 2π ?2 3π ?2 2nπ ?2 ) ? (sin ) ? (sin ) ? ??? ? (sin ) ? _________. 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(19) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 8n , ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1 .
2

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)令 cn ?

(an ? 1)n?1 .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2)n

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷) 数学 (理工类)
1. (本小题满分12分) 已知数列 {an } 的首项为1,Sn 为数列 {an } 的前n项和,Sn ?1 ? qSn ? 1 , 其中 q ? 0 ,n ? N* . (I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 a n 的通项公式;

n n y2 5 ? 1 的离心率为 en ,且 e2 ? ,证明: e1 ? e2 ? ??? ? en ? 4 ? 3 . 2 n ? 1 an 3 3 S ? qS ? 1 ---①可知 【解析】(I)由题 n ?1 n 当 n ? 2 时, Sn ? qSn?1 ? 1 ---②,两式相减可得 an ?1 ? qan 即 a n 从第二项开始为公比 q 的等比数列,
2 (II)设双曲线 x ?

当 n ? 1 时,带入可得 a1 ? a2 ? qa1 ? 1 ,? a2 ? q ,即 a n 为公比 q 的等比数列 根据 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列, 由等差数列性质可得 2a2 ? a2 ? 2 ? 3a2 ? 2 ? 2a3
2 即 2q ? 3q ? 2 ? 0 ,求解可得 q ? 2 或 q ? ?

1 2

由题 q ? 0 可知, q ? 2
n ?1 * ∴ an ? 2 , n ? N

(II)证明:由双曲线的性质可知, en ?

2 = 1 ? an 1 由(I)可得, a n 为首项为1,公比为 q 的等比数列 5 4 2 2 故 e2 ? 1 ? a2 ? 1 ? q ? ,即 q ? 3 3

2 12 ? an

4 ?4? ∴ ?an ? 为首项为1,公比为 的等比数列,通项公式为 an ? ? ? 3
?3?

n ?1

, ?n ? N? ?

?4? ∴ en ? 1 ? ? ? ?3?

2n?2

? 4? ? ? ? ? 3?

2n?2

? 4? ?? ? ? 3?

n ?1

?4? 1? ? ? 2 n ?1 n n 4 ?4? 4 ? ? 3? ? 4 ?3 ∴ e1 ? e2 ? e3 ? ... ? en ? 1 ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 4 3 ?3? 3n ?1 ?3? 1? 3 原式得证.

n

2016 年高考四川文科数学

19、(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的首项为 1, Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+1=Sn+1,其中 q﹥0,n∈N (Ⅰ)若 a2,a3,a2+ a3 成等差数列,求数列{an}的通项公式; у 2 2 2 (Ⅱ)设双曲线 x ﹣ 2 =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 e1 + e2 +?+en , an
2 2 +

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷)数学(理工类)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数
(18)(本小题满分 13 分) 已知 ?an ? 是等比数列,前 n 项和为 Sn ? n ? N ?? ,且 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ?, bn 是 log 2 an 和 log 2 an?1 的等差中项,求数列 和.

学(文史类)

1 1 2 ? ? , S6 ? 63 . a1 a2 a3

?? ?1? b ? 的前 2n 项
n 2 n

2016 年上海高考数学(理科)真题

Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? {2,3} , 11. 无穷数列 ?an ? 由 k 个不同的数组成, 若对任意 n ? N* , 则 k 的最大 值为___________ 【答案】 4

Sn ? S ,下列条件中,使得 17. 已知无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,且 lim n??
2Sn ? S (n ? N* ) 恒成立的是(
A. a1 ? 0 , 0.6 ? q ? 0.7 C. a1 ? 0 , 0.7 ? q ? 0.8 【答案】B 【解析】 Sn ?
a1 a1 (1 ? q n ) , S? , ?1 ? q ? 1 1 ?q 1? q

) B. a1 ? 0 , ?0.7 ? q ? ?0.6 D. a1 ? 0 , ?0.8 ? q ? ?0.7

2Sn ? S ,即 a1 (2qn ? 1) ? 0

1 ,不可能成立 2 1 n 若 a1 ? 0 ,则 q ? ,B 成立 2
n 若 a1 ? 0 ,则 q ?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 8 分 若无穷数列 ?an ? 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N* ) ,必有 a p ?1 ? aq ?1 ,则称 ?an ? 具有性质 P . (1) 若 ?an ? 具有性质 P . 且 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a4 ? 3 , a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 , 求 a3 ; (2) 若无穷数列 ?bn ? 是等差数列,无穷数列 ?cn ? 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 ,
b5 ? c1 ? 81 , an ? bn ? cn ,判断 ?an ? 是否具有性质 P ,并说明理由;

* (3) 设 ?bn ? 是无穷数列,已知 an ?1 ? bn ? sin an (n ? N ) ,求证:“对任意 a1 ,?an ? 都具有性 质 P ”的充要条 件为“ ?bn ? 是常数列”.

【解析】(1) a2 ? a5 ? 2 ∴ a3 ? a6 ∴ a4 ? a7 ? 3 ∴ a5 ? a8 ? 2 ∴ a6 ? 21 ? a7 ? a8 ? 16 ∴ a3 ? 16
b5 ? b1 ? 4d ? 80 ∴ d ? 20 ∴ bn ? 20n ? 19

(2)设 ?bn ? 的公差为 d , ?cn ? 的公差为 q ,则 q ? 0

c5 1 ? q4 ? c1 81

∴q ?

1 3

1 n ?5 ∴ cn ? ( ) 3 1 n ?5 ∴ an ? bn ? cn ? 20n ? 19 ? ( ) 3 a ? 82 a ? 82 ∵ 1 , 5 1 304 而 a2 ? 21 ? 27 ? 48 , a6 ? 101 ? ? 3 3 a1 ? a5 但 a2 ? a6

故 ?an ? 不具有性质 P

(3) 充分性:若 ?bn ? 为常数列,设 bn ? C 则 an ?1 ? C ? sin an 若存在 p, q 使得 a p ? aq , 则 ap?1 ? C ? sin ap ? C ? sin aq ? aq ?1 , 故 ?an ? 具有性质 P 必要性:若对任意 a1 , ?an ? 具有性质 P 则 a2 ? b1 ? sin a1 设函数 f ( x) ? x ? b1 , g ( x) ? sin x 由 f ( x), g ( x) 图像可得,对任意的 b1 ,二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个 a1 ,使得 a1 ? b1 ? sin a1

∴ a2 ? b1 ? sin a1 ? a1 ∴ an ? an?1 故 bn ?1 ? an ? 2 ? sin an ?1 ? an ?1 ? sin an ? bn ∴ ?bn ? 是常数列

2016 年普通高等学校招生全国考试 数学(文) (北京卷)

(15) (本小题 13 分) 已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.


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