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2015-2016学年四川省成都市新都区高一下学期数学期末考试题(纯word版含详解)


四川省成都市新都区 2016 年(春)高一年级期末测试题

数学试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合 题目要求,请将答案涂写在答题卡相应位置上)

1、 sin15°的值为( A、

) B、

6? 2 2


6? 2 2

C、

6? 2 4

D、

6? 2 4
)

2、 设 x、y∈R ,且 x≠y,a=

x? y 2 ,b= xy ,c= ,则 a,b,c 的大小关系为( 1 1 2 ? x y
C、b<a<c D、b<c<a

A、a<b<c

B、a>b>c

3、 如图为某四面体的三视图(都是直角三角形),则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为( A、1 B、2 正视图 C、3 左视图 D、4

)

俯视图

4、 空间三条不同直线 l,m,n 和三格不同的平面 α,β,γ,给出下列命题: ①若 m⊥l 且 n⊥l,则 m∥n; ②若 m∥l 且 n∥l,则 m∥n; ③若 m∥α 且 n∥α,则 m∥n; ④若 m⊥α 且 n⊥α,则 m∥n; ⑤若 α⊥γ 且 β⊥γ,则 α∥β; ⑥若 α∥γ 且 β∥γ,则 α∥β; ⑦若 α⊥l 且 β⊥l,则 α∥β. 其中正确的个数为( A、6 ) B、5 C、4 D、3 )

5、 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,下列关系正确的是(
高一数学试题及参考答案 第 1 页

A、a=bsinC+csinB C、a=bcosB+ccosC 6、 函数 f(x)=asinx+cosx 关于直线 x= A、{1} B、{-1,1}

B、a=bcosC+ccosB D、a=bsinB+csinC

? 对称,则 a 的取值集合为( 4
C、{-1}

) D、{0}

7、 等差数列{an}和等比数列{bn}中,给出下列各式: ①a7=a3+a4; ②a2+a6+a9=a3+a4+a10; ③b7b9=b3b5b8; ④b64=b2b9b13.其中一定正确的个数为( A、1 B、2 C、3 ) D、an= D、4 )

8、 数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2an 且 a1=2,则( A、an=

4 n(n ? 1)

B、an=

2 n ?1

C、an=

4 n ?1

2 n2

9、 给出下列命题. ①若 a2>b2,则|a|>b; ③若 a>|b|,则 a2>b2; 其中一定正确的命题为( A、②④ ) C、①② ) B、若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c D、若 |a+b| ? |a ? b | ,则 a ? b =0 ) D、- D、③④ ②若|a|>b,则 a2>b2; ④若 a2>b2,则 a>|b|

B、①③

10、对于非零向量 a, b, c ,则( A、 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) C、 |a ? b| ? |a|| ? b|

? ??

? ? ?

? ? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

11、若 sinα,sin2α,sin4α 成等比数列,则 cosα 的值为( A、1 B、0 C、-

1 2

1 或1 2

12、点 O,I,H,G 分别为△ABC(非直角三角形)的外心、内心、垂心和重心,给出下列关系式 ① GA ? GB ? GC ? 0 ③ aIA ? bIB ? cIC ? 0 其中一定正确的个数是( A、1 B、2 ) C、3 D、4

??? ? ??? ? ??? ? ?? ? ?? ?

?

②sin2A· OA +sin2B· OB +sin2C· OC ? 0

??? ?

??? ?

??? ?

?

???

?

④tanA· HA +tanB· HB +tanC· HC ? 0

??? ?

??? ?

????

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卡相应横线上) 13、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=81,ak-4=191,Sk=10000,则 k 的值为________. 14、三棱锥 P-ABC 中,∠APB=∠APC=∠CPB=40°,PA=5,PB=6,PC=7,点 D,E 分别在 PB,
高一数学试题及参考答案 第 2 页

PC 上,则△ADE 周长的最小值为_____________. 15、若平面向量 a, b 满足:| 2a ? b |≤3,则 a ? b 的最小值为__________. 16、已知函数 f(x)=sin6x+cos6x,给出下列 4 个结论: ①f(x)的值域为[0,2]; ③f(x)的图象对称轴方程为 x= ②f(x)的最小正周期为

? ?

? ?

? ?

k? (k∈Z); 4 ? k? 5 , )(k∈Z). ④f(x)的图象的对称中心为( + 8 4 8
其中结论正确的番号是___________(写出全部正确结论的番号)

? ; 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.请将答案写在答题卡相应位置上) 17、(本小题满分 10 分)若对任意实数 x,不等式 x2-mx+(m-1)≥0 恒成立 (1)求实数 m 的取值集合; (2)设 a,b 是正实数,且 n= ( a ? )( mb ?

1 b

1 ) ,求 n 的最小值. ma

18、(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 中,若∠DAB=60°, ∠ABC=30°,∠BCD=120°,AD=2,AB=5. (1)求 BD 的长; (2)求△ABD 的外接圆的半径 R; (3)求 AC 的长. 19、(本小题满分 12 分)△ABC 中,a=4,b=5,C= A B D C

2? ,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,点 D 3

AD 2 ? . DB 3 ??? ? ??? ? ??? ? (1)用 CA 和 CB 表示 CD ;
在边 AB 上,且 (2)求|CD|. 20、(本小题满分 12 分)四面体 ABCD 中,已知 AB⊥面 BCD, A D

? 且∠BCD= ,AB=3,BC=4,CD=5. 2
(1)求证:平面 ABC⊥平面 ACD; (2)求此四面体 ABCD 的体积和表面积;

B C

(3)求此四面体 ABCD 的外接球半径和内切球半径. 21、(本小题满分 12 分)△ABC 中(非直角三角形),角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;
高一数学试题及参考答案 第 3 页

(2)若 tanA∶tanB∶tanC=6∶(-2) ∶(-3),求 a∶b∶c. 22、(本小题满分 12 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2n+r(r 为常数),记 bn=1+log2an. (1)求 r 的值; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn; (3)记数列{

1 1 }的前 n 项和为 Pn,若对任意正整数 n,都有 P2n+1+ ≤k+Pn,求实数 k 的最小值. n bn

高一数学试题及参考答案 第 4 页

四川省成都市新都区 2016 年(春)高一年级期末测试题

数学参考答案
一、选择题: 1、 【答案】C 【解析】sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30° = 2、 【答案】B 【解析】由基本不等式可知 a>b 即

2 3 2 1 6? 2 .选 C ? ? ? ? 2 2 2 2 4

x? y 1 2 ? xy ,由此得 ,两边同乘以 xy ? 2 xy x ? y

得 xy ?

2 xy 2 ? ,即 b>c.故选 B x? y 1 ? 1 x y
P

3、 【答案】D 【解析】根据三视图可得四面体的直观图如图所示 其中∠PAB,∠PAC,∠PBC,∠ABC 都是直角 即四面体的四个面都是直角三角形.选 D 4、 【答案】C

A

B

C

【解析】空间中,垂直于同一直线的两条直线的位置关系是任意的,故①错误; 根据公理四(平行公理),可知②正确; 空间中,平行于同意平面的两条直线的位置关系是任意的,故③错误; 根据直线与平面垂直的性质,可知垂直于同一平面的两条直线互相平行,故④正确; 空间中,垂直于同一平面的两个平面位置关系是任意的,故⑤错误; 空间中,平行于同意平面的两个平面互相平行,故⑥正确; 空间中,垂直于同一直线的两个平面互相平行,故⑦正确. 综上,正确的命题编号为②④⑥⑦,共 4 个.选 C 5、 【答案】B 【解析】如图,作 AD⊥BC 于 D
高一数学试题及参考答案 第 5 页

A

B

D

C

则 a=BC=BD+CD=bcosC+ccosB 当∠A 是直角或钝角时,结论仍然成立,故选 B 6、 【答案】A

? ? ),它的一条对称轴为 x= ,故 a=1 满足条件 4 4 ? ? 当 a=-1 时,f(x)=-sinx+cosx=- 2 sin(x- ),x= 不是它的对称轴,故 a=-1 不满足条件. 4 4
【解析】a=1 时,f(x)=sinx+cosx= 2 sin(x+ 故选 A 7、 【答案】A 【解析】a7=a1+6d,a3+a4=2a1+5d,故①不一定正确; a2+a6+a9=3a1+14d,a3+a4+a10=3a1+14d,故②一定正确; b7b9=b12q14,b3b5b8=b13q13,故③不一定正确; b64=(b1q5)4,b2b9b13=b13q21,故④不一定正确.选 A 8、 【答案】A 【解析】因为 Sn=n2an,故 Sn+1=(n+1)2an+1, 两式相减得:an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an 即 n(n+2)an+1=n2an 即(n+2)an+1=nan ∴an= =

n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 an ?1 ? ? an ? 2 ? ? ? an ?3 =…… n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1

n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 4 ? ? ? ... ? ? a1 = a1 ? .选 A n ? 1 n n ?1 4 3 n(n ? 1) n(n ? 1)

9、 【答案】B 【解析】由 a2>b2,可得|a|>|b|≥b,故①正确; 在|a|>b 中,若 b<0 且|b|>|a|时,不能得到 a2>b2,故②错误; 由 a>|b|,则必有 a>0,两边平方得 a2>b2,故③正确; 在 a2>b2 中,若 a<0,则不能得到 a>|b|,故④错误.选 B 10、 【答案】D 【解析】因为 a·b 是一个实数,故(a·b)·c 是与 c 共线的向量,同理,a·(b·c)是与 a 共线的向量, 它们不一定相等,故 A 错误; 由 a·b=a·c,可得|a||b|cos<a,b>=|a||c|cos<a,c> 即|b|cos<a,b>=|c|cos<a,c>,不能得到 b=c,故 B 错误;
高一数学试题及参考答案 第 6 页

|a·b|=|a||b||cos<a,b>|≤|a||b|,故 C 错误; 根据向量加减法的几何意义,可知|a+b|和|a-b|分别是以 a 和 b 为邻边的平行四边形的两条对角线长 度,它们相等,意味着四边形为矩形,故 a⊥b,于是 a·b=0,故 D 正确. 11、 【答案】C 【解析】由已知,sin22α=sinαsin4α 即 4sin2αcos2α=sinα·4sinαcosαcos2α 由题意,等比数列各项均不为 0,有 sinα≠0,cosα≠0, 故 cosα=cos2α=2cos2α-1 解得 cosα=1 或-

1 2

但 cosα=1 时有 sinα=0,与题意不符,故舍去.选 C 12、 【答案】D 【解析】因为 G 是重心,也就是中线的三分点

? ???? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 2 ???? 1 ??? AD ? ( AB ? AC )= (OB ? OA ? OC ? OA) (其中 D 为 BC 中点) 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ? 整理得: OA+OB ? OC =0 ,故①正确
于是 AO ? 因为 O 是外心,故|OA|=|OB|=|OC| 于是 S△BOC:S△COA:S△AOB=sin∠BOC:sin∠COA:sin∠AOB=sin2A:sin2B:sin2C 在平面内取点 A',B',C',使得 OA ' ? OAsin 2 A, OB ' ? OB sin 2B, OC ' ? OC sin 2C 不难得:S△B'OC'=S△C'OA'=S△A'OB',可知 O 点是△A'B'C'的重心 于是 OA '+OB '+OC ' ? 0 即 OA sin 2 A+OB sin 2B+OC sin 2C =0 ,②正确 因为 I 是三角形的内心,也即是角平分线的交点 于是 S△BIC:S△CIA:S△AIB=a:b:c 仿②可得 aIA+bIB +cIC =0 ,故③正确 因为 H 是三角形的垂心, 于是 S△BHC:S△CHA:S△AHB=tanA:tanB:tanC 同②得 tan AHA+tanBHB+tanCHC =0 ,故④正确. 二、填空题 13.【答案】100
高一数学试题及参考答案 第 7 页

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【解析】等差数列中,S9=81,由等差中项性质可得 9a5=81,即 a5=9 于是 a1+ak=a5+ak-4=9+191=200 Sk=

k ( a1 ? ak ) =100k=10000,故 k=100. 2
P

14.【答案】 5 3 【解析】沿棱 PA 将三棱锥侧面剪开并展平,可得展开图如图 此时,|PA|=|PA'|=5,且∠APA'=120° |AA'|= 5 3 即为所求△ADE 的最小周长. 15.【答案】 ? A B C D

E

A'

9 8

【解析】由题意,4a2-4a·b+b2≤9 即 4a·b+9≥4a2+b2≥2 4a2 ? b2 ≥-4a·b 于是 a·b≥ ?

9 . 8

16. 【答案】②③④ 【解析】f(x)=sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3 =(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) =1·[(sin2x+cos2x)-3sin2xcos2x]

3 2 3(1 ? cos 4 x ) sin 2x=1- 4 8 5 3cos 4 x = + 8 8 1 因为 cos4x∈[-1,1],故值域为 [ ,1] ,①错误; 4 2? ? = ,②正确; 最小正周期 T= 4 2 k? 令 4x=kπ,可得 x= (k∈Z)为函数图象的对称轴,故③正确; 4 ? k? ? k? ? 5 + ,故对称中心为( + , )(k∈Z),故④正确. 令 4x=kπ+ ,可得 x= 4 8 4 8 8 2
=1- 三、解答题 17.解:(1)由题意得: ? ? (?m) ? 4(m ?1) ? 0
2

2分

即: (m ? 2) ? 0 , m ? 2
2

2分 1分

所求 m 的取值集合为 {2}

高一数学试题及参考答案 第 8 页

(2)由(1)得: n ? (a ? )( 2b ?

1 b

1 ) 2a
2分

1 1 5 1 n ? 2 ? ? 2ab ? ? ? 2 2ab ? 2 2ab 2 2ab
即 n?

9 1 (当且仅当 ab ? 时,等号成立) 2 2

2分

9 即为所求 n 的最小值. 1分 2 18.解:(1)在 ?ABD 中,由余弦定理得: n小 ?

| BD |? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos?BAD ? 19 即为所求 BD 的长.
(2)在 ?ABD 中,由余弦定理得:

4分

2R ?

| BD | 2 57 ? sin ?BAD 3

3分

D

C

R?

57 即为所求外接圆半径 1 分 3
0

A

B

(3) ?BAD ? ?BCD ? 180

四边形 ABCD 是圆内接四边形.

1分

在 ?ABC 中,由由余弦定理得: 2 R ?

| AC | 2 57 ? sin ?ABC 3
1分

2分

| AC |?

57 即为所求 AC 的长. 3

19. 解:(1) ∵D 在边 AB 上,且 ∴

AD 2 ? . DB 3

3 AD ? 2DB

2分 2分 2分 2分 3分

∴ 3(CD ? CA) ? 2(CB ? CD) ∴ CD ?

3 2 CA ? CB 5 5
2

即为所求

(2)由(1)得: | CD | ? ∴ | CD |2 ?

1 (3CA ? 2CB ) 2 25

1 169 (9 ? 25 ? 4 ? 16 ? 12 ? 5 ? 4 ? cos C) ? 25 25 13 即为所求 CD 的长. 5
1分

| CD |?

20.(1)证明:?

AB ? 面BCD ? ? ? AB ? CD CD ? 面BCD?

1分

高一数学试题及参考答案 第 9 页

? ?BCD ? 90? ? BC ? CD ? CD ? 面ABC
? CD ? 面ACD

1分

A

1分

∴ 平面ABC ? 平面ACD (2) VABCD

1分 2

1 ? AB ? BC ? CD ? 10 即为所求体积 . 6

B C

D


S ABCD ? S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD ? 1 1 1 1 AB ? BC ? AB ? BD ? AC ? CD ? BC ? CD 2 2 2 2
1 (3 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 52 ? 32 ? 4 2 ? 5 ? 4 ? 5) 2

S ABCD ? ?

1 (57 ? 3 41) 2
2分

即为所求表面积. (3)外接球直径为 2R ?

AB2 ? BC2 ? CD2 ? 5 2
2分

R?

5 2 即为所求外接球半径. 2

1 ?VABCD ? rS ABCD 3
解得: r ?

20 19 ? 41 即为所求内切球半径. ? 16 19 ? 41
1分

2分

21. (1)证∵ ?ABC 中, A ? B ? C ? ?

tanC ? tan[ ? ? ( A ? B)] tan A ? tan B ? ? tan(A ? B) ? ? 1 ? tan A tan B


2分

t an C (1 ? t a n At a n B) ? ?( t a A n?t a n B)

1分 1分

又∵ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ∴ 原命题成立 (2) ∵ tan A : tan B : tan C ? 6 : (?2) : (?3) , 令 tan A ? 6k ∴ tan B ? ?2k , tan C ? ?3k 1分

又∵由(1)得: 6k ? 2k ? 3k ? 6k (?2k )(?3k ) , ∴

k ? 0或k ?

1 1 或k ? ? 6 6

2分
高一数学试题及参考答案 第 10 页

?ABC 中,至多一个钝角, k ? ?

1 6

1分 1分

1 1 tan A ? ?1, tan B ? , tan C ? 3 2

sin A ?

2 5 2 10 5 2 5 ? , sin B ? , sin C ? ? 2 10 10 5 10

1分

由余弦定理得: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 5 2 : 10 : 2 5 即为所求. 1 分 22.解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? r ) ? (2n?1 ? r ) ? 2n?1 ∵数列 {an } 是等比数列,∴ a1 ? 21?1 ? 1 而 a1 ? S1 ? 21 ? r ,∴ r ? ?1 (2)由(1)得: bn ? n ∴ Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 1分 2分 1分 ① 1分

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ②
由②-①得: ? Tn ? 20 ? 21 ? 21 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n ∴ Tn ? ?

1 ? 2n ? n ? 2 n ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 即为所求数列 {anbn } 的前 n 项和 . 1? 2

3分

1 1 1 ? ??? 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ?k ∴ 不等式 P2 n ?1 ? ? k ? Pn 即为 ? n n n ?1 n ? 2 2n 2n ? 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 令 f ( n) ? ? n n ?1 n ? 2 2n 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ?0 2n ? 2 2n ? 3 n 2n 2n n
(3)∵ Pn ? 1 ?

1分

f (n) 随正整数 n 递减

2分 1分

1 1 1 11 11 f (n) |大 ? f (1) ? ? ? ? ,∴ k小 ? 即为所求实数 K 的最小值. 1 2 3 6 6

【注:所有答案给分是细化的,实际给分按学生解题累计给分.学生用其它解法,只要方法正确,运算准 确,均得该题相应小问的满分.】

高一数学试题及参考答案 第 11 页


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