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2013年高考理科数学上海卷试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (上海卷)
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1.计算: lim
n??

n ? 20 =______.

3n ? 13

2.设 m∈R,m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m=______.

x2

y2

x

x

3.若 = ,则 x+y=______. 4.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 3a2+2ab+3b2-3c2=0,则角 C 的大小是 ______(结果用反三角函数值表示). 5.设常数 a∈R.若 ( x ?
2

?1 1

y ?y

a 5 ) 的二项展开式中 x7 项的系数为-10,则 a=______. x

6.方程

3 1 ? =3x-1 的实数解为______. 3 ?1 3
x

7.在极坐标系中,曲线 ρ =cosθ +1 与 ρ cosθ =1 的公共点到极点的距离为______. 8.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶 数的概率是______(结果用最简分数表示). 9.设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,在 C 在 Γ 上,且∠CBA=

? .若 AB=4,BC= 2 ,则 Γ 的两个焦点之间 4

的距离为______. 10.设非零常数 d 是等差数列 x1,x2,?,x19 的公差,随机变量 ξ 等可能地取值 x1,x2,?,x19,则 方程 Dξ =______.

1 2 ,sin2x+sin2y= ,则 sin(x+y)=______. 2 3 a2 12.设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ +7.若 f(x)≥a+1 x
11.若 cosxcosy+sinxsiny= 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为______. 2 2 2 2 13.在 xOy 平面上,将两个半圆弧(x-1) +y =1(x≥1)和(x-3) +y =1(x≥3)、两条直线 y=1 和 y =-1 围成的封闭图形记为 D, 如图中阴影部分. 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Ω .过(0, y)(|y|≤1)
2 作 Ω 的水平截面,所得截面面积为 4? 1 ? y +8π .试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,

得出 Ω 的体积值为______. 14. 对区间 I 上有定义的函数 g(x), 记 g(I)={y|y=g(x), x∈I}. 已知定义域为[0,3]的函数 y=f(x) -1 -1 有反函数 y=f (x), 且 f ([0,1))=[1,2), f-1((2,4])=[0,1). 若方程 f(x)-x=0 有解 x0, 则 x0=______.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
15. 设常数 a∈R, 集合 A={x|(x-1)(x-a)≥0}, B={x|x≥a-1}. 若 A∪B=R, 则 a 的取值范围为( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 17. 在数列{an}中, an=2n-1.若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=ai·aj+ai+aj(i=1,2, ?, 7;j=1,2,?,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) A.18 B.28 C.48 D.63 18.在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记为 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1、a2、a3、a4、a5; 以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1、d2、d3、d4、d5.若 m、M 份别为(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt) 的最小值、最大值,其中{i,j,k} ? {1,2,3,4,5},{r,s,t} ? {1,2,3,4,5},则 m、M 满足( ) A.m=0,M>0 B.m<0,M>0 C.m<0,M=0 D.m<0,M<0
2013 上海理科数学 第1页

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.
19.如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线 BC′平行于平面 D′AC, 并求直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

20.甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每一小时可获得的利润是

3 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.

2013

上海理科数学

第2页

21.已知函数 f(x)=2sin(ω x),其中常数 ω >0.

? ? 2? ? 上单调递增,求 ω 的取值范围; , ? 4 3 ? ? ? (2)令 ω =2, 将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到函数 y=g(x)的图像. 区 6
(1)若 y=f(x)在 ? ? 间[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的[a, b]中,求 b-a 的最小值.

22.如图,已知双曲线 C1:

x2 2 -y =1,曲线 C2:|y|=|x|+1.P 是平面内一点,若存在过点 P 的直线与 2

C1、C2 都有公共点,则称 P 为“C1C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1C2 型点”时, 要使用一条过该焦点的直线, 试写出一条这样的直线的方程
(不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1C2 型点”; (3)求证:圆 x +y =
2 2

1 内的点都不是“C1C2 型点”. 2

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23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. * 给定常数 c>0,定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列 a1,a2,a2,?满足 an+1=f(an),n∈N . (1)若 a1=-c-2,求 a2 及 a3; * (2)求证:对任意 n∈N ,an+1-an≥c; (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,?,an,?成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存在,说明理由.

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (上海卷)
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1.答案:

1 3

根据极限运算法则, lim

n ??

n ? 20 1 ? . 3n ? 13 3

2 ? ?m ? m ? 2 ? 0 ? m=-2. ? 2 m ? 1 ? 0 ? ? 2 2 3.答案:0 x +y =-2xy ? x+y=0. 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 答案:π -arccos 3a +2ab+3b -3c =0 ? c =a +b + ab ,故 cosC= ? ,C= ? ? arccos . 3 3 3 3 r 2 5? r a r 5.答案:-2 Tr+1= C5 ( x ) ( ) ,2(5-r)-r=7 ? r=1,故 C1 5 a =-10 ? a=-2. x 2x x x 6.答案:log34 原方程整理后变为 3 -2·3 -8=0 ? 3 =4 ? x=log34. 1? 5 1? 5 1? 5 7.答案: 联立方程组得 ρ (ρ -1)=1 ? ρ = ,又 ρ ≥0,故所求为 . 2 2 2 13 C2 13 8.答案: 9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1- 5 ? . 2 18 C9 18

2.答案:-2

9.答案: = 10
2

4 6 3

(如图)不妨设椭圆 Γ 的标准方程为

4 x2 y 2 ? 2 =1,于是可算得 C(1,1),得 b2= ,2c 3 4 b

4 6 . 3
. 答 案 : 30|d|





x10







d (92 ? 82 ? ??? ? 12 ? 02 ? 12 ? ??? ? 92 ) ? 30 | d | . 19 2 1 2 11. 答案: cos(x-y)= , sin2x+sin2y=2sin(x+y)cos(x-y)= , 3 2 3 2 故 sin(x+y)= . 3
12.

8 a2 ] f(0)=0,故 0≥a+1 ? a≤-1;当 x>0 时,f(x)=9x+ -7≥a+1,即 6|a|≥a 7 x 8 +8,又 a≤-1,故 a≤ ? . 7
答案:(-∞,? 13.答案:2π +16π 根据提示,一个半径为 1,高为 2π 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积为 8π 的 长方体,这两个几何体与 Ω 放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体 2 2 积相等,即 Ω 的体积值为 π ·1 ·2π +2·8π =2π +16π . 14.答案:2 根据反函数定义,当 x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4];x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1),而 y=f(x) 的定义域为[0,3],故当 x∈[2,3]时,f(x)的取值应在集合(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞),故若 f(x0)= x0,只有 x0=2. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.
2013 上海理科数学 第5页
2

答案:B 集合 A 讨论后利用数轴可知, ?

?a ? 1 ?a ? 1 或? ,解答选项为 B. ? a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? a

16. 答案:B 根据等价命题,便宜 ? 没好货,等价于,好货 ? 不便宜,故选 B. 17. i+j 答案:A ai,j=ai·aj+ai+aj=2 -1,而 i+j=2,3,?,19,故不同数值个数为 18,选 A. 18. 答案:D 作图验证知,只有 AF ? DE = AB ? DC >0,其余均有 ai ? dr ≤0,故选 D.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19.

解:如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C′(0,2,0), D′(0,0,0). 设平面 D′AC 的法向量 n=(u,v,w),则 n⊥ D?A ,n⊥ D?C . 因为 D?A =(1,0,1), D?C =(0,2,1),n· D?A =0,n· D?C =0, 所以 ?

?u ? w ? 0, 解得 u=2v,w=-2v.取 v=1,得平面 D′AC 的一个法向量 n=(2,1,-2). 2 v ? w ? 0, ?

因为 BC? =(-1,0,-1),所以 n· BC? =0,所以 n⊥ BC? . 又 BC′不在平面 D′AC 内,所以直线 BC′与平面 D′AC 平行. 由 CB =(1,0,0),得点 B 到平面 D′AC 的距离 d= 所以直线 BC′到平面 D′AC 的距离为 20.

| n ? CB | | 2 ?1 ? 1? 0 ? (?2) ? 0 | 2 = = , 3 |n| 22 ? 12 ? (?2)2

2 . 3

3 3 )×2=200(5x+1- ). x x 3 1 由题意,200(5x++1- )≥3 000,解得 x≤- 或 x≥3. x 5
解:(1)生产该产品 2 小时的利润为 100(5x+1- 又 1≤x≤10,所以 3≤x≤10.

900 小时, x 3 900 3 1 获得利润为 100(5 x ? 1 ? ) ? = 90000(? 2 ? ? 5) ,1≤x≤10. x x x x 3 1 记 f(x)= ? 2 ? +5,1≤x≤10, x x
(2)生产 900 千克该产品,所用的时间是
2013 上海理科数学 第6页

1 ? 5 ,当且仅当 x=6 时取到最大值. 12 61 最大利润为 90 000× =457 500 元. 12
则 f(x)= ?3( ? ) ?
2

1 x

1 6

因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 457 500 元. 21.

? ? 2? ? 上单调递增,且 ω >0, , ? 4 3 ? ? ? 2? ? ? 所以 ≥ ,且- ≤? , 2? 3 2? 4 3 所以 0<ω ≤ . 4
解:(1)因为函数 y=f(x)在 ? ? (2)f(x)=2sin2x, 将 y=f(x)的图像向左平移 =2sin2 ( x ?

?
6

? ? 个单位, 再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin2 ( x ? ) +1 的图像, 所以 g(x) 6 6

) +1.

5? 3? 或 x=kπ + (k∈Z), 12 4 ? 2? 所以两个相邻零点之间的距离为 或 . 3 3
令 g(x)=0,得 x=kπ + 若 b-a 最小,则 a 和 b 都是零点, * 此时在区间[a,π +a],[a,2π +a],?,[a,mπ +a](m∈N )上分别恰有 3,5,?,2m+1 个零点,所以 在区间[a,14π +a]上恰有 29 个零点, 从而在区间(14π +a,b]上至少有一零点,

? . 3 ? 5? ? ? 5? 另一方面,在区间 ? ,14? ? ? ? 上恰有 30 个零点, 3 12 ? ? 12 ? 43 ?. 因此,b-a 的最小值为 14? ? ? 3 3
所以 b-a-14π ≥ 22.

解:(1)C1 的左焦点为 (? 3,0) ,写出的直线方程可以是以下形式:

x= ? 3 或 y= k ( x ? 3) ,其中|k|≥
(2)因为直线 y=kx 与 C2 有公共点, 所以方程组 ?

3 . 3

x ?1 ? y ? kx, 有实数解,因此|kx|=|x|+1,得|k|= >1. | x| ?| y |?| x | ?1

若原点是“C1C2 型点”,则存在过原点的直线与 C1、C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|>1). 显然直线 x=0 与 C1 无公共点.

? y ? kx, ? 如果直线为 y=kx(|k|>1),则由方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 得x= <0,矛盾.所以直线 y=kx(|k|>1)与 C1 也无公共点. 1 ? 2k 2
2013 上海理科数学 第7页

因此原点不是“C1C2 型点”. (3)记圆 O:x +y =
2 2

1 ,取圆 O 内的一点 Q.设有经过 Q 的直线 l 与 C1、C2 都有公共点.显然 l 不垂直于 x 2

轴, 故可设 l:y=kx+b. 若|k|≤1,由于圆 O 夹在两组平行线 y=x±1 与 y=-x±1 之间,因此圆 O 也夹在直线 y=kx±1 与 y=- kx±1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k|>1.

? y ? kx ? b, ? 因为 l 与 C1 有公共点,所以方程组 ? x 2 有实数解, 2 ? ? y ?1 ?2
得(1-2k )x -4kbx-2b -2=0. 2 因为|k|>1,所以 1-2k ≠0, 2 2 2 2 2 因此 Δ =(4kb) -4(1-2k )(-2b -2)=8(b +1-2k )≥0, 2 2 即 b ≥2k -1. 因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= 所以
2 2 2 2

|b| 1? k 2



1 b2 1? k 2 2 2 2 = d < ,从而 >b ≥2k -1, 2 2 1? k 2
2 2

得 k <1,与|k|>1 矛盾. 因此,圆 x +y =

1 内的点都不是“C1C2 型点”. 2

23. 解:(1)a2=2,a3=c+10.

? x ? c ? 8, x ? ?c, ? (2)f(x)= ?3 x ? 3c ? 8, ?c ? 4 ? x ? ?c, ? ? x ? c ? 8, x ? ?c ? 4. ?
当 an≥-c 时,an+1-an=c+8>c; 当-c-4≤an<-c 时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当 an<-c-4 时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c. * 所以,对任意 n∈N ,an+1-an≥c. (3)由(2),结合 c>0,得 an+1>an,即{an}为无穷递增数列. 又{an}为等差数列,所以存在正数 M,当 n>M 时,an≥-c, 从而,an+1=f(an)=an+c+8. 由于{an}为等差数列,因此其公差 d=c+8. ①若 a1<-c-4,则 a2=f(a1)=-a1-c-8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即 a1=-c-8,从而 a2=0. 当 n≥2 时,由于{an}为递增数列,故 an≥a2=0>-c, 所以,an+1=f(an)=an+c+8,而 a2=a1+c+8, 故当 a1=-c-8 时,{an}为无穷等差数列,符合要求; ②若-c-4≤a1<-c,则 a2=f(a1)=3a1+3c+8, 又 a2=a1+d=a1+c+8, 所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得 a1=-c,舍去; ③若 a1≥-c,则由 an≥a1 得到 an+1=f(an)=an+c+8, 从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上,a1 的取值集合为[-c,+∞)∪{-c-8}.

2013

上海理科数学

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