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【步步高】高考数学一轮复习


§ 4.7

解三角形应用举例

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在 水平视线下方叫俯角(如图①).

(

2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 3.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如图①,为了测量隧道口 AB 的长度,可测量数据 a,b,γ 进行计算.( √ )

(2)如图②,B,C,D 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 β 和 α(α<β), 则可以求出 A 点距地面的高度 AB.( √ )
-1-

(3)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为 α+β=180° .( × ) π (4)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0, ].( × 2 ) )

(5)有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为 2cos 10° .( √

1.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m, ∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A、B 两点的距离为( A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m 25 2 D. m 2 )

答案 A 解析 ∵∠ACB=45° ,∠CAB=105° , AB AC ∴∠ABC=180° -105° -45° =30° . 在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin C sin B 2 50× 2 AC· sin C ∴AB= = =50 2 (m). sin B 1 2 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° 答案 B 解析 如图所示,∠ACB=90° ,又 AC=BC, ∴∠CBA=45° ,而 β=30° ,∴α=90° -45° -30° =15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° . 3.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的高是 46 m,则 河流的宽度 BC 约等于 ________m. ( 用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据: sin 67° ≈0.92 , cos 67° ≈0.39,sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80, 3≈1.73) B.北偏西 15° C.北偏东 10° D.北偏西 10° )

答案 60 解析 根据已知的图形可得 AB= 得

46 .在△ABC 中, ∠BCA=30° , ∠BAC=37° , 由正弦定理, sin 67°

AB BC 46 = ,所以 BC≈2× ×0.60=60(m). sin 30° sin 37° 0.92

4.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角为 30° ,45° , 且 A,B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为________m. 答案 30+30 3 解析 在△PAB 中,∠PAB=30° ,∠APB=15° ,AB=60,sin 15° =sin(45° -30° )=sin
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1 ×60 2 6- 2 2 3 2 1 PB AB 45° cos 30° -cos 45° sin 30° = × - × = ,由正弦定理得 = ,∴PB= = 2 2 2 2 4 sin 30° sin 15° 6- 2 4 30( 6+ 2), ∴树的高度为 PB· sin 45° =30( 6+ 2)× 2 =(30+30 3)m. 2

题型一

测量距离问题

例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD= 45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 解 如图所示,在△ACD 中,∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° ,

∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . 在△ABC 中,由余弦定理,得 sin 60° 2

AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2× 3× 6+ 2×cos 75° =3+2+ 3- 3=5, ? 2 ? 2 ?

∴AB= 5 km,∴A、B 之间的距离为 5 km. 思维升华 求距离问题的注意事项 (1)首先选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化成三角形问题.(2)明确所求的距离在哪个三角形中, 有几个已知元素.(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形. (1)在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 A,C 两点之 间的距离是__________千米. (2)已有 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处,A、B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为________km. 答案 解析 (1) 6 (2) 6-1 AC 2 2 3 (1)如图所示,由题意知 C=45° , 由正弦定理得 = ,∴AC= · = sin 60° sin 45° 2 2 2

6. (2)如图,由题意可得,

∠ACB=120° ,AC=2,AB=3.设 BC=x,则由余弦定理可得:AB2=BC2+AC2-2BC· ACcos 120° , 即 32=22+x2-2×2xcos 120° ,整理得 x2+2x=5,解得 x= 6-1(另一解为负值舍掉). 题型二 测量高度、角度问题
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例 2 (1)如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测 点 C 与 D,测得∠BCD=15° ,∠BDC=30° ,CD=30,并在点 C 测得塔顶 A 的仰 角为 60° ,则塔高 AB 等于( A.5 6 C.5 2 ) B.15 3 D.15 6

(2)一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75° 且距灯塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到 达这座灯塔东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( 17 6 A. 海里/小时 2 17 2 C. 海里/小时 2 答案 解析 (1)D (2)A BC 30 (1)在△BCD 中,∠CBD=180° -15° -30° =135° . 由正弦定理得 = , sin 30° sin 135° B.34 6海里/小时 D.34 2海里/小时 )

所以 BC=15 2. 在 Rt△ABC 中, AB=BCtan∠ACB=15 2× 3=15 6. (2)如图所示,

PM MN 68 3 MN 17 在△PMN 中, = ,∴MN= =34 6,∴v= = 6(海里/小时). sin 45° sin 120° 4 2 2 思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,三角形可解,则至少要知道这个

三角形的一条边长.解题中注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角表示出来,注意不要把 角的含义弄错,不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错. (1)一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2 解析 如图所示,依题意有 AB=15×4=60 km,∠MAB=30° ,∠AMB=45° ,在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理得 = ,解得 BM=30 2 km. sin 45° sin 30° (2)某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后, 望见塔在东北方向, 若沿途测得塔顶的最大仰角为 30° ,求塔高. 解 如图所示,某人在 C 处,AB 为塔高,

他沿 CD 前进,CD=40,此时∠DBF=45° ,过点 B 作 BE⊥CD 于 E,则∠AEB=30° , 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30° ,∠DBC=135° ,由正弦定理,得 CD BD 40sin 30° = ,∴BD= =20 2(米).∵∠BDE=180° -135° -30° = sin 135° sin∠DBC sin∠BCD
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15° . ∴在 Rt△BED 中,BE=DBsin 15° =20 2× 6- 2 =10( 3-1)(米). 4 10 10 (3- 3)(米).故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 3

在 Rt△ABE 中,∠AEB=30° ,∴AB=BEtan 30° = 题型三 三角形中的综合问题

x x x 例 3 已知向量 m=( 3sin ,1),n=(cos ,cos2 ),函数 f(x)=m· n. 4 4 4 2π (1)若 f(x)=1,求 cos( -x)的值; 3 1 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 acos C+ c=b,求 f(B)的取值范围. 2 解 x x x 3 x 1 x 1 x π 1 由题意得,f(x)= 3sin cos +cos2 = sin + cos + =sin( + )+ . 4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 2

x π 1 2π π x x π 1 (1)由 f(x)=1,可得 sin( + )= ,则 cos( -x)=2cos2( - )-1=2sin2( + )-1=- . 2 6 2 3 3 2 2 6 2 a2+b2-c2 1 b2+c2-a2 1 (2)已知 acos C+ c=b,由余弦定理,可得 a· + c=b,即 b2+c2-a2=bc,则 cos A= 2 2ab 2 2bc 1 = , 2 π 2π 2π B π π B π π 又 A 为三角形的内角,所以 A= ,从而 B+C= ,易知 0<B< ,0< < ,则 < + < , 3 3 3 2 3 6 2 6 2 B π 1 3 3 所以 1<sin( + )+ < ,故 f(B)的取值范围为(1, ). 2 6 2 2 2 思维升华 在三角形边角关系相互制约的问题中,基本的解决思路有两种:一是根据正、余弦定理把边的

关系都转化为角的关系,通过三角恒等变换解决问题;二是根据正、余弦定理把角的关系都转化为边的关 系,通过代数变换解决问题. △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明 sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (1)证明 ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)解 ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 1 cos B= = ≥ = ,当且仅当 a=c 时等号成立.∴cos B 的最小值为 . 2ac 2ac 2ac 2 2

函数思想在解三角形中的应用 典例:(12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假
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设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时, 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小), 使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 思维点拨 (1)利用三角形中的余弦定理,将航行距离表示为时间 t 的函数,将原题转化为函数最值问题;

(2)注意 t 的取值范围. 规范解答 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则[1 分] 1 900?t- ?2+300.[3 分] 3

S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos?90° -30° ?= 900t2-600t+400= 1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3

即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.[6 分] (2)设小艇与轮船在 B 处相遇. 600 400 则 v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ),[8 分],故 v2=900- + 2 . t t 600 400 2 3 2 2 ∵0<v≤30,∴900- + 2 ≤900,即 2- ≤0,解得 t≥ . 又 t= 时,v=30, t t t t 3 3 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20.[11 分] 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时.[12 分] 温馨提醒 (1)三角形中的最值问题,可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型),转化为函数最 值问题.(2)求最值时要注意自变量的范围,要考虑问题的实际意义.

方法与技巧 利用解三角形解决实际问题时,(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型; (2) 要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还 要检验问题的实际意义. 失误与防范 1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形, 一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.

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A组

专项基础训练

(时间:45 分钟) 1.若点 A 在点 B 的北偏西 30° ,则点 B 在点 A 的( A.北偏西 30° B.北偏西 60° C.南偏东 30° ) D.东偏南 30°

答案 C 解析 如图,点 B 在点 A 的南偏东 30° .

2.如图,一栋建筑物 AB 的高为(30-10 3)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地 面点 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别是 15° 和 60° ,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰 角为 30° ,则通信塔 CD 的高为( )

A.30 m B.60 m C.30 3 m D.40 3 m 答案 B 解析 如图,在 Rt△ABM 中,

30-10 3 30-10 3 AB AM= = = =20 6m. sin 15° sin∠AMB 6- 2 4 过点 A 作 AN⊥CD 于点 N, 易知∠MAN=∠AMB=15° , 所以∠MAC=30° +15° =45° , 又∠AMC=180° -15° -60° =105° , 从而∠ACM=30° . MC 20 6 在△AMC 中,由正弦定理得 = ,解得 MC=40 3 m,在 Rt△CMD 中,CD=40 3×sin 60° sin 45° sin 30° =60 m, 故通信塔 CD 的高为 60 m.
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3.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速 度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯 角为 75° ,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km,参考数据: 3≈1.732)( A.11.4 km C.6.5 km B.6.6 km D.5.6 km )

1 50 000 AB 50 000 答案 B 解析 ∵AB=1 000×1 000× = m, ∴BC= · sin 30° = m. 60 3 sin 45° 3 2 50 000 ∴航线离山顶 h= ×sin 75° ≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km.

4.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( A.30° B.45° C.60° D.75° 答案 B 解析 依题意可得 AD=20 10 m,AC=30 5 m,又 CD=50 m,所以在 △ACD 中,由余弦定理得 cos∠CAD = AC2+AD2-CD2 ?30 5?2+?20 10?2-502 6 000 2 = = = ,又 2AC· AD 2 2×30 5×20 10 6 000 2 )

0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD=45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° , 那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 答案 A BC AB 解析 如图所示, 易知, 在△ABC 中, AB=20, ∠CAB=30° , ∠ACB=45° , 根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 6.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30° ,则甲、乙两 楼的高分别是________________. 40 答案 20 3米, 3米 3 解析 如图,依题意有甲楼的高度为 AB=20· tan 60° =20 3(米),又 CM=DB=20(米), 1 20 3 20 3 40 3 ∠CAM=60° ,所以 AM=CM· = (米),故乙楼的高度为 CD=20 3- = (米). tan 60° 3 3 3 7. 如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点 测得 M 点的仰角∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° .已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________ m. 答案 150 解析 根据图示,AC=100 2 m. 在△MAC 中,∠CMA=180° -75° -60° =45° .
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) B.10 3海里 D.20 2海里

AC AM MN 3 由正弦定理得 = ?AM=100 3 m. 在△AMN 中, =sin 60° ,∴MN=100 3× =150 m. sin 45° sin 60° AM 2 8.如图,在四边形 ABCD 花圃中,已知 AD⊥CD,AD=10 m,AB=14 m,∠BDA=60° ,∠BCD=135° , 则 BC 的长为________ m. 答案 8 2 解析 在△ABD 中,设 BD=x,则 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA,即 142=x2+102- BC 2· 10x· cos 60° ,整理得 x2-10x-96=0,解得 x1=16,x2=-6(舍去).在△BCD 中,由正弦定理: sin∠CDB = BD 16 ,∴BC= · sin 30° =8 2. sin 135° sin∠BCD

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9.在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15° ,如 图所示,向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45° ,设建筑物的高为 50 m.求 此山对于地平面的斜度 θ 的余弦值. 解 在△ABC 中,∠BAC=15° ,∠CBA=180° -45° =135° ,所以∠ACB=30° .

100 BC 100sin 15° 又 AB=100 m,由正弦定理,得 = ,即 BC= . 在△BCD 中,因为 CD=50,BC= sin 30° sin 15° sin 30° 100sin 15° sin 30° 100sin 15° 50 ,∠CBD=45° ,∠CDB=90° +θ, 由正弦定理,得 = , sin 30° sin 45° sin?90° +θ? 解得 cos θ= 3-1. 因此,山对于地平面的斜度的余弦值为 3-1. 10. 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号, 我海军舰艇在 A 处获悉后, 立即测出该渔轮在方位角为 45° , 距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105° 的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海 军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 解 如图所示, 根据题意可知 AC=10, ∠ACB=120° , 设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h,

并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2 1 +BC2-2AC· BC· cos 120° , 所以 212t2=102+92t2+2×10×9t× , 即 360t2-90t-100=0, 2 2 5 2 解得 t= 或 t=- (舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时 AB=14,BC=6. 3 12 3 3 6× 2 3 3 BC AB 在△ABC 中,根据正弦定理得 = , 所以 sin∠CAB= = , 即∠CAB≈21.8° 或 14 14 sin∠CAB sin 120° ∠CAB≈158.2° (舍去). 即舰艇航行的方位角为 45° +21.8° =66.8° . 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3 B组 专项能力提升

(时间:25 分钟) 11.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好是 3 km,那 么 x 的值为________. 答案 3或 2 3

解析 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30° , 由余弦定理得( 3)2=x2+32-2x· 3· cos 30° , 整理,得 x2-3 3x+6=0,解得 x= 3或 2 3. 2 2 12.如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的 3 长为______.

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答案

3 解析

π 2 sin∠BAC=sin( +∠BAD)=cos∠BAD, ∴cos∠BAD= 2. 2 3

2 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD=(3 2)2+32-2×3 2×3× 2, 即 BD2=3,BD= 3. 3 13.如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处,之后它继续沿正北 方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它 相距 8 2n mile.此船的航速是________. 1 答案 32 n mile/h 解析 设航速为 v n mile/h。在△ABS 中,AB= v,BS=8 2,∠BSA 2 1 v 2 8 2 =45° ,由正弦定理得: = ,∴v=32. sin 30° sin 45° 14.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30° ,60° ,则塔高为 ________m. 答案 400 3 解析 如图, 由已知可得∠BAC=30° , ∠CAD=30° , ∴∠BCA=60° , ∠ACD

400 =30° ,∠ADC=120° . 又 AB=200 m,∴AC= 3 m.。在△ACD 中,由余弦定理得, 3 AC2=2CD2-2CD2· cos 120° =3CD2, ∴CD= 1 400 AC= m. 3 3

15.某炮兵阵地位于地面 A 处, 两观察所分别位于地面 C 和 D 处, 已知 CD=6 km, ∠ACD=45° , ∠ADC=75° , 目标出现于地面 B 处时, 测量得∠BCD=30° , ∠BDC =15° ,如图,求炮兵阵地到目标的距离. 解 在△ACD 中,∠CAD=180° -∠ACD-∠ADC=60° ,CD=6,∠ACD=45° , 2 CD. 同理,在△BCD 中, 3

CDsin 45° 根据正弦定理有 AD= = sin 60°

CDsin 30° 2 ∠CBD=180° -∠BCD-∠BDC=135° ,CD=6,∠BCD=30° , 根据正弦定理得 BD= = CD. sin 135° 2 又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90° , 根据勾股定理有 AB= AD2+BD2= km. 2 1 42 + CD= CD= 42(km).所以炮兵阵地到目标的距离为 42 3 2 6

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