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广东省深圳市南山区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


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广东省深圳市南山区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)在△ABC 中,已知 a=6,A=60°,C=45°,则 c=() A. 2 B. C.

D. 2

>2. (5 分)双曲线 A. y=± x

=1 的渐近线方程是() B. y=± x C. y=± x D. y=± x

3. (5 分)等比数列{an}中,任意的 n∈N ,an+1+an=3 ,则公比 q 等于() A. 2 B. 3 C. D. ﹣

*

n+1

4. (5 分)设 a>0,b>0,且 a+b=2,则 + 的最小值为() A. 1 B. 2 C. 4 D. 4.5

5. (5 分)设

,则不等式 f(x)<x 的解集是() C.

2

A. (2,+∞)∪(﹣∞,0] B. R ①求 和点 G 的坐标;

②求异面直线 EF 与 AD 所成的角; ③求点 C 到截面 AEFG 的距离.

20. (14 分)P 是圆 x +y =4 上任意一点,P 在 x 轴上的射影为 M 点,N 是 PM 的中点,点 N 的 轨迹为曲线 C,曲线 C1 的方程为: 2 x =8(y﹣m) (m>0) (1)求轨迹 C 的方程; (2)若曲线 C 与曲线 C1 只有一个公共点,求曲线 C1 的方程;

2

2

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (3)在(2)的条件下,求曲线 C 和曲线 C1 都只有一个交点的直线 l 方程.

广东省深圳市南山区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)在△ABC 中,已知 a=6,A=60°,C=45°,则 c=() A. 2 B. C. 考点: 专题: 分析: 解答:

D. 2

正弦定理. 解三角形. 利用正弦定理列出关系式,把 sinA,sinC 以及 a 的值代入计算即可求出 c 的值. 解:∵在△ABC 中,a=6,A=60°,C=45°,

∴由正弦定理

=

得:c=

=

=2



故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

2. (5 分)双曲线 A. y=± x

=1 的渐近线方程是() B. y=± x C. y=± x D. y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的渐近线方程的求法,直接求解即可. 解答: 解:双曲线 的渐近线方程是 ,即 .

故选 C. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程的求法,双曲线的基本性质的应用,考查计算能力. 3. (5 分)等比数列{an}中,任意的 n∈N ,an+1+an=3 ,则公比 q 等于() A. 2 B. 3 C. D. ﹣ 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 把 n=1、2 分别代入已知的式子,并利用等比数列的通项公式化简求出公比 q 的值.
* n+1

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵等比数列{an}中,任意的 n∈N ,an+1+an=3 , 2 3 ∴a2+a1=3 ,a3+a2=qa2+qa1=3 , 两个式子相除可得,公比 q=3, 故选:B. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,以及递推公式的化简,属于基础题.
* n+1

4. (5 分)设 a>0,b>0,且 a+b=2,则 + 的最小值为() A. 1 B. 2 C. 4 D. 4.5

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 + = ( + ) (a+b)= (2+ + ) ,由基本不等式求最值可得. 解答: 解:∵a>0,b>0,且 a+b=2, ∴ + = ( + ) (a+b) = (2+ + )≥ (2+2 )=2

当且仅当 = 即 a=b=1 时取等号, 故选:B 点评: 本题考查基本不等式,属基础题.

5. (5 分)设

,则不等式 f(x)<x 的解集是()

2

A. (2,+∞)∪(﹣∞,0] B. R C. , 综上原不等式的解集为(2,+∞)∪(﹣∞,0]. 故选 A 点评: 本题考查了不等式的解法及分段函数,考查分类讨论的思想,本题解题的关键是对 于求出的范围一定要和分段函数的范围分别并起来,本是一个基础题.

6. (5 分)已知 x,y 满足

,则 z=2x﹣y 的最大值是()

A.

B.

C.

D. 2

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的四边形 ABCD 及其内部,再将目标函数 z=2x﹣y 对应的直线进行平移,可得当 x=3,y= 时,目标函数 z 取得最大值.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的四边形 ABCD 及其内部,其中 A( , ) ,B(3, ) ,C(3,4) ,D(0,3) 设 z=F(x,y)=2x﹣y,将直线 l:z=2x﹣y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(3, )=2×3﹣ = 故选:B

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x﹣y 的最大值,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 7. (5 分)下列命题中的假命题是() 3 A. ? x∈R,x <0 B. “a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 x C. ? x∈R,2 >0 D. “x<2”是“|x|<2”的充分非必要条件 考点: 特称命题;全称命题. 专题: 探究型. 分析: 对各命题逐个进行判断.A,显然 x 为负数时,恒成立;B,a>0 时,|a|>0,反之, x a 可以是负数;C,利用指数函数的性质,可知? x∈R,2 >0;D,x<2 时,|x|<2 不一定成 立,反之,|x|<2 时,x<2 成立,故可得结论. 解答: 解:对于 A,显然 x 为负数时,恒成立,故 A 为真命题; 对于 B,a>0 时,|a|>0,反之,a 可以是负数,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条 件,故 B 为真命题; x 对于 C,利用指数函数的性质,可知? x∈R,2 >0,故 C 为真命题; 对于 D,x<2 时,|x|<2 不一定成立,反之,|x|<2 时,x<2 成立,“x<2”是“|x|<2” 的必要非充分条件,故 D 为假命题

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 D. 点评: 本题考查命题的真假判断,考查四种条件的判断,解题时需对各命题逐个进行判断. 8. (5 分)某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔 船沿北偏东 105°方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到 达渔船的最短时间是()小时. A. B. C. D. 1

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 设两船在 B 点碰头, 设舰艇到达渔船的最短时间是 x 小时, 由题设知 AC=10, AB=21x, 2 2 BC=9x,∠ACB=120°,由余弦定理,知(21x) =100+(9x) ﹣2×10×9x×cos120°,由此 能求出舰艇到达渔船的最短时间. 解答: 解:设两船在 B 点碰头,由题设作出图形, 设舰艇到达渔船的最短时间是 x 小时, 则 AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°, 2 2 由余弦定理,知(21x) =100+(9x) ﹣2×10×9x×cos120°, 2 整理,得 36x ﹣9x﹣10=0, 解得 x= ,或 x=﹣ 故选:B. (舍) .

点评: 本题考查解三角形在生产实际中的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查 函数与方程思想,化归与转化思想. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 2 2 9. (5 分)已知命题 p:? x∈R,x +2x=3,则?p 是? x∈R,x +2x≠3. 考点: 命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 2 解答: 解:∵命题 p:? x∈R,x +2x=3 是特称命题, 2 ∴根据特称命题的否定是全称命题,得?p:? x∈R,x +2x≠3. 2 故答案为:? x∈R,x +2x≠3.

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握含有量词命题的否定的形式, 比较基础.

10. (5 分)焦点坐标为(0,10) ,离心率是 的双曲线的标准方程为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的几何量 a,b,c 即可求出双曲线方程. 解答: 解:焦点坐标为(0,10) ,离心率是 的双曲线,可得 c=10,a=8,b=6,

焦点坐标为(0,10) ,离心率是 的双曲线的标准方程为:



故答案为:



点评: 本题考查双曲线方程的求法,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.

11. (5 分)函数 y=

的最大值为 .

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用基本不等式,求得函数 y= 的最大值.

解答: 解:函数 y= x = 时,取等号, 故函数 y= 故答案为: .
2



= ,当且仅当 2x =1﹣2x ,即

2

2

的最大值为 ,

点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题. 12. (5 分)在等差数列{an}中,已知 a4+a14=1,则 S17=1. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由等差数列的性质可得 a1+a17=a4+a14,代入求和公式计算可得. 解:由等差数列的性质可得 a1+a17=a4+a14=1,

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∴由求和公式可得 S17=

=1

故答案为:1 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 13. (5 分)边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 120°. 考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 直接利用余弦定理求出 7 所对的角的余弦值,求出角的大小,利用三角形的内角和, 求解最大角与最小角之和. 解答: 解:根据三角形中大角对大边,小角对小边的原则, 所以由余弦定理可知 cosθ = = ,

所以 7 所对的角为 60°. 所以三角形的最大角与最小角之和为:120°. 故答案为:120°. 点评: 本题考查余弦定理的应用,三角形的边角对应关系的应用,考查计算能力.

14. (5 分)记 max{a,b}=

,f(x)=max{|x﹣m|,|x+1|},若存在实数 x,使得 f

(x)≤1 成立,则实数 m 的取值范围是. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 存在实数 x,使得 f(x)≤1 成立的否定是任意实数 x,恒有 f(x)>1 成立;从而 可得 m<﹣3 或 m>1;从而求实数 m 的取值范围. 解答: 解:存在实数 x,使得 f(x)≤1 成立的否定是 任意实数 x,恒有 f(x)>1 成立; 当 x>0 或 x<﹣2 时,|x+1|>1, 故 f(x)>1 成立; 当﹣2≤x≤0 时,|x+1|≤1, 故|x+m|>1 在上恒成立, 故 m<﹣3 或 m>1; 故存在实数 x,使得 f(x)≤1 成立时, 实数 m 的取值范围是. 故答案为: . 点评: 本题考查了命题的否定与分段函数的应用,同时考查了函数的最值,属于中档题. 三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分) 2 2 2 15. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a +c ﹣ac=b .

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求△ABC 的面积. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosB,把已知等式变形后代入计算求出 cosB 值,即可求 出 B 的度数; (2) 利用正弦定理化简 sinC=2sinA, 得到 c=2a, 利用余弦定理列出关系式, 求出 a 与 c 的值, 再利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (1)∵△ABC 中,a +c ﹣ac=b ,即 a +c ﹣b =ac, ∴cosB= 则 B= ; = ,

(2)把 sinA=2sinC,利用正弦定理化简得:a=2c, ∵b=3,cosB= , ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=4c +c ﹣2c , 解得:c= ,a=2 , 则 S△ABC= acsinB= .
2 2 2 2 2 2

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键.

16. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=

,n∈N .

*

,设数列{bn}前 n 项和为 Gn,求证:Gn



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)数列{an}的前 n 项和 Sn= 即可得出; (2)bn= 可得出. 解答: (1)解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N .
*

,n∈N .利用 a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,

*

=

,利用“裂项求和”、“放缩法”即

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∴a1=S1=

=1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=



=3n﹣2,

当 n=1 时上式也成立, ∴an=3n﹣2. (2)证明:bn= = = +?+ ,

∴设数列{bn}前 n 项和为 Gn= = ∴Gn . < ,

点评: 本题考查了数列递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

17. (14 分)设椭圆 C:

过点(0,4) ,离心率为

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)的动直线被 C 所截线段的中点轨迹方程. 考点: 圆锥曲线的轨迹问题;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ) 由椭圆 C:

过点 (0, 4) , 离心率为 , 知



由此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)设过点(3,0)的直线交椭圆 于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设 AB 的中点为 M

(x,y) ,利用点差法能够求出过点(3,0)的动直线被 C 所截线段的中点轨迹方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: 过点(0,4) ,离心率为 ,



,解得 a=5,b=4,c=3,

-9-

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∴椭圆 C 的方程是



(Ⅱ)设过点(3,0)的直线交椭圆

于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

设 AB 的中点为 M(x,y) ,则 x1+x2=2x,y1+y2=2y, 2 2 把 A(x1,y1) ,B(x2,y2)代入椭圆 16x +25y =400, 得 ①﹣②,得 16(x1+x2) (x1﹣x2)+25(y1+y2) (y1﹣y2)=0, ∴32x(x1﹣x2)+50y(y1﹣y2)=0, ∴直线 AB 的斜率 k= =﹣ ,

∵直线 AB 过点(3,0) ,M(x,y) , ∴直线 AB 的斜率 k= ∴﹣ = ,
2 2

,整理,得 16x +25y ﹣48x=0.
2 2

当 k 不存在时,16x +25y ﹣48x=0 也成立. 2 2 故过点(3,0)的动直线被 C 所截线段的中点轨迹方程是 16x +25y ﹣48x=0. 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查点的轨迹方程的求法,解题时要认真审题,仔细解 答,注意点差法的合理运用. 18. (14 分)已知数列{an}中,a1=a(a>0) ,anan+1=4 (n∈N ) (1)当 a=1 时,求 a2,a3 并猜想 a2n 的值; (2)若数列{an}是等比数列,求 a 的值及 an; (3)在(2)的条件下,设 bn=nan.求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. n * 2 分析: (1)由 a1=a(a>0) ,anan+1=4 (n∈N ) ,可得当 a=1 时,a1?a2=1×a2=4,a2a3=4 ,解 得 a2,a3.由 =4,可得 an+2=4an,即可得出 a2n.
2 2 n *

(2)由于数列{an}是等比数列,设公比为 q,则 a?aq=4,aq?aq =4 ,a>0,解得 q,a.即可 得出 an. (3)在(2)的条件下,bn=nan= ,利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和

公式即可得到. n * 解答: 解: (1)∵a1=a(a>0) ,anan+1=4 (n∈N ) , 2 ∴当 a=1 时,a1?a2=1×a2=4,解得 a2=4,由 a2a3=4 ,解得 a3=4.

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=

=4,∴an+2=4an,可得 a2n=4 .
2 2

n

(2)∵数列{an}是等比数列,设公比为 q,则 a?aq=4,aq?aq =4 ,a>0,解得 q=2,a= ∴an= . ,



(3)在(2)的条件下,bn=nan= ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= 2Sn= , ?+(n﹣1)×2

n﹣1

+n×2 ],

n

∴﹣Sn=

(1+2+2 +?+2

2

n﹣1

﹣n×2 )=

n

=



∴Sn=



点评: 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前 n 项和公 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (14 分)如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB=4, BC=1,BE=3,CF=4,若如图所示建立空间直角坐标系: ①求 和点 G 的坐标;

②求异面直线 EF 与 AD 所成的角; ③求点 C 到截面 AEFG 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;空间中的点的坐标;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由题意知 A(1,0,0) ,B(1,4,0) ,E(1,4,4) ,F(0,4,4) ,由此能求 出 ,又 = ,能求出 G(0,0,1) . ,能求出异面直线 EF 与 AD 所成的角.

(2)由

=(﹣1,0,0) ,

(3)求出平面 AEFG 的法向量,利用向量法能求出点 C 到截面 AEFG 的距离.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)由题意知 A(1,0,0) ,B(1,4,0) , E(1,4,4) ,F(0,4,4) , ∴ =(﹣1,0,1) ,又∵ = ,

设 G(0,0,z) , ∴(﹣1,0,z)=(﹣1,0,1) ,解得 z=1, ∴G(0,0,1) . (2)∵ =(﹣1,0,0) , ,

∴cos<

>=

=



∴异面直线 EF 与 AD 所成的角为 45°. (3)设平面 AEFG 的法向量 ∵ ∴ =(﹣1,0,1) , =(0,4,3) , ,

,取 z=4,得 =(4,﹣3,4) ,

∵C(0,4,0) ,



∴点 C 到截面 AEFG 的距离 d=

=

=



点评: 本题考查

和点 G 的坐标的求法,考查异面直线 EF 与 AD 所成的角的求法,考查点

C 到截面 AEFG 的距离的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 20. (14 分)P 是圆 x +y =4 上任意一点,P 在 x 轴上的射影为 M 点,N 是 PM 的中点,点 N 的 轨迹为曲线 C,曲线 C1 的方程为: 2 x =8(y﹣m) (m>0) (1)求轨迹 C 的方程; (2)若曲线 C 与曲线 C1 只有一个公共点,求曲线 C1 的方程;
2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (3)在(2)的条件下,求曲线 C 和曲线 C1 都只有一个交点的直线 l 方程. 考点: 轨迹方程;圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设出 N 的坐标,利用中点坐标公式求出 P 点的坐标,代入圆的方程后整理即可 得到答案; 2 (2)将(0,1)代入 x =8(y﹣m) ,可得 m=1,即可求曲线 C1 的方程; (3)在(2)的条件下,可得曲线 C 和曲线 C1 都只有一个交点的直线 l 方程. 解答: 解: (1)设 N(x,y) ,则由中点坐标公式得 P(x,2y) , 2 2 因为 P 是圆 x +y =4 上任意一点, 2 2 所以 x +4y =4, 整理得, .
2

(2)将(0,1)代入 x =8(y﹣m) ,可得 m=1, 2 所以曲线 C1 的方程为 x =8(y﹣1) ; (3)在(2)的条件下,曲线 C 和曲线 C1 都只有一个交点的直线 l 方程为 y=1. 点评: 本题考查了轨迹方程问题,考查了代入法求轨迹方程,是中档题.

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