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三角形的内心与旁心(问题)


【几何十讲】

三角形的五心-A(角分线心)
内心与旁心 陶平生

三角形的五心是指内心、 外心、 重心、 垂心与旁心; 在数学竞赛中占有十分重要的位置. 从赛题统计方面来看, 其中又以角分线心的问题最为突出, 必须熟悉其基本性质, 基本构形, 常用辅助线以及基本定理的应用. I3 本讲座介绍内心与旁心问题
K

>
?ABC 的内心为 I , 而 BC , CA, AB 边外的旁
心分别为 I1 , I 2 , I3 ;
B
F I D M

A
I2 E

C

N

AD, BE , CF 分别是三条内角平分线, AI 交三
角形外接圆于 M , I 2 I 3 交外接圆于 K , AI 2 交
I1

BC 于 N ,
显然,三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直,并且有

(1) 、 ?BIC ?

A A , ?BI 2C ? ; 2 2 2 AB BD BN ? ? (2) 、 ; AC DC NC ?

?

(3) 、 MI ? MI1 ? MB ? MC ; KI 2 ? KI3 ? KB ? KC ;
(4) 、 AD2 ? AB ? AC ? DB ? DC ; AN 2 ? NB ? NC ? AB ? AC ;

(5) 、 AB ? AC ? AD ? AM ? AN ? AK ;
(6) 、
AI I1M ? ; (称为对称比定理) . ID MD

(7) 、 MI ? MB ? MC , (俗称“鸡爪”定理) .
(注意, (2) (4) (5) 中最后一等式仅当外角分线 AI 2 与边 BC 有交点时使用)

1 、 ?ABC 中, AD 是 ? A 的平分线,点 P, Q 分别在 AB, AC 上,满足 BP ? CQ ,

M , N 分别是 PQ, BC 的中点;
证明: MN ∥ AD .
B
M

A
Q

P N

D

C

1

2 、 AD 是 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 BC 上 的 高 , ( AB ? AC ) , I1 , I 2 分 别 是

?A B D , ? A C 的内心, D ?AI1I 2 的外接圆 O 分别交 AB, AC 于 E , F ,直线 EF , BC 交于
点 M ;证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心.

3 、四边形 ABCD 中, ?ACB ? ?ADB ? 90? ,自对角线 AC , BD 的交点 N ,作

NM ? AB 于 M ,线段 AC , MD 交于 E , BD, MC 交于 F , P 是线段 EF 上的任意一点.
证明:点 P 到线段 CD 的距离等于 P 到线段 MC 、 MD 的距离之和.

4 、 ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别是

?BCD 的外心与内心,若 AB ? 2 BC , 证明: ?DMN 为直角三角形.
A

5 、如图,四边形 ABCD 内接于 O ,而 O1 与 O2 外
切于点 P ,且都内切于 O ,若对角线 AC , BD 分别是 O1 、
B

O2

P O

O1

O2 的内、外公切线;
证明:点 P 是 ?ABD 的内心.
C

D

6 、如图, M 是 ?A1 A2 A3 所在平面上的一点,设点 M 关于该三角形的三条内角平分线

Ak Dk 的对称点为 M k , k ? 1, 2,3 ;
证明: M1 A 1, M 2 A 2 , M3 A 3 三线共点.

M3

A1

D3

D2

M1

M A2
D1

A3

M2

2

?ABC 内接于 O , 自 A 作 O 的切线 l , 又以 A 为 7、 ( 2005 年全国高中数学联赛)
圆心, AC 为半径作

A 交直线 AB 于 E1 , E2 ,交直线 l 于 F1 , F2 ;
F2 I3 E1 B A I2 I F1 C E2

证明:四边形 E1 F1E2 F2 的四条边所在直线分别通过

?ABC 的内心及三个旁心.

8 、 ?ABC 中, D 是角 A 平分线上的任一点, E , F 分别
是 AB, AC 延长线上的点, 且 CE ∥ BD , BF ∥ CD ;若 M , N 分别是 CE, BF 的中点; 证明: AD ? MN .
I1

A
D

B
M

C

N

E

F

9 、 ?ABC 中,内切圆 I 切 BC 于 D ,设 DH 是 I 的直径,若 AH 交 BC 于 M ; 证明: BM ? CD .

10 、 ( 2009 年东南赛)已知 O 、 I 分别是 ?ABC 的外接圆和内切圆; 证明:过 O 上的任意一点 D ,都可作一个三角形 D DEF ,使得 O 、 I 分别是 ?DEF 的外接圆和内切圆.

A

F O I B E C

3

11 、 D 是 ?ABC 内的一点, BD
若 AB ? BD ? AC ? CD , 证明: AE ? ED ? AF ? FD .

AC ? F , CD

AB ? E ,
A

F E D B C

12 、如图, O, I 分别是 ?ABC 的外心与内心, AD 是 BC 边上的高, I 在线段 OD 上;
求证: ?ABC 的外接圆半径等于 BC 边上的旁切圆半径. ( 1998 年全国高中数学联赛)

A

O I

13 、 ( 2008 年中国数学奥林匹克试题)
设锐角 ?ABC 的三边长互不相等, O 为其外心,点 A 0 在线段

B

D E M

F

C

AO 的 延 长 线 上 , 使 得 ?BA0 A ? ?CA0 A , 过 点 A0 分 别 作

I1

A0 A1 ? AC, A0 A2 ? AB ,垂足分别为 A1 , A2 ,作
AH A ? BC ,垂足为 H A ,记 ?H A A1 A2 的外接圆半径为 RA ,类似地可得 RB , RC ;
求证:

1 1 1 2 ? ? ? . RA RB RC R

14 、设 w 与 ?ABC 的边 AB, AC 分别切于点 D, E ,又与 ?ABC 的外接圆 O 相切
于点 P ; 证明: 线段 DE 过 ?ABC 的内心. (曼海因 Manheim 定理)

A

D

E

B P

C

4

15 、 ?ABC 中, I 是内心, M 是 BC 的中点,角 A 的平分线交三角形的外接圆于 D , P 是 I 关于 M 的对称点(设 P 点在圆内) ,延长 DP 交外接圆于 N ;
证明: AN , BN , CN 三线段中,必有一线段是其余两线段的和.

A
N

B
P

M

I

C

D

16 、 ?ABC 中, AB ? AC , AD ? BC 于 D , I1 , I 2 分
别是 ?ABD 与 ?ACD 的内心, 直线 I1 I 2 交 AB 于 P ,交 AC 于 Q ,若 AP ? AQ ; 证明: ?BAC 为直角.
P

A

Q I1 I2

B

D

C

17 、等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , E , F 分别是
P

?ACD, ?BCD 的 内 心 , P 是 直 线 AE 上 的 一 点 ,
P F? C D , ?ACP 的外接圆交 CD 的延长线于 Q ;证明:

Q

D
E

M

H

C

F

PQ ? PA . (美国-第 28 届)

A

B

A

18 、 如 图 , 四 边 形 ABCD 内 接 于 圆 ,

?BCD, ?ACD, ?ABD, ?ABC 的内心依次为

Ic Id Ia

Ib

D

I a , Ib , Ic , I d ;证明: I a Ib Ic I d 是矩形.
B

C

19 、三角形 ABC 中, AB ? AC , M 是 BC 的中点,

A

F

P

E

5
D

B

M
(图一)

C

D, E, F 分别是 BC , CA, AB 边上的点,且 AE ? AF ,
△ AEF 的外接 圆 交 线 段 AD 于 P, 若点 P 满足:

PD 2 ? PE ? PF 证明: ?BPM ? ?CPD

20 、 (第 28 届 CMO ? 2013 ) 如图, 两个半径不相等的圆 K1 与 K 2 交于 A, B 两点, C, D
两点分别在 K1 , K2 上,且线段 CD 以 A 为中点;延长 DB 交 K1 于点 E ,延长 CB 交 K 2 于点

F ;设线段 CD, EF 的中垂线分别为 l1 , l2 ;
A

D

证明: (1) 、 l1 与 l2 相交;

(2) 、 若 l1 与 l2 的 交 点 为 P , 则 三 条 线 段 CA, AP, PE 能构成一个直角三角形.

C B E P F

21 、如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC ,?BAC 的平分线与边 BC 交于 D ,点 E , F
分别在边 AB, AC 上,使得 B, C , F , E 四点共圆; 证明: ?DEF 的外心与 ?ABC 的内心重合的 充分必要条件是 BE ? CF ? BC . (2013--2014 第 29 届 CMO 试题)
B E A

F D C

6


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