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2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一(上)期末数学试卷(解析版)


2014-2015 学年浙江省杭州市重点中学联考高一 (上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. (4 分)设全集 U 是实数集 R,M={x||x|≥2},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是(



A.{x|﹣2<x<1} B.{x|﹣2<x<2} C.{x|1<x<2}

D.{x|x<2}

2. (4 分)cos(﹣2040°)=( A. B. C. D.



3. (4 分)若 sinα=﹣ ,cosα= ,则下列各点在角 α 终边上的是( A. (﹣4,3) B. (3,﹣4) C. (4,﹣3) D. (﹣3,4)



4. (4 分)函数 f(x)=x+sinx,x∈R( ) A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数

5. (4 分)已知 a=( )

,b=log6 ,c=

,则 a,b,c 的大小关系是(



A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 6. (4 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 需将 g(x)=sin(ωx)的图象( ) )的部分函数图象如图所示,为了得到函数 f(x)的图象,只

A.向右平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

1

C.向左平移

个单位长度 D.向左平移

个单位长度

7. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 y=f[f(x)]﹣4 的零点为(



A.

B.

C.

D.

8. (4 分)函数 f(x)=log2|2 ﹣1|的图象大致是(

x



A.

B.

C.

D.

9. (4 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=asin(

x+

)﹣2a+2(a>0) ,给出下列结论,

其中所有正确的结论的序号是( ) ①直线 x=3 是函数 g(x)的一条对称轴; ②函数 f(x)的值域为[0, ]; ③若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2) ,则实数 a 的取值范围是[ , ]; ④对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解. A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④

10. (4 分)若函数 f(x)=(x +mx+n) (1﹣x )的图象关于直线 x=2 对称,则 f(x)的最大值是( A.16 B.14 C.15 D.18 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分

2

2



11. (4 分)求值:

+(﹣ ) +

0

+

= _________ .

12. (4 分)函数 f(x)=lg(x+2)+

的定义域为_ _________ .

2

13. (4 分)已知弧长为 πcm 的弧所对的圆心角为

,则这条弧所在的扇形面积为 _________ cm .

2

14. (4 分)已知 α 是第二象限角,sinα= ,则 cos(π﹣α)= _________ .

15. (4 分) 已知偶函数 f (x) 在 (﹣∞, 0]上满足: 当 x1, x2∈ (﹣∞, 0]且 x1≠x2 时, 总有 则不等式 f(x﹣1)<f(x)的解集为 _________ .



16. (4 分)函数 y=sin x+2cosx 在区间[﹣

2

,θ]上的最小值为﹣ ,则 θ 的取值范围是 _________ .

17. (4 分)若任意的实数 a≤﹣1,恒有 a?2 ﹣b﹣3a≥0 成立,则实数 b 的取值范围为 _________ . 三、解答题:共 4 大题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.

b

18. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣8x+15=0},B={x|x ﹣ax﹣b=0}, (1)若 A∪B={2,3,5},A∩B={3},求 a,b 的值; (2)若 ??B?A,求实数 a,b 的值.

2

2

19. (12 分) (1)已知 tanθ=2,求 (2)已知﹣ <x< ,sinx+cosx= ,求 tanx 的值.

的值;

20. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+

) (A>0,w>0)的最小正周期为 π,且 x∈[0,

]时,f(x)的最大

值为 4, (1)求 A 的值; (2)求函数 f(x)在[﹣π,0]上的单调递增区间.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=x+1. (1)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥λg(x)恒成立,求实数 λ 的取值范围; (2)求函数 h(x)=|f(x)|+λ|g(x)|在区间 x∈[﹣2,0]上的最大值.

2

2014-2015 学年浙江省杭州市重点中学联考高一 (上)期末数学试卷
3

参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (4 分)设全集 U 是实数集 R,M={x||x|≥2},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是( )

A. {x|﹣2<x<1} B. {x|﹣2<x<2} C. {x|1<x<2} D. {x|x<2} 考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 分析: 解不等式求得集合 M、N,根据 Venn 图阴影表示集合(CuN)∩M,再进行集合运算. 解答: 解:∵M={x||x|≥2}={x|x≥2 或 x≤﹣2} N={x|1<x<3}
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∵阴影部分表示集合(CuN)∩M, ∴阴影部分表示的集合是(1,2) . 故选 C 点评: 本题考查 Venn 图表达集合的关系及集合运算,属于基础题. 2. (4 分)cos(﹣2040°)=( A. )

B.

C.

D.

考点: 运用诱导公式化简求值.

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4

专题: 三角函数的求值. 分析: 原式先利用偶函数的性质化简,角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果. 解答: 解:原式=cos2040°=cos(6×360°﹣120°)=cos120°=﹣ , 故选:B. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

3. (4 分)若 sinα=﹣ ,cosα= ,则下列各点在角 α 终边上的是(



A. (﹣4,3) B. (3,﹣4) C. (4,﹣3) D. (﹣3,4) 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意和任意角的三角函数的定义,求出角 α 终边上的点的坐标形式,再选择正确的答案. 解答:
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解:由题意得 sinα=﹣ ,cosα= , 因为 sinα= ,cosα= ,所以 r=5k,x=3k,y=﹣4k, (k>0) 所以在角 α 终边上的点是(3k,﹣4k) , 当 k=1 时,此点的坐标是(3,﹣4) , 故选:B. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义的逆用,属于基础题. 4. (4 分)函数 f(x)=x+sinx,x∈R( A. 是奇函数,但不是偶函数 B. 是偶函数,但不是奇函数 C. 既是奇函数,又是偶函数
5



D. 既不是奇函数,又不是偶函数 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用奇偶性的定义,首先求出定义域,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可得到奇偶性. 解答: 解:函数 f(x)=x+sinx 的定义域为 R, f(﹣x)=﹣x+sin(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣f(x) , 则 f(x)为奇函数. 故选:A. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,考查定义法的运用,考查运算能力,属于基础题.
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5. (4 分)已知 a=( )

,b=log6 ,c=

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D. c>b>a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析:

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利用指数函数与对数函数的单调性可得:0<a=( ) 出. 解答: 解:∵0<a=( ) = ,b=log6 <0,c=

=

,b=log6 <0,c=



= ,即可得



= ,

∴c>a>b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数与对数函数的单调性,属于基础题.

6

6. (4 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 需将 g(x)=sin(ωx)的图象( )

)的部分函数图象如图所示,为了得到函数 f(x)的图象,只

A. 向右平移 B. 向右平移 个单位长度 个单位长度

C. 向左平移 D. 向左平移 个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,从而得到函数 f(x)的解析式.再根据 y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律得出结论. 解答:
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解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得 A=1, × 再由五点法作图可得 2× 故函数 f(x)=sin(2x+ +φ=π,解得 φ= )=sin2(x+ ) , ,

=

,解得 ω=2.

故把 g(x)=sin2x 的图象向左平移

个长度单位可得 f(x)的图象,

故选:C. 点评: 主要考查由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象求解析式,由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题.

7. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 y=f[f(x)]﹣4 的零点为(



A.
7

B.

C.

D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: y=f[f(x)]﹣4 的零点即方程 f[f(x)]﹣4=0 的根,从而由分段函数求根. 解答: 解:y=f[f(x)]﹣4 的零点即方程 f[f(x)]﹣4=0 的根,
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故3 +1=4; 解得,f(x)=﹣1; 当 x∈[﹣2,0]时, sin(πx)=﹣1,故 x=﹣ ; 故选 D. 点评: 本题考查了分段函数的定义及函数的零点与方程的根的联系,属于基础题. 8. (4 分)函数 f(x)=log2|2 ﹣1|的图象大致是( A.
x

﹣f(x)



B.

C.

8

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 需要分数讨论,利用函数的单调性和函数值域即可判断 解答: x x 解:当 x>0 时,f(x)=log2(2 ﹣1) ,由于 y=log2t 为增函数,t=2 ﹣1 为增函数,故函数 f(x)在(0,+∞)为 增函数, x x 当 x<0 时,f(x)=log2(1﹣2 ) ,由于 y=log2t 为增函数,t=1﹣2 为减函数,故函数 f(x)在(﹣∞,0) )为减函 x 数,且 t=1﹣2 为的值域为(0,1)故 f(x)<0, 故选:A. 点评: 本题考查了分段函数的图象和性质,根据函数的单调性和值域即可判断图象,属于基础题
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9. (4 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=asin(

x+

)﹣2a+2(a>0) ,给出下列结论,

其中所有正确的结论的序号是( ) ①直线 x=3 是函数 g(x)的一条对称轴; ②函数 f(x)的值域为[0, ]; ③若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2) ,则实数 a 的取值范围是[ , ]; ④对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解. A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
9

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 运用三角函数的对称轴的定义,即可判断①; 分别运用一次函数和分式函数的单调性,即可判断得到值域,再求并集即可判断②; 由 f(x)的值域和 g(x)的值域的关系,解不等式即可判断③; 由 f(x)的值域和 g(x)的值域的包含关系,令 a=10,即可判断④. 解答:
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解:对于①,g(x)=asin(

x+

)﹣2a+2=﹣acos

x﹣2a+2,

由 g(3)=﹣acosπ﹣2a+2=2﹣a,取得最大值,故①对; 对于②,当 0 当 而 时,f(x)= ﹣ x∈[0, ]; ═2[(x+2)+ ]﹣8

≤1 时,f(x)=

<x+2≤3,令 z=x+2,则 z∈( ,3],

双钩型函数 h(z)=2(z+ )﹣8 在 z∈( ,3]上单调递增, ∴h( )= ﹣8= ,h(z)max=h(3)= ,

∴当 x∈( ,1)时,f(x)的值域为( , ]; ∴函数 f(x)的值域为[0, ],故②对; 对于③,若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立, 则 0≤2﹣3a≤ 或 0≤2﹣ a≤ , 解得 ≤a≤ 或 ∴[ , ]∪[ ≤a≤ ,由于 < ,

, ]=[ , ].故③对; x+ )﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2(a>0) ,

对于④,g(x)=asin( ∵0≤x≤1,∴0≤ ∵y =cosx 在[0, ∴y=﹣cosx 在[0, ∴g(x)=﹣acos 由 g(x)=﹣acos 当 0≤x≤1 时,0≤ x≤ ,

]上单调递减, ]上单调递增,又 a>0, x﹣2a+2(a>0)在[0,1]上是增函数, x﹣2a+2(a>0)知, x≤ , ≤cos x≤1,又 a>0,
10

∴﹣a≤﹣acos ∴2﹣3a≤﹣acos

x≤﹣ , x﹣2a+2≤2﹣ a.

不妨令 a=10,g(x)∈(﹣28,﹣23) ,而 f(x)的值域为[0, ], 显然 f(x)≠g(x) ,故④错. 故选 B. 点评: 本题考查复合三角函数的单调性,考查函数的值域,考查三角函数的诱导公式及综合应用,属于难题. 10. (4 分)若函数 f(x)=(x +mx+n) (1﹣x )的图象关于直线 x=2 对称,则 f(x)的最大值是( A. 16 B. 14 C. 15 D. 18 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 根据对称性求出 a,b,利用导数研究函数的最值即可. 解答: 2 2 解:∵f(x)=(x +mx+n) (1﹣x )的图象关于直线 x=2 对称, ∴f(1)=f(3) ,f(﹣1)=f(5) ,
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2

2




2

,解得 a=﹣8,b=15,
2 4 3 2

即 f(x)=(x ﹣8x+15) (1﹣x )=x +8x ﹣14x ﹣8x+15, 3 2 2 则 f′(x)=﹣4x +24x ﹣28x﹣8=﹣4(x﹣2) (x ﹣4x﹣1) , 由 f′(x)=0,解得 x=2 或 x=2+ 或 x=2﹣ , 由 f′(x)>0,解得 2<x<2+ 或 x<2﹣ ,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0,解得 2﹣ <x<2 或 x>2+ ,此时函数单调递减, 作出对应的函数图象如图: 则当 x=2+ 或 2+ 时,函数 f(x)取得极大值同时也是最大值 则 f(2+ )=16, 故选:A.

11

点评: 本题主要考查函数最值的区间,根 据对称性求出 a,b 的值,利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识, 综合性较强,难度较大 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. (4 分)求值: +(﹣ ) +
0

+

= ﹣6 .

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂与对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式=﹣8+1+lg2+lg5 =﹣7+1 =﹣6. 点评: 本题考查了指数幂与对数的运算法则,属于基础题.
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12. (4 分)函数 f(x)=lg(x+2)+

的定义域为_ (﹣2,1] .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数式的真数大于 0,且根式内部的代数式大于等于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合得答案. 解答:
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12

解:由

,解得:﹣2<x≤1. 的定义域为(﹣2,1].

∴函数 f(x)=lg(x+2)+

故答案为: (﹣2,1]. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题.
2

13. (4 分)已知弧长为 πcm 的弧所对的圆心角为

,则这条弧所在的扇形面积为 2π cm .

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 根据弧长公式求出对应的半径,然后根据扇形的面积公式求面积即可. 解答:
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解:∵弧长为 πcm 的弧所对的圆心角为 ∴半径 r= ,



∴这条弧所在的扇形面积为 S=

cm .

2

故答案为:2π 点评: 本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式,要求熟练掌握相应的公式,比较基础.

14. (4 分)已知 α 是第二象限角,sinα= ,则 cos(π﹣α)=



考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 为第二象限角,以及 sinα 的值,求出 cosα 的值,原式利用诱导公式化简后将 cosα 的值代入计算即可求出值. 解答:
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解:∵α 是第二象限角,sinα= , ∴cosα=﹣ 则原式=﹣cosα= 故答案为: 点评:
13

=﹣ . .



此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

15. (4 分) 已知偶函数 f (x) 在 (﹣∞, 0]上满足: 当 x1, x2∈ (﹣∞, 0]且 x1≠x2 时, 总有 则不等式 f(x﹣1)<f(x)的解集为 {x|x> } .



考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 2 偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上单调递 增,直接构造函数 f(x)=x ,问题转化 2 2 为解不等式(x﹣1) <x ,解出即可. 解答: 解:依题意:偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上单调递减, 所以 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 2 直接构造函数 f(x)=x ,
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问题转化为解不等式(x﹣1) <x ,解之得: 所以不等式 f(x﹣1)<f(x)的解集为

2

2

, .

另解:依题意:偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 由于 f(x﹣1)<f(x) ,即 所以不等式 f(x﹣1)<f(x)的解集为 故答案为:{x|x> }. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查构造新函数问题,是一道中档题.
2



16. (4 分)函数 y=sin x+2cosx 在区间[﹣

,θ]上的最小值 为﹣ ,则 θ 的取值范围是



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析:
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依题意知,y=sin x+2cosx=﹣cos x+2cosx+1,设 t=cosx,有 y=﹣t +2t+1=﹣(t﹣1) +2,令﹣(t﹣1) +2=﹣ , 解得 t=﹣ 或 t= ,而 cosx≤1,可求得 x= +2kπ 或﹣ +2kπ(k∈Z) ,在坐标系中画出函数 y=cosx 的图象后,

2

2

2

2

2

数形结合即可求得 θ 的取值范围. 解答: 2 2 解:由题意知,y=sin x+2cosx=﹣cos x+2cosx+1,设 t=cosx,

14

则函数 y=﹣t +2t+1=﹣(t﹣1) +2,令﹣(t﹣1) +2=﹣ ,解得 t=﹣ 或 t= , ∵cosx≤1, ∴t=﹣ ,即 cosx=﹣ ,x= +2kπ 或﹣ +2kπ(k∈Z) ,

2

2

2

在坐标系中画出函数 y=cosx 的图象:

由图和 x∈[﹣ 故答案为:

,θ]知,θ∈ .

时,函数的最小值为﹣ ,

点评: 本题考查三角函数的最值,着重考查二次函数的单调性质及余弦函数的图象与性质,考查分析、解答问题的能力, 属于中档题. 17. (4 分)若任意的实数 a≤﹣1,恒有 a?2 ﹣b﹣3a≥0 成立,则实数 b 的取值范围为 (﹣∞,1] . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: b b x 设 f(a)=a(2 ﹣3)﹣b,由题意可得,2 ﹣3<0,且 f(﹣1)≥0 恒成立,再由 g(x)=x+2 在 R 上递增,且 g(1) =3,解不等式求交集即可. 解答: b 解:设 f(a)=a(2 ﹣3)﹣b, b 由于任意的实数 a≤﹣1,恒有 a?2 ﹣b﹣3a≥0 成立, b 则 2 ﹣3<0,且 f(﹣1)≥0 恒成立, b 则有 b<log23,且 3﹣b﹣2 ≥0, b x 由 b+2 ≤3,又 g(x)=x+2 在 R 上递增,且 g(1)=3, 则 g(b)≤g(1) ,解得 b≤1. 又 b<log23,则有 b≤1. 故答案为: (﹣∞,1]. 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查构造函数运用单调性解题,考查不等式的解法,考查运算能力,属于中档题和易错 题.
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b

三、解答题:共 4 大题,共 52 分.解答应 写出文字说明,证明过程或演算过程. 2 2 18. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣8x+15=0},B={x|x ﹣ax﹣b=0},
15

(1)若 A∪B={2,3,5},A∩B={3},求 a,b 的值; (2)若 ??B?A,求实数 a,b 的值. 考点: 集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)先求出 A={3,5},根据交集、并集的定义即可得出 a,b; (2)根据??B?A 即可得到 B={3},或{5},根据韦达定 理便可求出 a,b. 解答: 解: (1)A={3,5}; 若 A∪B={2,3,5},A∩B={3},则: B={2,3};
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∴a=5,b=﹣6; (2)若??B?A,则: B={3},或 B={5}; ∴ ∴ ,或 ,或 . ;

点评: 并集与交集的定义,描述法与列举法表示集合,以及空集、真子集的概念.

19. (12 分) (1)已知 tanθ=2,求 (2)已知﹣ <x< ,sinx+cosx= ,求 tanx 的值.

的值;

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系变形,把 tanθ 的值代入计算即可求出值; (2)把已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出 2sinxcosx 的值,再利用完全平 方公式及同角三角函数间基本关系求出 sinx﹣cosx 的值,与已知等式联立求出 sinx 与 cosx 的值,即可求出 tanx 的 值. 解答: 解: (1)∵tanθ=2,
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∴原式= (2)∵sinx+cosx= , ∴(sinx+cosx) =
2

=

=﹣1;

,即 2sinxcosx=﹣

<0,

16

∵﹣

<x<

,∴sinx<0,cosx>0,
2

∴(sinx﹣cosx) =1﹣2sinxcosx= ∴sinx﹣cosx=﹣ , ∴sinx=﹣ ,cosx= , ∴tanx=﹣ .



点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. ) (A>0,w>0)的最小正周期为 π,且 x∈[0, ]时,f(x)的最大

20. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+

值为 4, (1)求 A 的值; (2)求函数 f(x)在[﹣π,0]上的单调递增区间. 考点 : 正弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:

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(1)由周期公式可先求 w,得解析式 f(x)=Asin(2x+ 值. (2)由(1)得 f(x)=4sin(2x+ ) ,由﹣ +2kπ≤2x+

) ,由 x∈[0,

],可得

≤2x+



,即可求 A 的



+2kπ,解得﹣

+kπ≤x≤

+kπ,又由 x∈[﹣π,0],

即可求函数 f(x)在[﹣π,0]上的单调递增区间. 解答: 解: (1)由 T=π= ∴w=2, ∴f(x)=Asin(2x+ ∵x∈[0, ∴ ≤2x+ ], ≤ , ) , ,

∴sin(2x+

)∈[﹣ ,1],

∴fmax(x)=A=4…(7 分) (2)由(1)得 f(x)=4sin(2x+ ∵﹣ ∴﹣ +2kπ≤2x+ +kπ≤x≤ ≤ +kπ,
17

) ,

+2kπ,

又∵x∈[﹣π,0], 故 f(x)的增区间是 …(12 分)

(其他方法请酌情给分) 点评: 本题主要考察了三角函数的周期性及其求法,正弦函数的周期性,单调性,属于基础题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=x+1. (1)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥λg(x)恒成立,求实数 λ 的取值范围; (2)求函数 h(x)=|f(x)|+λ|g(x)|在区间 x∈[﹣2,0]上的最大值. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析:
2

版权所有

(1)当 x∈R 时,不等式 f(x)≥λg(x)恒成立,可得△ =λ +4λ+4≤0,即可求实数 λ 的取值范围; (2)分类讨论,利用配方法,即可求函数 h(x)=|f(x)|+λ|g(x)|在区间 x∈[﹣2,0]上的最大值. 解答: 2 解: (1)∵x ﹣1≥λ(x+1) ,x∈R 恒成立, 2 ∴x ﹣λx﹣λ﹣1≥0,x∈R 恒成立, 2 ∴△=λ +4λ+4≤0,∴λ=﹣2…(5 分) (2)∵

2

①当﹣2≤x≤﹣1 时,



(ⅰ)当 λ≤﹣3 时,hmax=h(﹣1)=0; (ⅱ)当 λ>﹣3 时,hmax=h(﹣2)=λ+3; ②当﹣1<x≤0 时, ,

(ⅰ)当 λ≤﹣2 时,h(x)<h(﹣1)=0; (ⅱ)当 λ≥0 时,hmax=h(0)=λ+1; (ⅲ)当﹣2<λ<0 时, ,

综上:①当 λ≤﹣3 时,hmax=0;②当 λ>﹣3 时,hmax=λ+3.…(9 分) 点评: 本题考查恒成立问题,考查函数在区间 x∈[﹣2,0]上的最大值,考查配方法,属于中档题.

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