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高中数学选修2-1第二章椭圆的定义及标准方程02.2.1LW


星系中的椭圆

——仙女座星系

2007年10月24日18时05分,嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中 心顺利发射,2010年10月1日下午18时59分57秒,中国探月二期工 程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空,准确入轨,赴月球拍摄月 球表面影象、获取极区表面数据,为嫦娥三号在月球软着陆做准备。 标志着我国航天事业又上了一个新台阶。

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生 活 中 的 椭 圆

北宋 汝窑天青无文

相框

椭圆水仙盆

生 活 中 的 椭 圆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

一、合作探究,形成概念: 1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定 在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是 一个什么图形?笔尖(动点)满足什么几何 条件?

2.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别 固定在图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的又是什么图形?这一过程 中,笔尖(动点)满足什么几何条件?

椭圆的定义:
我们把平面内到两个定点 F1,F2 的距离 之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点

的距离叫做焦距。

思考:当点M到F1、F2的距离之和不 大于|F1F2|时,点M的轨迹是什么?
结论: 若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是( 椭圆) 若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是(线段F1F2 ) 若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹(不存在 )

椭圆的定义:(与圆类比)
椭圆

P F1 F2

圆:
圆的定义:

P
O

椭圆的定义:

平面内与一个定点的距离 等于常数(大于0)的点的 轨迹叫作圆,这个定点叫做 圆的圆心,定长叫做圆的半 径

平面内与两个定点 F1 , F2 的距 离和等于常数(大于 F F )的点的轨迹叫作椭圆, 1 2 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 .

椭圆的方程的推导
独立思考轨迹方程的一般步骤,并按其方法及提示独立 逐步求椭圆的一般方程。 y 以经过椭圆焦点 F1,F2 的直 建 线为 x 轴,线段F1F2的中垂线为y 轴,建立直角坐标系xoy。

x

o



设 M(x,y)是椭圆上任一点,

设椭圆的焦距为 2c,点M与两焦点 的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)

现(限)
由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)




( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

移项,得

( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

平方化简,得

a ? cx ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

再平方化简,得

2 2 2 两边同时除以 a a ? c ,得

a2 ? c2 ? x2 ? a2 y 2 ? a2 ? a2 ? c2 ? ?

?

?

x y ? 2 2 ?1 2 a a ?c

2

2

椭圆方程的建立—— 步骤一:建立直角坐标系

步骤二:设动点坐标 步骤三:限制条件,列等式 步骤四:代入坐标 步骤五:化简方程

y

观察左图, 你们能从中找 出表示c 、 a 的线段吗?
a c

b

x

a2-c2 有什么几何意义?

o

令 | OP |? a ? c ? b
2 2

x y 则方程可化为 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

2

2

说明:
x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
2 2

y

O

x

①此方程表示的椭圆的焦点在 x 轴上; ②可以证明“以满足方程的解为坐标的点 都在椭圆上”; ③不同的建系方式,求出的椭圆方程是不 同的.

设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点, y 则有F1(0,-c),F2(0,c),
又由椭圆 的定义可得:
F2 M

|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式,可知:
焦点在 Y轴

o
2 2

x

( y ? c ) ? x ? ( y ? c ) ? x ? 2a y2 x2 y 2 x2 ? 2 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a2 a ? c a b
2 2

F1

焦点在 X轴

(x ? c)2 ? y 2 ? (x ? c)2 ? y 2 ? 2a
x2 y2 x2 y 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a2 a ? c a b

(请大家比较一下上面两式的不同,独立思考后回答 椭圆的标准方程。)

?焦点在x轴上的标准方程:

X型

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b
?焦点在y轴上的标准方程: y型

2

2

?b

2

? a ?c
2

2

?

y x ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

2

2

b2 ? a 2 ? c2 ? ?

如果已知椭圆的标准方程,如何确定焦点在哪条坐 标轴上?
(1)焦点在x轴的椭圆,x2项分母较大. (2)焦点在y轴的椭圆,y2 项分母较大.

焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x


标 准 方 程 焦 点 坐 标



y 2 x2 x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

2.椭圆的标准方程 y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

方 程




y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; (4)a、b、c都有特定的意义,
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
有关系式 a 2 ? b 2 ? c 2成立。

x2 y2 ? ?1 2 2 a b

练习:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆 焦点在那个轴上?(独立思考后回答)
x y (1) ? ?1 16 16 2 2 x y (2) ? ?1 25 16
2 2

(3)9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

(4) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

x2 y2 (5) 2 ? 2 ? 1, ( m ? 0) m m ?1

三、迁移应用,能力提高 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 例1、填空:(独立思考后回答) 焦点在分母大的那个轴上。

x y (1)已知椭圆的方程为: ? ? 1,则 4 5 5 a=_____,b=_______,c=_______, 1 2
焦点坐标为: (0,-1)、(0,1) ,焦距

2

2

F2

F1

2 等于_____;
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3,则

2 5 ?3 点P到另一个焦点F2的距离等于_________, 2 5?2 则?F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a

x (2)已知椭圆的方程为: 25 16 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 为:____________焦距等于______;若CD为过 6
左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: y2 ? ?焦点在分母大的那个轴上。 1 ,则

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D (3)a=5,c=4的椭圆标准方程是 F2

y x x y ? ?1 ? ? 1或 25 9 。 25 9

2

2

2

2

课堂小结:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2的距离之 和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 即

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程

焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x


标 准 方 程 焦 点 坐 标



y 2 x2 x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

作业布置


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