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高二期末考试模拟测试卷


高二期末考试模拟测试卷

数学
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.将正确答案填入答题纸的相应横 ....... 线上) .. 1、“若 a>b,则 2 ? 2 ”的逆否命题为
a b

.

[来

2、与 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,

且过点 P(1,?1) 的直线方程是

3、双曲线

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12

4、在空间四边形 ABCD 中, AC 和 BD 为对角线, G 为 ?ABC 的重心, E 是 BD 上一点,

??? ? ??? ???? ???? ? BE ? 3ED ,以 AB, AC , AD 为基底,则 GE ?

?

?

5、焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是



2 6、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围





7、已知两圆相交于两点 (1,3)和(m,1) ,且两圆的圆心都在直线 x ? y ? 的值是 8、下列命题正确的序号是 .. ①若 l ? m, l ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; ③若 ? ? ? , ? // ? , 则? ? ? ;

c ? 0 上,则 m ? c 2

.(其中 l , m 表示直线, ? , ? , ? 表示平面) ②若 l ? m, l ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; ④若 l // m, l ? ? , m ? ? , 则? ? ? .

9、已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方 程为________________. 10、设圆 x2 ? y 2 ? 1 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、B,则线段 AB 长度的最小值 为 11、设命题 p:|4x-3|≤1;命题:q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而 不充分条件,则实数 a 的取值范围是 . 12、A、B 是双曲线 C 的两个顶点,直线 l 与实轴垂直,与双曲线 C 交于 P、Q 两点,若

PB ? AQ ? 0 ,则双曲线 C 的离心率 e=
13、设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点, 与抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比
2

S?BCF = S?ACF

y 14、已知动点 A、B 分别在图中抛物线 y 2 ? 4 x 及椭圆
A B

x2 y2 ? ? 1 的实线上运动,若 AB ∥ x 轴,点 N 的坐标 4 3
为(1,0),则三角形 ABN 的周长 l 的取值范围是 二.解答题(本大题计 80 分) 15、(本题满分 14 分) 设 p :方程 .

O

N

x

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线; 1 ? 2m m ? 2

设 q :直线 mx ? y ? 1 ? 0 与连结 A(2,3), B(?3,2) 两点的线段 AB 相交, 求使“ p, q ”中有且只有一个真命题的实数 m 的取值范围.

16、(本题满分 14 分) 如 图 , 矩 形 ABCD 中 , AD ? 平面ABE, AE ? EB ? BC ? 4 ,F 为 CE 上 一 点 , 且

BF ? 平面ACE, AC ? BD ? G
(1) 求证: AE ? 平面BCE ; (2) 求证: AE // 平面BFD ; (3) 求三棱锥 C ? BGF 的体积。

D C F B E

G A

17、本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?ABC ?

?
4

, OA ? 底面

ABCD , OA ? 2 ,
(Ⅰ )求平面 OAB 与平面 OCD 所成的二面角的余弦值. (Ⅱ )在 OA 上是否存在 M 点,使异面直线 AB 与 MD 所 成角是 60 ,若存在,求出 M 点的位置,若不存在,说明 理由。 A B C D
0

O

M

18.(本题满分 15 分) 如图所示,l1、l2 是通过城市开发区中心 O 的两条南北和东西走向的街道,连接 M 、N 两地 之间的铁路线是圆心在 l2 上的一段圆弧.若点 M 在点 O 正北方向,且 MO ? 3km ,点 N 到

l1、l2 的距离分别为 4km,5km.
(1)建立适当的坐标系,求铁路线所在圆弧的方程. (2)若该城市的某中学拟在点 O 正东方向选址建分校,考虑环境问题,要求校址到点 O 的距离大于 4km ,并且铁路上任意一点到校址的距离不能少于 26km ,求改校址距 点 O 的最近距离.(校址视为一个点)
l1

N

M

O

l2

19、在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线 l : x ? ?1 ,点 P 在直线 l 上移动, R 是 线段 PF 与 y 轴的交点,

RQ ? FP, PQ ? l .

y P R o F 1 x Q

(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹的方程; (Ⅱ) 记 Q 的轨迹的方程为 E ,过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的 弦 AB 、 CD ,设 AB 、 CD 的中点分别为 M,N .求证:直 线 MN 必过定点.

-1

20、已知椭圆的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为 的动点,以 M 为圆心, MF2 为半径作圆 M。

1 3 且经过点 P (1, ) .M 为椭圆上 2 2

(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若圆 M 与 y 轴有两个交点,求点 M 横坐标的取值范围; (3) 是否存在定圆 N,使得圆 N 与圆 M 相切?若存在。求出圆 N 的方程;若不存在, 说明理由。

模拟试题参考答案 1、 2 ? 2 , a≤b 若 则
a b

3 2、 x ? 2 y ? 5 ? 0

3、2 3

GE ? 4、

??? ?

? 3 ???? 1 ??? 1 ???? AD ? AB ? AC 4 12 3

5、y2=16 x 或 x2=-8y 6、 (0,1) .7、3

8、①、③、④

9、(x-2)2+(y+2)2=1.

10、2

11、 ?0, ? 2

? 1? ? ?

12、 2

13、

4 5

14、 ?

? 10 ? ,4 ? ?3 ?

15、解:命题 P:∵ 方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,∴(1 ? 2m)(m ? 2) ? 0 , 1 ? 2m m ? 2 1 即 m ? ?2 或 m ? 。 2 命题 q:直线 mx ? y ? 1 ? 0 与连结 A(2,3), B(?3,2) 两点的线段 AB 相交, m ? ?2或m ? 1 1 当 P 真 q 假时: ? m ? 1 2 m ? ?2 当 p 假 q 真时: 1 ?m 的取值范围为 ? m ? 1 或. m ? ?2 、 2 16、)证明? AD // BC, AD ? 平面ABE,? BC ? 平面ABE (1

, 又AE ? 平面ABE ? AE ? BC, 又因为BF ? 平面ACE,? BF ? AE, BF ? BE ? B,? AE ? 平面BCE (2)证明:连接FG,因为BF ? 平面ACE, 所以BF ? CE , 又因为EB ? BC, 所以CF ? FE 在矩形ABCD中,AC ? BD ? G,? CG ? GA,? GF // AE, BF ? 平面BFD, AE ? 平面BFD, ? AE // 平面BFD
(3)连接 FG,可证三棱锥 C ? BGF 中, 与底面 BGF 垂直, 与 BF 垂直, CF FG 易求 VC ?BGF ? 17、解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系, 则

8 3

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,


2 2 2 , 0), D( ? , , 0) , O(0,0, 2), M (0,0,1) …………………2 2 2 2

???? 2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) , 2 2 2 ? ∴ 设平面 OCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,
(Ⅰ)∵OP ? (0,

??? ?

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? ??? ? ?? ???? ? 则 n1 ? , OP ? 0, n1 ? ? 0 ,即 ? 2 OD 2 2 ?? ? 2 x ? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 取 z ? 2 ,解得 n1 ? (0,4, 2) . ?? ? 易知 平面 OAB 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0)
x B

z O M

A C

D P y

? ?? ? ? ?? ? n1.n2 2 2 cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? . 3 n1 n 2
由图形知,平面 OAB 与平面 OCD 所成的二面角的余弦值为 (2)设 M(0,0,z), MD ? (?

2 2 3

2, 2 , ,? z ) 2 2 ??? ? ???? ? 2 2 0 设 AB 与 MD 所成的角为 60 ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) , 2 2 ??? ???? ? ? AB?MD 1 1 ? , z? ∴cos? ? ??? ???? ? ,∴? ? ? ? 2 3 AB ? MD 2

∴ 当 M 是 OA 中点时, AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

1 , 2 又线段 MN 的中点为 (2, 4) , 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 4 ? ?2( x ? 2) , y ? 0 令
【解】 分别以 l1、l2 为 y 轴和 x 轴建立坐标系, (1) 由已知得 M (0,3), N (4,5) , kMN ? 故 18、 得 x ? 4 ,故圆心 A 的坐标为 (4, 0) ,半径 r ? (4 ? 0)2 ? (0 ? 3)2 ? 5 ,因此所求的圆 A 的方 程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 25 ,故有所求圆弧的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 25 (0 ? x ? 4, y ? 3) . (2)设校址选在 B(a, 0)(a ? 4) ,则 ( x ? a)2 ? y 2 ? 26 对 0 ? x ? 4 恒成立, 即 ( x ? a)2 ? 25 ? ( x ? 4)2 ? 26 对 0 ? x ? 4 恒成立,整理得 (8 ? 2a) x ? a2 ? 17 ? 0 对 0 ? x ? 4 恒成立,令 f ( x) ? (8 ? 2a) x ? a2 ? 17 ,由 a ? 4 可得 8 ? 2 a ? 0 ,所以 f ( x) 在区 间 ?0,4? 上为减函数,要使得 (8 ? 2a) x ? a2 ? 17 ? 0 ,当且仅当 a ? 4 和 f (4) ? 0 , 即 a ? 4 和 (8 ? 2a)4 ? a2 ? 17 ? 0 ,解之得 a ? 5 ,即校址应选在距 O 点最近 5km 的地方。 19、解:(Ⅰ)依题意知,直线 l 的方程为: x ? ?1 .点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线.…………………….2 分 ∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ ? QF .…………4 分 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其方程为:

y P R -1 o F 1 x Q

y 2 ? 4x( x ? 0) .…………………………………………………….7 分
(Ⅱ) 设 A?x A , y A ?, B?x B , y B ? ,M ?xM , y M ? N ?x N , y N ? , 直线 AB 的方程 , 为 y ? k ( x ? 1) …………………………………………………….8 分 则?

? y A ? 4x A ?
2 2

(1) (2)

? y B ? 4xB ?

4 2 ,即 y M ? ,……………………………………9 分 k k 2 代入方程 y ? k ( x ? 1) ,解得 x M ? 2 ? 1 . k 2 2 所以点M的坐标为 ( 2 ? 1 , ) .……………………………………10 分 k k 同理可得: N 的坐标为 (2k 2 ? 1, ? 2k ) . y ? yN k 直线 MN 的斜率为 k MN ? M ,方程为 ? xM ? x N 1 ? k 2 k y ? 2k ? ( x ? 2k 2 ? 1) ,整理得 y(1 ? k 2 ) ? k ( x ? 3) ,………………12 分 2 1? k 显然,不论 k 为何值, (3 , 0) 均满足方程,
(1)—(2)得 y A ? y B ? 所以直线 MN 恒过定点 R (3 , 0) .………………14

c 1 ? ,? a ? 2c , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 a 2 x2 y2 则椭圆的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 4c 3c 9 3 1 又因为过点 P (1, ) ,? 2 ? 42 ? 1所以 c ? 1 2 4c 3c 2 2 x y 椭圆的标准方程为: ? ?1 4 3
20、解:(1)? e ? (2)设 M ( x0 , y0 ) 则半径 r ?

( x0 ? 1) 2 ? y0 ,圆心到 y 轴的距离 d ? x0
2 2

2 若圆 M 与 y 轴有两个交点,则有 r ? d ,即有 ( x0 ? 1) ? y 0 ? x0 ,化简得

2 y0 ? 2x0 ? 1 ? 0 , M 在 椭 圆 上 , ? y 0 ? 3 ?
2

3x0

2

3 2 x0 , 代 入 上 不 等 式 得 4 4 4 ? 8x0 ? 16 ? 0 解得: ? 4 ? x 0 ? ,? ?2 ? x0 ? 2 , ? ?2 ? x 0 ? 3 3

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