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高中数学(选修4-5)


数学选修 4-5
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是 A.

不等式选讲

[基础训练 A 组]

x y ? y x

B.

x2 ? 5 x2 ? 4
x y

C. tan ? ?

1 tan ?<

br />
D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是 A. 3 3 9 3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B 4.若 x, y, a ? R? ,且 x ? B. 1 ? 2 2 C. 6 D. 7

x? y x y , B? ,则 A, B 的大小关系是 ? 1? x ? y 1? x 1? y
B. A ? B C. A ? B D. A ? B

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是
B. 2 C. 1 D.

A.

2 2

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 6

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为

[?2,1) ? [4,7) A.
二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

(?2,1] ? (4,7] B.

(?2, ?1] ? [4,7) C.

(?2,1] ? [4,7) D.

1 的最小值是_____________. b( a ? b)
a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为_____________. b a a?m b?n

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

3.已知 x, y ? 0 ,且 x 2 ? y 2 ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________.

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________. 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 12 5.函数 f ( x) ? 3 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值为_____________. x
4.设 A ? 三、解答题 1.已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0
1

3.求证: a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

数学选修 4-5
一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2

不等式选讲

[综合训练 B 组]

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是 a?b b?c a?c B. 3 C. 4

D. 6

2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? A.最小值 1

x2 ? 2 x ? 2 有 2x ? 2
C.最大值 ?1 D.最小值 ?1

B.最大值 1

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是 A. P ? Q ? R B. P ? R ? Q
3 3 2 2

C. Q ? P ? R

D. Q ? R ? P

4.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是 A. (1, ??) B. (1, )

4 3

C. [1, ]

4 3

D. (0,1)

? 5.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有

1 a

1 b

1 c

A. 0 ? M ?

1 8

B.

1 ? M ?1 8

C. 1 ? M ? 8

D. M ? 8

6.若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ? A. M ? N 二、填空题

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
B. M ? N C. M ? N D. M ? N

1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________. x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为__________.
2 2 2

4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示 a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的 最大者,则 M 的最小值为__________. 5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 x
lg x

? ylg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。
2

三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

2.求证:

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2n ? 2(n ? 1) 4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? 1 ,求证: 1 ? a ? b ?

4 3

数学选修 4-5
一、选择题 1.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是

不等式选讲

[提高训练 C 组]

A.

33 2 2

B.

23 3 3

C.

3 2

3

D.

2 3

2

a b c d ? ? ? ,则下列判断中正确的是 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b A. 0 ? S ? 1 B. 1 ? S ? 2 C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4 1 16 x 3.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? ? 2 的最小值为 x x ?1 A. 16 B. 8 C. 4 D.非上述情况
2. a, b, c ? R ? ,设 S ? 4.设 b ? a ? 0 ,且 P ?

2 1 1 ? a 2 b2

,Q ?

2 1 1 ? a b

, M ? ab , N ?

a?b a 2 ? b2 ,R? ,则它们 2 2

的大小关系是 A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R 二、填空题 1.函数 y ? B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

3x ( x ? 0) 的值域是 x ? x ?1
2

. . .

2.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是 3.已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a ? 0 ,则 a ?

?

1 1 ? a 2 ? 2 的最大值为 a a
3

.

5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为 三、解答题 1.设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3 2.已知 a ? b ? c ? d ,求证:
3

.

2

2

2

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b ?c c ?a a ?d
3 3 2 2 2

3.已知 a, b, c ? R ? ,比较 a ? b ? c 与 a b ? b c ? c a 的大小。 4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。 5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x2 ? y 2 ? z 2 ? 24 ,求证:

4 4 4 ? x ? 3, ? y ? 3, ? z ? 3 3 3 3

[基础训练 A 组]参考答案
一、选择题 1.D ;? 2x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2x 2? x ? 2 2.D ; 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ?3 y ?1 ? 7 3. B ; B ?

x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y

4.B ;?

2 x2 ? y 2 x ? y 2 ( x ? y ) ,而 ? ,即 x2 ? y 2 ? ( x ? y) ,? x ? y ? 2 2 2 2

1 1 2 ,即a ? 2 x ? y ? a x ? y ,即 x ? y ? ( x ? y ) 恒成立,得 ? a a 2
5. A ; y ? x ? 4 ? x ? 6 ? x ? 4 ? 6 ? x ? 2 6. D ; ?

? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ??2 ? x ? 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] ? [4,7) 2 x ? 5 ? 3, 或 2 x ? 5 ? ? 3 x ? 4, 或 x ? 1 2 x ? 5 ? 3 ? ? ? ?

二、填空题 1. 3 ; (a ? b) ? b ?

1 1 ? 3 3 (a ? b) ? b ? ?3 b(a ? b) b(a ? b)

b b?m a?n a b b?m b b?n a a?n ? ? ? ? 1 ,且 ? ? 1 ,得 ? ?1, ;由糖水浓度不等式知 ? a a?m b?n b a a?m a a?n b b?n a?n a ? 即1 ? b?n b
2. 3. 2 ;

x? y ? 2

x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2
4

4. A ? 1 ; A ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ? 10 ? 10 ? 10 ? ?? ? 10 ? 1 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 1 ??????????? 2 2 2 2
210 个

5. 9 ; f ( x ) ? 3 x ?

12 3x 3x 12 3x 3x 12 ? ? ? 2 ? 33 ? ? ?9 2 x 2 2 x 2 2 x2

三、解答题 1.证:? a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 )

?3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1 ,? a 2 ? b 2 ? c 2 ?
另法一:? a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ) ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 3 3

1 1 ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (a ? c) 2 ] ? 0 ,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 3
另法二:?(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1 ,即 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 1,? a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 ,当 x ? 得 x ? 5?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

4 2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ;当 ?7 ? x ? 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3 2 3 2

得x??

1 2 1 2 4 ,即 ? ? ? ? x ? ;当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 2 4 2 4 3 1 2 2 2 ,与 x ? ?7 矛盾;所以,解为 ? ? ? x ? 5? 2 4 2 2
2 2

得 x ? 6?

2 2 3.证:?(a ? b ) ? (ab ? a ? b ?1) ? a ? b ? ab ? a ? b ? 1 ?

1 (2a 2 ? 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2

1 1 ? [(a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 2 ? 2b ? 1)] ? [(a ? b) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? 0 2 2

? a 2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1
4.证:?

1 1 1 1 ? ? ? 2( k ? k ? 1) ,? 2( k ? 1 ? k ) ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k k 1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

[综合训练 B 组]
5

参考答案

一、选择题

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b 1 1 4 ? ? ? ? 2? ? ? 4 ,? ? ? , a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c a ?b b?c a ?c 1 1 n ? ? 而 恒成立,得 n ? 4 a?b b?c a?c
1.C ;? 2. C ; y ?

( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

3.B ;? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;又

? 6 ? 3 ? 7 ? 2,? 6 ? 2 ? 7 ? 3 ,即 R ? Q ,所以 P ? R ? Q
4.B ; a ? ab ? b ? a ? b,(a ? b) ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?
2 2 2

( a ? b) 2 ,所以, 4

0 ? ( a ? b) 2 ? ( a ? b ) ?

4 ( a ? b) 2 ,得 1 ? a ? b ? 3 4

5. D ; M ? (

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) 8 ab bc ac ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ? ?8 a b c abc abc

6. A

? a ? b,?

a b a b ? b ? 2 a, ? a ? 2 b ,? ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 b a b a

a b ? ? b? a b a
二、填空题 1. 3 ? 2 3 ; y ? 3 ? 3 x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ymax ? 3 ? 2 3 x x
a b
a b b b

2. ? ;设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3 ? 4,6 ? 7 ,得 7 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 ? 3 ,即 3

a ?b

4 ? 2b ? ,显然 7

b ? 1, 2b ? 2 ,则 3a ?b ?

4 ? 2b ?1? a ? b ? 0 ? a ? b 7

3.

a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;?(1 ? 2 ? 3 )( x ? y ? z ) ? ( x ? 2 y ? 3z) ? a ,即 14( x ? y ? z ) ? a , 14
2 2 2

a2 ?x ? y ? z ? 14
4. 3 ; M ?

1 3 (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) ? (a ? b ? c ? d ) ? 3 ,即 M min ? 3 4 4
6

5. 12 ; lg( xlg x ? y lg y ? z lg z ) ? 1 ? lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? 1 ,而

lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? (lg x ? lg y ? lg z)2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? [lg( xyz)]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 ,得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时, lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 ,得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 , 或 x ? z ? 1, y ? 10 x ? y ? z ? 12 三、解答题 1. 解: ? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1,?( x ? 3 ? x ? 4 )min ? 1,当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? ,所以 a ? 1 2.证:? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c) ,?
2 2 2 2 2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c ) 2 ? 即 3 9

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3
1 2 n 1 n?1 n 3.证:? 2n ? (1 ?1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ? Cn ? 2(n ? 1) ,? 2n ? 2(n ? 1)(本题也可以

用数学归纳法) 4.证:? a ? b ? 1 ? c, ab ?
2

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c 2 ? c ,? a, b 是方程 x2 ? (1 ? c) x ? c2 ? c ? 0 的两个 2
2

1 ? c ? 1 ,而 (c ? a)(c ? b) ? c2 ? (a ? b)c ? ab ? 0 3 2 1 4 2 2 即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ? ,所以, ? ? c ? 0 ,即 1 ? a ? b ? 3 3 3
不等实根,则 ?? (1 ? c) ? 4(c ? c) ? 0 ,得 ?

[提高训练 C 组]参考答案
一、选择题 1.A ;由 log x y ? ?2 得 y ? 2. B ;

1 1 x x 1 x x 1 1 3 ,而 x ? y ? x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 3 3 ? 3 2 2 x x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d a b c ? ? ? ? ? ? a ?b?c b?c ?d c ?d ?a d ?a ?b a ?b?c?d b?c?d ?a c?d ?a?b d a?b?c?d a a c c b b ? ? ? 1 ,即 S ? 1 , ? ? ? , , , d ?a?b?c a?b?c?d a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d
7

d d a c c a b d d b ? ? ? ? ?1, ? ? ? ?1 , 得 d ?a?b d ?b a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a ?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以1 ? S ? 2 即 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 1 16 x 1 16 3. B ; y ? x ? ? 2 ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x ?1 x x? 1 x 4.A ; R 为平方平均数,它最大
二、填空题 1. [?3, 0) ; y ?

1 1 3x 3 ,? x ? 0,? x ? ? ?2, 得 x ? ? 1 ? ?1 ? x x x ? x ?1 x ? 1 ?1 x 1 3 ?1 ? ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? ?3 ? y ? 0 1 1 x ? ?1 x ? ?1 x x
2

2. 3 ; (1? a ?1? b ?1? c )2 ? (12 ?12 ?12 )(a ? b ? c) ? 3 3. ? ;构造单调函数 f ( x) ? (b ? c) x ? bc ? 1 ,则 f (1) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,

f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立,所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1
4. 2 ? 2 ;设 a ?
2

1 1 1 ? t (t ? 2) ,则 a 2 ? 2 ? t 2 ,即 a ? ? t 2 ? 2 ,再令 2 a a a

y ?a?
得t ?

1 1 t ? 1 ? 0 ,即 t ?[ 2, ??) 时, y 是 t 的减函数, ? a 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t (t ? 2) , y ' ? 2 a a t ?2
2 时, ymax ? 2 ? 2

5. 2 ; ( x ? y)( y ? z) ? xy ? y 2 ? yz ? zx ? y( x ? y ? z) ? zx ? 2 y(x ? y ? z )zx ? 2 三、解答题 1.证:? a, b, c ? R ,
2 2
?

2 2 2 a b a b ? ? 1 ,? 0 ? ? 1, 0 ? ? 1, a 3 , b 3 , c 3 ? 0 c c c c

a3 ? b3
2

c3

2 2 2 a 2 b 2 a b a ?b ? ( )3 ? ( )3 ? ? ? ? 1,? a 3 ? b 3 ? c 3 c c c c c

2.证:? a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0 ? (

1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? a ?b b?c c ?a

(

1 1 1 1 1 1 ? ? )[(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] ? 3 3 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a
8

?

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d
3 3 3 2 2 2

3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b2 , c 2 ,显然 a ? b ? c 是同序和, a b ? b c ? c a 是乱序和,所以

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2b ? b 2 c ? c 2 a
4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0 , y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5) 2 ? ( 6 ? x ) 2 ? 5 , ymax ? 5

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? z 2 ? 8z ? 20 ,? x, y 是方程 5.证:显然 x ? y ? 8 ? z , xy ? 2
4 4 4 t 2 ? (8 ? z) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,由 ?? 0 得 ? z ? 4 ,同理可得 ? y ? 4 , ? x ? 4 3 3 3

9


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