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新课标高考数学必背60个公式结论


新课标高考数学必备丛书
规律·技巧·快速·制胜

主编:邹云
版权所有·翻版必究

高考数学 60 个必背公式
1. n 元集合有 2 个子集,有 2 ? 1 个真子集, 2 ? 1 个非空子集, 2 ? 2 个非空真子集;
n n n n

2.集合间的包含关系: A ? B ?

A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ; 3.指对数运算规律: (1)指数与对数互换标准: loga N ? b ? ab ? N (2)对数的换底公式: log a N ?

n log m N n ( log a m b ? log a b ) m log m a

(3)对数运算法则:loga (MN ) ? loga M ? loga N ;log a 4.奇偶性:

M ? log a M ? log a N ;loga M n ? n loga M N

(1) f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x ) 是奇函数 ? f ( x ) 的图像关于原点对称 ? f (0) ? 0 (若在 x ? 0 有定义) (2) f (? x) ? f ( x) ? f ( x ) 是奇函数 ? f ( x ) 的图像关于 y 轴对称; (3)奇函数 ? 奇函数 ? 奇函数;偶函数 ? 偶函数 ? 偶函数 奇函数 ? 奇函数 ? 偶函数 ? 偶函数 ? 偶函数;奇函数 ? 偶函数 ? 奇函数 5.单调性:设 x1 , x2 ?[a, b] ,且 x1 ? x2 ,那么: (1) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? (2) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数; x1 ? x2

(3)如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数。 (4)增函数 ? 增函数 ? 增函数;减函数 ? 减函数 ? 减函数; 增函数 ? 减函数 ? 增函数;减函数 ? 增函数 ? 减函数; 6.对称性: (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 7.周期性:

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

认真,可以把事情做对

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用心,才能把事情做好

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规律·技巧·快速·制胜 (1) f ( x) ? ? f ( x ? a) 或 f ( x) ?

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1 ? f ( x) 是 T ? 2 a 的周期函数; f ( x ? a)

(2) f ( x) ? f ( x ? a) ? b 或 f ( x) ? f ( x ? a) ? b ( b ? 0 ) ? f ( x ) 是 T ? 2 a 的周期函数; 8.常见函数的导函数: (1) C ? ? 0 ( C 为常数)(2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) ; ; (3) (sin x)? ? cos x ; (4) (cosx)? ? ? sin x ; (5) (ln x )? ?

1 1 e x ; (log a )? ? log a ; (6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a ; x x

9.曲线的切线方程:函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率为

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
10.角度制与弧度制互化标准:360 ? 2? rad ,180 ? ? rad ,1 ? 0.01745rad ,1rad ? 57.3 ? 57 18
? ? ? ? ? '

11.扇形面积公式: S 扇 =

1 rl (其中 r 为半径, l 为扇形的弧长) 2
2 2

12.同角三角函数基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ; (2)商数关系: 13.诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)

sin ? ? tan ? ; cos ?

n n ? ? , n? n? ?(?1) 2 sin ? , ( n为偶数) ?(?1) 2 co s ?(n为偶数) sin( ? ? ) ? ? ??) ? ? , cos( n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ?(n为奇数) ?(?1) 2 sin ?(n为奇数) , , ? ?

14.两角和与差的正余弦,正切公式:

?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? ? ?tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ?tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ?
15.倍角公式:

( ) ?s i n? ? ? ? ? ( ) ?s i n? ? ? ?

s ?n i s ?n i

c? ? os c? ? os

? o s ?s i n c ? o s ?s i n c

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

t a n? ? 2

2t a n ?
2 1? t a n ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?
16.降幂公式:

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sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 2 , cos ? ? , sin ? cos ? ? sin 2? 2 2 2 b a

17.辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ,其中 tan ? ? 特别的,有: sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) , sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4 4

?

?

3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) , 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 6 6 sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) 3 3
18.三角函数的图像与性质:

? ?

? ?

y ? sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性

y ? cos x

y ? tan x

R

R

1 { x | x ? R 且 x ? k? ? ? } 2
R

[?1,1]
2?
奇函数

[?1,1]
2?
偶函数

?
奇函数

[2k? ?

?

, 2 k? ? ] 2 2
3? ] 2

?

[2k? ? ? , 2k? ]
上为增函数

( k? ?

?

, k? ? ) 上为增函数 2 2

?

上为增函数 单调性
[2k? ?

(k ?Z )

?
2

, 2 k? ?

[2k? , 2k? ? ? ]

上为减函数 ( k ? Z ) 上为减函数 ( k ? Z ) 对称轴: x ? k? ? 对称性

?
2

对称轴: x ? k? 对称中心: (k? ? (k ?Z )

无对称轴

对称中心: (k? , 0) (k ?Z )

?
2

, 0)

对称中心为 (

k? , 0) ( k ? Z ) 2

19.正弦定理:在 ?ABC 中,
2 2 2

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
b2 ? c2 ? a 2 2bc

20.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A , cos A ?

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac

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c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , cos C ?
21.三角形中的恒等式: (1) sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , (2)若 ?ABC 是锐角三角形,则 sin A ? cos B

a 2 ? b2 ? c 2 2ab

1 1 1 ah ? ab sin C ? (a ? b ? c)r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2 2 2 ? ? 23.平面向量的基本运算:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ;
22.面积公式: S ?ABC ? (1) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; a ? b ? x1x2 ? y1 y2 (2)若 a ∥ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ,若 a ? b ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

? ?
?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b (3) a ? b ? a b cos ? a, b ?? cos ? a, b ?? ? ? a b
24.平面向量的基本定理:已知 OP ? xOA ? yOB ,若 A 、 P 、 B 三点共线 ? x ? y ? 1 25.若 G 为 ?ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 ,且 G ( 26.等差数列及其性质: (1)通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d ; (2)前 n 项和: S n ?

??? ?

??? ?

??? ?
?

??? ??? ??? ? ? ?

x A ? xB ? xC y A ? yB ? yC , ) 3 3

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 2 2

(3)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ;特别地,若 m ? n ? 2t ,则 am ? an ? 2at ; (4) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等差数列,且公差为 n d ;
2

27.等比数列及其性质: (1)通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m ;

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? (2)前 n 项和: S n ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
2 (3)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地,若 m ? n ? 2t ,则 am ? an ? at ;

(4) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列,且公比为 q ;
n

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2 2 28.基本不等式: a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时等号成立)

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推广形式:

1 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? 2 2

29.常见几何体表面积公式: (1)圆柱: S ? 2? rl ? 2? r 2 (2)圆锥: S ? ? rl ? ? r 2 (3)圆台: S ? ? (r '2 ? r 2 ? r 'l ? rl ) (4)球: S ? 4? R2 30.常见几何体体积公式: (1)柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 为底面面积, h 为高)

1 Sh (其中 S 为底面面积, h 为高) 3 1 ' ' (3)台体的体积公式 V ? ( S ? SS ? S )h (其中 S ' , S 分别为上、下底面面积, h 为高) 3 4 3 (4)球的体积公式 V ? ? R (其中 R 为球半径) 3
(2)锥体的体积公式 V ? 31. (理科)空间向量中的夹角和距离公式: (1)空间中两点 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) 的距离 d AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

? ? ? ? ? ? l1 ? l2 (2)异面直线夹角: ? ? (0, ] ,且 cos ? ? ? ? ( l1 , l2 为异面直线的方向向量) ? 2 l1 ? l2

?

? ? ? ? l ?n (3)线面角: ? ? [0, ] ,且 sin ? ? ? ? ( l , n 为直线的方向向量与平面的法向量) 2 l?n

?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 (4)二面角: ? ?[0, ? ] ,且 cos ? ? ? ?? ?? ( n1 , n2 为两个半平面的法向量) ? n1 ? n2
??? ? ? PQ ? n ? (5)点 P 到平面 ? 距离: d ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, Q 为平面 ? 上任意一点) n

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规律·技巧·快速·制胜 32.直线的斜率: k ? tan ? ?

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y2 ? y1 ( ? 为直线的倾斜角, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 为直线上的两点) x2 ? x1

33.距离公式: (1)点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) 之间的距离: P P2 ? 1 1 2

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ;

(2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



(3)平行线间的距离: Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离: d ? 34.直线的位置关系:

| C1 ? C2 | A2 ? B 2



(1) y ? k1 x ? b1 与 y ? k2 x ? b2 ,①平行: k1 ? k2 , b1 ? b2 ;②垂直: k1 ? k2 ? ?1 ; (2) A x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,①平行: A B2 ? A2 B1 且 AC2 ? A2C1 , B1C2 ? C1B2 ; 1 1 1 ②垂直: k1 ? k2 ? ?1 ; 35.两条直线的夹角公式: tan ? ?

k1 ? k 2 (其中 k1 、 k2 为两条直线的斜率) 1 ? k1k 2

36.直线与圆的位置关系:判断圆心到直线的距离 d 与半径 R 的大小关系 (1)当 d ? R 时,直线和圆相交(有两个交点) ; (2)当 d ? R 时,直线和圆相切(有且仅有一个交点) ; (3)当 d ? R 时,直线和圆相离(无交点) ; 37.圆与圆的位置关系:判断圆心距 d 与两圆半径和 R1 ? R2 ,半径差 R1 ? R2 ( R1 ? R2 )的大小关系 (1)当 d ? R1 ? R2 时,两圆相离,有 4 条公切线; (2)当 d ? R1 ? R2 时,两圆外切,有 3 条公切线; (3)当 R1 ? R2 ? d ? R1 ? R2 时,两圆相交,有 2 条公切线; (4)当 d ? R1 ? R2 时,两圆内切,有 1 条公切线; (5)当 0 ? d ? R1 ? R2 时,两圆内含,没有公切线; 38.离心率: e ?

c (椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ) a

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b x2 y 2 x2 y 2 39.渐近线: 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线方程为 y ? ? x ,且与 2 ? 2 ? 1 具有相同渐近 a a b a b
线的双曲线方程可设为

x2 y2 ? ?? a 2 b2

40.倾斜角为 ? 的直线过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 且与抛物线交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点( y1 ? 0 )

p p , BF ? x2 ? , AB ? x1 ? x2 ? p ; 2 2 p p 2p (2) AF ? , BF ? , AB ? ; 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?
(1) AF ? x1 ? 41.焦点三角形的面积: (1)椭圆: S ?PF1F2 ? b ? tan
2

?
2

; (2)双曲线: S ?PF1F2 ?

b2 tan

?
2

( ?F PF2 ? ? ) 1

42.通径长: (1)椭圆: l ?

2b2 2b2 ; (2)双曲线: l ? ; (3)抛物线: l ? 2 p a a
2

43.直线被曲线所截得的弦长公式: AB ? 1 ? k

x2 ? x1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

44. (理科)分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . : 分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . :
m n 45. (理科)排列数公式: An ? n! ? 1? 2 ????????n ; An ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ??????(n ? m ? 1) ;

46. (理科)组合数公式: Cn ?
m

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ??????(n ? m ? 1) ? ( n , m ? N ,且 m ? n ) 1? 2 ? 3 ??????(m ? 1) ? m

0 1 2 r n 47. (理科)二项式定理: (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n ;

二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a
r

n ?r

1, b r (r ? 0,2?,n) .
k k n ?k

48.(理科) n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P (k ) ? Cn P (1 ? P) n

.

49.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1) P ? 0(i ? 1, 2,?) ; (2) P ? P ? ? ? 1 ; i 1 2 50.期望: E? ? x1P ? x2 P ? ? ? xn P ; E (a? ? b) ? aE (? ) ? b 1 2 n
2 51.方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ; D ? a? ? b ? ? a D?
2 2 2

标准差: ?? ?

D?
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规律·技巧·快速·制胜 52. (理科)二项分布:若 ? ~ B ( n, p ) ,则 E? ? np , D? ? np(1 ? p) ; 53.独立性检验: K 2 ?

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n(ad ? bc)2 (不要求记忆) (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d )

n n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? i ?1 ? i ?1n ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 54.回归直线方程: y (不要求记忆) 2 ? ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ? ?

55.相关系数: r ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(不要求记忆)
n 2 2 2 i ?1

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 i ?1

n

r ? 1 ,且 r 越接近于 1 ,相关程度越大; r 越接近于 0 ,相关程度越小.
56.散点图中,变量 y 随变量 x 的增大而减小时,称变量 y 与变量 x 为负相关;变量 y 随变量 x 的增大而 增大时,称变量 y 与变量 x 为正相关;散点图越集中于一条直线附近,相关性越强,反之则越弱。
? 1 57. (理科)正态分布:正态密度函数: f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

特征:正态分布有两个参数,即均数 ? 和标准差 ? ,可记作 N ( ? , ? ) :均数 ? 决定正态曲线的中心位置; 标准差 ? 决定正态曲线的瘦高或扁平程度; ? 越小,曲线越瘦高; ? 越大,曲线越扁平。 58.复数的基本概念: z ? a ? bi ( a , b ? R ) (1)实部: a ;虚部: b ; (2)模: z ? a ? bi ? 59.复数的四则运算: (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? 60.不等式选讲: (1)绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b ; | a ? c |?| a ? b | ? | b ? c | ; 认真,可以把事情做对

a 2 ? b2 ; (3)在复平面内对应的点为 ( a, b)

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) ; c2 ? d 2 c2 ? d 2

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2 2 2 2 2 2 (2)柯西不等式: ( x1 ? x2 ??????? xn )( y1 ? y2 ??????? yn ) ? ( x1 y1 ? x2 y2 ??????? xn yn )2 (等号当且仅当

x x1 x2 ? ? ?????? n 时成立) y1 y2 yn

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