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上海市2015届高考压轴卷数学(理)试题 Word版含答案


2015 上海高考压轴卷 理科数学 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.把答案填在答题卡的相应位置 1.已知 A={1,3,4},B={3,4,5},则 A∩B= 2.复数 z 满足 iz=3+4i(i 是虚数单位) ,则 z= 3.已知幂函数 的值为 4.已知 5.如 图 , 在 为 ,则 中, . 的值为 是 . 边上一点, ,则 的长 . . 上

是单调增函数,则

Z 为偶函数,且在区间

6.

围是__________________.

7.已知函数 的取值范围是

(其中 .

) 经过不等式组

所表示的平面区域, 则实数

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为____________.

9. 右图是一个算法的流程图,最后输出的 k=_____________.

10. 已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的球面上,底面 ABCD 是矩形,平 面 PAD⊥底面 ABCD,△PAD 为正三角形,AB=2A D=4,则球 O 的表面积为 ______________. 11.若曲线 线互相垂直,则实数 a 的值为 12.两曲线 13. 已知 F1、F2 为双曲线 与曲线 . 所围成的图形的面积是_________. 在 处的两条切

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点, 9 4

O 为坐标原点,下列四个命题: ①△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=3 上; ②△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=2 上; ③△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; ④△PF1F2 的内切圆必过(3,0). 其中真命题的序号是__________________. 14.给出如下五个结论: ①若 为钝角三角形,则 )使 为减函数而 的图象关于点 <0

②存在区间( ③函数

成中心对称



既有 最大、最小值,又是偶函数



最小正周期为 π .

其中正确结论的序号是

二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的

15. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S8=32,则 a2+a7=( A.1 B.4 C.8 D.9



16. 已知向量 a, b 的夹角为 则 | b | 的取值范围是( A. [ , ?? )

? ,|a |? 1 , 且对任意实数 x, 不等式 | a ? xb |?| a ? b | 恒成立, 3


1 2

B. ( , ?? )

1 2

C. [1, ??)

D. (1, ??)

17.已知

展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为 b,则

A.

B.

C.

D.

18.已知 ( ) A.

,若



上恒成立,则实数 的取值范围是

B.

C.

D.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内. 19.(本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 的菱形 中点, 5 的五棱锥 (1)求证: (2)求二面角 平面 ,沿 ,且 ; 的正切值. 中, 将△ . 翻折到△ ,点 , 分别是边 , 的

,连接

,得到如图

20.(15 分) (2015?嘉兴一模)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b∈R)满足条件:①当 x∈R 时,f(x)的最大值为 0,且 f(x﹣1)=f(3﹣x)成立;②二次函数 f(x)的图象与直线 y=﹣2 交于 A、B 两点,且|AB|=4 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求最小的实数 n(n<﹣1) ,使得存在实数 t,只要当 x∈时,就有 f(x+t)≥2x 成 立. 21.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 的底面为菱形, . (1)求证: (II)求二面角 ; 的余弦值.

2

22 已知直线 l:y=kx+1(k≠0)与椭圆 3x +y =a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与 y 轴的 交点为 C. (Ⅰ)若 k=1,且|AB|= (Ⅱ)若 =2 ,求实数 a 的值;

2

2

,求△AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

23.(本小题满分 12 分)

已知函数

( I)判断函数 g(x)的单调性;

(Ⅱ)是否存在实数 m,使得 求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

对任意 x≥1 恒成立,若存在,

2015 上海高考压轴卷数学理 word 版参考答案

1.{3,4} 解:∵A={1,3,4},B={3,4,5}, ∴则 A∩B={3,4} 2.4﹣3i

3.16

4.

5.

6.

7. [ 3 4, 4]

8.

9.11

10.

64? 3

11.

12.

13.①④

14.③ ④

15.c

16.C

17.A

18.D

19.( 1) 证 明 见 解 析 ; ( 2) 试题分析: (1)由

. , ,可证 平面 和平面 ,进而可证 平面

; (2)先建立空间直角坐标系,再计算平面

的法向量,进而可算出

二面角

的平面角的 余弦值,利用同角三角函数的基本关系,即可得二面角 的平面角的正弦值.

试题解析: (1)证明:∵点 ∴ ∥ .



分别是边



的中点, …………………………1 分

∵菱形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ . .

的对角线互相垂直,

, 平面 平面 平面 , . .

. 平面 ,

…………………………2 分 , …………………………3 分 …………………………4 分

(2)解法 1:设 ∵ ∴△ ∴ 在 R t△ 在△ ∴ , 为等边三角形. , 中, 中, . ,

,连接



, , ,

. ……5 分

…………………………6 分

∵ ∴ 过 作

, 平面 . ,垂足为 平面 . , 平面 平面 . 为二面角 中, 和 Rt△ ~Rt△ . . ,



平面



平面



…………………………7 分 ,连接 ,且 , 平面 ,

由(1)知 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在 Rt△ 在 Rt△ ∴Rt△

平面



平面



…………………………8 分

…………………………9 分 的平面角. , 中, , …………………………11 分 …………………………10 分



.



.

…………………………12 分

在 Rt△

中,

. ……………………13 分

∴二面角 解法 2:设 ∵ ∴△ ,

的正切值为 ,连接

. ,

…………………………14 分

为等边三角形.

∴ 在 R t△ 在△ ∴ ∵ ∴

, 中, 中, . , 平面



, , ,

.………………………5 分

…………………………6 分 , . 平面 , 平面 ,

…………………………7 分



为原点,

所在直线为 轴, ,则 .…………8 分

所在直 线为 ,

轴, ,

所在直线为 轴,建立空 ,

间直角坐标系

∴ 设平面

, 的法向量为 ,

.

由 令 ∴平面

, ,得 ,

,得 . .

……9 分

的一个法向量为 的一个法向量为 的平面角为 ,

…………………………10 分 , ……………………11 分

由(1)知平面 设二面角



.……………… ………12 分





.………………………13 分

∴二面角

的正切值为

.

…………………………14 分

考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间向量及坐标运算;4、同角三角函数的基本关系. 20.【考点】 : 二次函数的性质;函数恒成立问题. 【专题】 : 函数的性质及应用.

【分析】 :(Ⅰ) 根据题意可假设 f (x) =a (x﹣1). (a<0) , 令a (x﹣1)=﹣2, x=1 求解即可得出解析式. (Ⅱ)利用不等式解得﹣t﹣1 立,转化为令 g(t)=﹣t﹣1﹣2 ≤x

2

2



,又 f(x+t)≥2x 在 x∈时恒成 单调递减,

,易知 g(t)=﹣t﹣1﹣2

所以,g(t)≥g(4)=﹣9,得出 n 能取到的最小实数为﹣9. 解: (Ⅰ)由 f(x﹣1)=f(3﹣x)可知函数 f(x)的对称轴为 x=1, 由 f(x)的最大值为 0,可假设 f(x)=a(x﹣1) . (a<0)
2

令 a(x﹣1) =﹣2,x=1
2

2

,则易知 2

=4,a=﹣ .

所以,f(x)=﹣ (x﹣1) . (Ⅱ)由 f(x+t)≥2x 可得, 解得﹣t﹣1 ≤x (x﹣1+t) ≥2x,即 x +2(t+1)x+(t﹣1) ≤0, ,
2 2 2

又 f(x+t)≥2x 在 x∈时恒成立, 可得由(2)得 0≤t≤4. 令 g(t)=﹣t ﹣1﹣2 ,易知 g(t)=﹣t﹣1﹣2 单调递减,

所以,g(t)≥g(4)=﹣9, 由于只需存在实数,故 n≥﹣9,则 n 能取到的最小实数为﹣9. 此时,存在实数 t=4,只要当 x∈时,就有 f(x+t)≥2x 成立.

【点评】 : 本题考查了函数的解析式的求解, 方程组求解问题, 分类讨论求解, 属于中档题. 21.

22.【考点】 : 椭圆的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值 与范围问题. 【分析】 : (Ⅰ)若 k=1,联立直线和椭圆方程,结合相交弦的弦长公式以及|AB|= 即可求实数 a 的值; (Ⅱ)根据 解即可. 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , =2 关系,结合一元二次方程根与系数之间的关系,以及基本不等式进行求 ,

(Ⅰ)由

得 4x +2x+1﹣a=0,

2

则 x1+x2=

,x1x2=



则|AB|=

=

,解得 a=2.

(Ⅱ)由

,得(3+k )x +2kx+1﹣a=0,

2

2

则 x1+x2=﹣ 由 =2

,x1x2=



得(﹣x1,1﹣y1)=2(x2,y2﹣1) ,

解得 x1=﹣2x2,代入上式得:

x1+x2=﹣x2=﹣

,则 x2=



=

=



当且仅当 k =3 时取等号,此时 x2=

2

,x1x2=﹣2x2 =﹣2×

2



又 x1x2=

=





= ,解得 a=5.

所以,△AOB 面积的最大值为

,此时椭圆的方程为 3x +y =5.

2

2

【点评】 : 本题主要考查椭圆方程的求解,利用直线方程和椭圆方程构造方程组,转化为根 与系数之间的关系是解决本题的关键. 23.


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