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第7讲 函数的图像


函数的图像
1.掌握基本初等函数的图像; 2.会运用函数图像和研究函数的性质; 3.掌握函数图象的四种变换; 4.函数图像从“形”的方面刻画了函数的变 化规律,表示量与量之间的依存关系,因 此要能运用数形结合的思想方法解决有关 问题

本讲知识要点
1.中学阶段基本初等函数有:幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数、反三角函数. 2.函数图象的作法:描点法、Excel作法、图 像变换法. 3.函数图象的四种变换方法: (1)平移变换; (2)对称变换; (3)翻折变换; (4)伸缩变换;

函数图象的变换
1.平移变换: ①水平平移(左右平移): 沿x轴方向向左平移|a|(a>0)个单位 y=f(x) y=f(x+a) 沿x轴方向向右平移|a|(a<0)个单位 ②竖直平移(上下平移):
沿y轴方向向上平移|a|(a>0)个单位 y=f(x) y=f(x)+a 沿y轴方向向下平移|a|(a<0)个单位

函数图象的变换
2.对称变换: 关于y轴对称 ①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) 关于x轴对称

y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x)

关于原点对称

函数图象的变换
3.翻折变换: ①y=f(x) 去掉左边,右边的部分保留不变 y=f(|x|)
并将图像右边的部分翻折到左边

②y=f(x) 去掉下面,上面的部分保留不变 y=|f(x)|
并将图像下面的部分翻折到上面

函数图象的变换
4.伸缩变换: 横坐标保持不变 ①y=f(x) y=af(x) 纵坐标伸长(或缩短)为原来的a倍 纵坐标保持不变 ②y=f(x) y=f(ax) 横坐标伸长(或缩短)为原来的1/a倍

例题讲解
例1:(1)把下面不完整的命题补充完整,并使 之成为真命题.若函数f(x)=3+log2x的图像关 于________对称,则函数g(x)=________.

例题讲解
例1.(2)画f(x)=-2x2+2x+3 及f(-x), -f(x), f(x+2), |f(x)|, f(|x|)的图像。
y

o

x

例题讲解
例2.利用函数的图像,讨论方程x2-2|x|=a-1的 解的个数。
y

y=a-1
o x

题型三:函数图象的应用 1、作出图象解决问题 例.(1)已知0 < a < 1,方程a|x|=|logax|的实根个 数是( )

(A)1个 或3个

(B)2个

(C)3个

(D)1个或2个

2、观察图象,发现信息 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如下图, 则b属于( ) (A)(-∞,0) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(2,+∞)

练习
(1)不等式√1-x2<x+a在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的 取值范围是( )

(A)(-∞,-2)
(C)[2,+∞]

(B)(-1,2)
(D)(2,+∞)

(2)方程lgx=sinx的根的个数-————
(3)若函数y=f(x)的图象过点(1,1)则函数y=f(4-x)过-----(4)若直线x=1是函数y=f(2x)的一条对称轴,则y=f(32x)的图像关于直线---——对称。变(2,4)对称中心呢?

练习

2.试讨论方程 1-x ? kx实根的个数

例题讲解
例4.已知⊿ABC的顶点为A(3,3),B(1,0),C(4,0). 过BC边上一点P(x,0)作BC的垂线,把⊿ABC 分成两部分,把B点所在的这一侧的面积S作 为x的函数,求函数解析式,并画出图像。
y A

o

B P C x

例题
? ? ? ? ? 1.试讨论方程I1-xI=kx的实数根的个数 2.解关于x的方程lgx+lg(4-x)=lg(a+2x) 并讨论解的个数 ?21? x , x ? 0 f ( x) ? ? 3.设函数 ? f ( x ? 1), x ? 0若方程 f(x)=x+a有且只有两个实数根,求实数a 的取值范围 ? 4.关于x的方程x2-2x+lg(9a-2a2)=0没有 负实根,求实数a的取值范围


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