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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题二 第1讲 三角函数的图象与性质训练 文


第1讲

三角函数的图象与性质

一、选择题 1.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12 )

π? π? ? ? 解析 因为 y=sin

3x+cos 3x= 2cos?3x- ?, 要得到函数 y= 2cos?3x- ?的图象, 4? 4? ? ? π 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象向右平移 个单位,故选 C. 12 答案 C 2.(2015·豫西名校期末)若函数 f(x)=sin ax+ 3cos ax(a>0)的最小正周期为 2,则函数

f(x)的一个零点为(
π A.- 3 2 B. 3

)

?2 ? C.? ,0? ?3 ?

D.(0,0)

π? 2π ? 解析 f(x)=2sin?ax+ ?,∵T= =2,∴a=π . 3? a ? π? 2 ? ∴f(x)=2sin?π x+ ?,∴当 x= 时,f(x)=0.故选 B. 3? 3 ? 答案 B 1 ? π? 3.(2015·成都期末) 把函数 y= sin?x+ ? 图象上各点的横坐标缩小到原来的 ( 纵坐标不 6? 2 ? π 变),再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 π A.x=- 2 π C.x= 8 π B.x=- 4 π D.x= 4 )

π? π ? ? π? π? ? 解析 由题意知 y=sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ?=-cos 2x,验证可知 x=- 是 3? 6? 2? 2 ? ? ?
1

所得图象的一条对称轴. 答案 A

?π ? 4.(2015·唐山期末)已知函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(ω >0),f ? ?+f ?6? ?π π ? f(x)在区间? , ?上递减,则 ω =( ?6
2? A.3 C.6 B.2 D.5 )

?π ?=0,且 ?2? ? ?

π? ? 解析 ∵f(x)=2sin?ω x+ ?,f 3? ? π π + 6 2 π ∴当 x= = 时,f(x)=0. 2 3 ∴ π π ω + =kπ ,k∈Z, 3 3

?π ?+f ?6? ? ?

?π ?=0. ?2? ? ?

∴ω =3k-1,k∈Z,排除 A、C;

?π π ? 又 f(x)在? , ?上递减, ?6 2?
把 ω =2,ω =5 代入验证,可知 ω =2. 答案 B π? ? 5.函数 f(x)=sin(ω x+φ )(x∈R)?ω >0,|φ |< ?的部分图象如图 2? ?

? π π? ?x1+x2?等 所示,如果 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2),则 f ? ? 6 3 ? ? ? 2 ?
于( A. 1 2 ) B. 2 2 C. 3 2 D.1

? π? 解析 由图象可知,f ?- ?=f ? 6?

π π - + π ? ?=0,得到 f(x)的一条对称轴为 x= 6 3 =π , ?3? 2 12 ? ?

π π 所以 x1+x2=2× = ,观察图象可知 f 12 6 所以 f ? 答案 D 二、填空题

?π ?=1, ?12? ? ?

?x1+x2?=1. ? ? 2 ?

6.(2015·陕西卷)如图, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线

2

?π ? 近似满足函数 y=3sin? x+φ ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值 ?6 ?
为________. 解析 由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5,∴ymax=k+3=8. 答案 8

? π? 2 7.(2015·湖北卷)函数 f(x)=2sin xsin?x+ ?-x 的零点个数为________. 2? ? ? π? 2 2 2 解析 f(x)=2sin xsin?x+ ?-x =2sin xcos x-x =sin 2x-x .令 f(x)=0,则 sin 2? ?
2x=x ,则函数 f(x)的零点个数即为函数 y=sin 2x 与函数 y=x 的图象的交点个数.作 出函数图象知,两函数交点有 2 个,即函数 f(x)的零点个数为 2. 答案 2 8.(2015·天津卷)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.若函数 f(x)在区间(- ω, ω )内单调递增, 且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称, 则 ω 的值为________. π? ? 解析 f(x)=sin ω x+cos ω x= 2sin?ω x+ ?, 4? ? ∵函数 f(x)的图象关于直线 x=ω 对称, π π ? 2 π? 2 ∴f(ω )= 2sin?ω + ?=± 2,∴ω + = +kπ ,k∈Z, 4? 4 2 ? π π π 2 2 即 ω = +kπ ,k∈Z,又函数 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,∴ω + ≤ ,即 4 4 2 π π 2 2 ω ≤ ,取 k=0,得 ω = , 4 4 ∴ω = 答案 三、解答题 1 3 2 9.已知函数 y= cos x+ sin xcos x+1(x∈R),问:该函数的图象可由 y=sin x(x∈R) 2 2 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到. 解 1 3 2 法一 y= cos x+ sin xcos x+1 2 2 π . 2 π 2
2 2

1 1 3 2 = (2cos x-1)+ + (2sin xcos x)+1 4 4 4 1 3 5 = cos 2x+ sin 2x+ 4 4 4

3

π π? 5 1? = ?cos 2xsin +sin 2xcos ?+ 6 6? 4 2? π? 5 1 ? = sin?2x+ ?+ . 6? 4 2 ?

法二 化简同法一

y= sin?2x+ ?+ . 6
1 10.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解

1 2

? ?

π? 5 ? 4

f(x)=sin xcos x+cos2x-

1 2

1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π? 2 ? sin?2x+ ?. 4? 2 ?

4

π 2 π (1)因为 0<α < ,sin α = ,所以 α = , 2 2 4 从而 f(α )= π? 2 2 3π 1 ? sin?2α + ?= sin = . 4? 2 2 4 2 ?

2π (2)函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 2 11.(2015·重庆卷)已知函数 f(x)= sin 2x- 3cos x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍, 纵坐标不变, 得到函数 g(x)

?π ? 的图象,当 x∈? ,π ?时,求 g(x)的值域. ?2 ?
解 1 1 3 2 (1)f(x)= sin 2x- 3cos x= sin 2x- (1+cos 2x). 2 2 2

π? 1 3 3 3 ? = sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- , 3 2 2 2 ? ? 2 2+ 3 因此 f(x)的最小正周期为 π ,最小值为- . 2 3 ? π? (2)由条件可知,g(x)=sin?x- ?- . 3? 2 ? π ?π 2π ? ?π ? ? π? ?1 ? 当 x∈ ? ,π ? 时,有 x - ∈ ? , ? ,从而 sin ?x- ? 的值域为 ? ,1? ,那么 3 ? 3? 3 ?6 ?2 ? ? ?2 ? 3 ?1- 3 2- 3? ? π? sin?x- ?- 的值域为? , ?. 3? 2 ? 2 ? ? 2

?1- 3 2- 3? ?π ? 故 g(x)在区间? ,π ?上的值域是? , ?. ?2 ? 2 ? ? 2

5


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