tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数中的不等式问题的解题策略


导数中的不等式问题的解题策略
导数的综合问题是高考数学的压轴题之一,其包含信息量大,计算繁琐,对学生的思维 能力要求较高,令很多同学望而生畏,造成严重失分。而利用导数解决不等式问题更是压轴 题中的压轴题, 很多同学直接选择放弃, 其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那 样, 只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀, 下面我们通过具体的实例来分析导数中的 不等式问题

,解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。 1.承上启下型 在解决导数问题中的不等式时, 经常会出现这样一类问题, 其证明需要应用到前一问的结论。 由前一问的结论得到一个不等式, 再根据其与要证明的不等式的关系进行证明, 这类题 在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论,如: ln( x ? 1) ? x, ex ? x ? 1 等。 例 1. 已 知 P ? x, y ? 为 函 数 y ? 1 ? ln x 图 象 上 一 点 ,O 为 坐 标 原 点 , 记 直 线 OP 的 斜 率

k ? f ? x? .
(I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? (III)求证 ? ?? n ? 1? !? ? ? ? n ? 1? e
2

? ?

1? 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
n?2

?n ? N ? .
*

分析:本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。(I)由极值的定义其极值点, 极值点在 ? m, m ?

? ?

1? ? 内,从而确定 m 的范围。(II)分离参数 t,利用导数求最值。(III)利 3?

用第(II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。 解:(Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ?

1 ? ln x ,x?0 x

所以 f ? ? x ? ? ?

ln x ? 1 ? ln x ?? ? ?? 2 x ? x ?

当 0 ? x ? 1 时 , f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时 , f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增 , 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 减 . 故 f ? x ? 在 x ? 1 处 取 得 极 大 值 因为函数 f ? x? 在区间

?0 ? m ? 1 2 1? ? ? 得 ? m ?1. 1 ? m, m ? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 所以 ? 3? m ? ?1 3 ? ? 3 ?
即实数 m 的取值范围是 ? , 1?

?2 ? ?3 ?

(Ⅱ)由 f ? x ? ? 则 g? ? x ? ?

? x ? 1??1 ? ln x ? 令 g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? t 得t ? ? ? x x x ?1
令 h ? x ? ? x ? ln x 则 h? ? x ? ? 1 ?

x ? ln x x2

1 1? x = x x

+? ? 上单调递增 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1,

所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,

+? ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2 从而 g ? ? x ? ? 0 g ? x ? 在 ?1,
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2?

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 x ?1 2 2 即 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x
(Ⅲ)由(Ⅱ) 知 f ? x ? ? 令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln n ? n ? 1? ? 1 ?

2 2 所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ? , n ? n ? 1? 1? 2 2 . n ? n ? 1?
? 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? n ? n ? 1? ? ?1 ? 2 2 ? 3
2 n ?2

ln ? 2 ? 3? ? 1 ?

2 , 2?3

, ln n ? n ? 1? ? 1 ?

2 2 2 所以 ln ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? ? ? n ?2?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ??n?2 ? n ?1?
所以 ? ?? n ? 1? !? ? ? ? n ? 1? ? e
2

所以 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? e
2 2
n ?2

?n ? N ?
?

点评: 本题题目较为综合, 即考查了函数的极值最值又考查到了不等式的证明及数列的相关 知识。本题中不等式的证明利用到了第(Ⅱ)的结论即 f ? x ? ?

2 恒成立。对于含有 x ?1

正整数 n 的带省略号的不定式的证明,先观察通项,联想基本不定式(上述结论中的 13) ,确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关) ,再对 自变量 x 赋值,令 x 分别等于 1、2、…….、n,把这些不定式累加,可得要证的不定式。 2. x1 /x2 型 在证明有关导数的不等式时,若所证明的不等式含有两个未知数,可考虑构造 x1 /x2 这 种类型解决,其作用是把两个未知数转化为一个未知数从而达到解决问题的目的。 2 例 2. 已 知 函 数 f ( x) ? a ln x ? bx 图 象 上 一 点 P(2, f (2)) 处 的 切 线 方 程 为 y ? ?3x ? 2ln 2 ? 2 . (Ⅰ)求 a , b 的值;

(Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ,e ? 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为 e 自然对数的底数) ; ( Ⅲ ) 令 g ( x) ? f ( x) ? kx , 若 g ( x) 的 图 象 与 x 轴 交 于 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ( 其 中 , AB 的中点为 C ( x0 ,0) ,求证: g ( x) 在 x0 处的导数 g ?( x0 ) ? 0. x1 ? x2 ) 分析:本题考查了导数的几何意义,函数的零点问题及导数证明不等式问题。 (Ⅰ)直接利 用导数的几何意义求解, 第 (Ⅱ) 问可通过分析函数的单调性利用数形结合思想求解, 第 (Ⅲ) 问的本质 g ?( x0 ) 与 0 的大小比较。 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

?1 ? ? ?

a a ? 2bx, f ?(2) ? ? 4b, f (2) ? a ln 2 ? 4b. x 2

a ? ? 4b ? ?3, 且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2ln 2 ? 2, 2 解得 a ? 2, b ? 1. (Ⅱ) f ( x) ? 2ln x ? x2 ,令 h( x) ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m, 则

h?( x) ?

2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? , x x

1 x ? [ ,1) e 时, h?( x) ? 0, 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1( x ? ?1 舍去).当

? h( x) 是增函数;当 x ? [1, e] 时, h?( x) ? 0, ? h( x) 是减函数;

? 1 ? h( e ) ? 0 ? 1 于是方程 h( x) ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根的充要条件是: ?h(1) ? 0 . e ? h (e) ? 0 ? ?
即1 ? m ? 2 ?

1 . e2
2

(Ⅲ)由题意 g ( x) ? 2 ln x ? x ? kx, g ?( x) ? 假设结论成立,则有:

2 ? 2 x ? k. x

?2 ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ② ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? k ? 0 ④ 0 ? ? x0

x1 x2 x 2 2 ①-②,得 2ln 1 ? ( x1 ? x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0. ? k ? 2 ? 2 x0 . x2 x1 ? x2 ln x1 x2 1 2 由④得 k ? ? ? 2 x0 , ? x1 ? x2 x0 x0 ln
x x1 2 1 ?2 x x2 x2 x 2 2t ? 2 . ⑤令 t ? 1 , u (t ) ? ln t ? 即 ,即 ln 1 ? ? (0 ? t ? 1), x1 x2 x t ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 2 ?1 x2

ln

则 u?(t ) ?

(t ? 1)2 ? 0. ?u(t ) 在(0,1)增函数,?u(t ) ? u(1) ? 0, ? ⑤式不成立,与假设 t (t ? 1)2

矛盾.? g ?( x0 ) ? 0. 点评:本题中第(Ⅲ)出现了两个未知数 x1 , x2 ,此时处理的方式是通过 ln x1 ? ln x2 ? ln

x1 , x2



x1 看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知量. x2

3.两边求导型
证明不等式时,如果构造出的函数不易求解时,可考虑利用两边的最值的大小进行比较,如 证明 f ( x) ? g ( x), 只需证明 f ( x)min ? g ( x)max ,因此,可转化为利用导数求最值的问题。 例 3.已知函数 f ?x ? ? ax ? ln x, 其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的最大值; (2)若 f ( x) 在区间 ?0, e?上的最大值为-3,求 a 的值; (3)当 a ? ?1 时,证明 f ? x ? ?

ln x 1 ? x 2

分析:本题考查了函数的最值及不等式的证明问题。(1)根据单调性求解(2)对 a 进行分类讨论,分别求解。 (3)分别对不等式的左右两边求解,只要左边的最小值大于右 边的最大值即可。 解:(1)当 a ? ?1 时, f ?x ? ? ? x ? ln x , f ?? x ? ? ?1 ? 当 0 ? x ? 1 时, f ??x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ??x ? ? 0 .

1 1? x ? . x x

? f ?x ? 在 ?0,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是减函数.? f ?x?max ? f ?1? ? ?1 .

(2)

1 1 ?1 ? f ??x ? ? a ? , x ? ?0, e?, ? ? ,?? ?, x x ?e ?
1 ,则 f ??x ? ? 0 ,从而 ? x ? 在 ?0.e? 上是增函数, e

①若 a ? ?

? f ?x?max ? f ?e? ? ae ? 1 ? 0 .不合题意.
1 1 1 ,则由 f ??x ? ? 0, 得; a ? ? 0. 即 0 ? x ? ? , e x a 1 1 由 f ?x ? ? 0 ,得: a ? ? 0 ,即 ? ? x ? e . x a
②若 a ? ? 从而 f ?x ? 在 ? 0,?

? ?

1? ? 1 ? ? 上是增函数,在 ? ? , e ? 上是减函数. a? ? a ?

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? f ?x ?max ? f ? ? ? ? ?1 ? ln? ? ? ,令 ? 1 ? ln? ? ? ? ?3 ,则 ln? ? ? ? ?2 , ? a? ? a? ? a? ? a?
1 ? e 2 ,即 a ? ?e 2 . a 1 ? ?e 2 ? ? ,? a ? ?e 2 为所求. e ??
(3)由①知当 a ? ?1 时, f ?x?max ? f ?1? ? ?1,? f ?x? ? 1 . 又令 g ? x ? ?

ln x 1 1 ? ln x ? , g ?? x ? ? ,令 g ??x ? ? 0 ,得 x ? e . x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?0, e ? 上单调递增; 当 x ? e 时, g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?e,??? 上单调递减.

? g ?x ?max ? g ?e ? ?

1 1 ? ? 1? g ?x ? ? 1. e 2 ln x 1 ? , ? f ?x? ? g?x? ,即 f ? x ? ? x 2
点评:本题中第(3)问证明不等式过程中,很容易考虑构造不等式求解,但本题构造不等式后 不容易求解,故考虑两边分别求最值,利用 f ? x ? min ? g ( x ) max 从而求解. 4.二次求导型 在证明不等式经常出现构造函数, 求其最值与 0 进行比较, 此类不等式其本质是求函数的最 值问题,再求其最值过程中,若一次求导后不能确定其增减性,可利用二次求导进行解决。 例 4.

分析:本题可构造函数 f ( x) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2 ,求其最小值与 0 的关系。

点评: 本题证明过程中对函数求到后不等确定出其单调性, 故对其进行二次求导确定出导数 的单调性,从而确定导数的正负,得出原函数的单调性,从而得出其最值


推荐相关:

导数中的不等式问题的解题策略

导数中的不等式问题的解题策略_数学_高中教育_教育专区。导数中的不等式问题的解题策略导数的综合问题是高考数学的压轴题之一,其包含信息量大,计算繁琐,对学生的思...


数学利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

数学利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧_数学_高中教育_教育专区。利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 云南省文山州砚山一中, (663100) 马兴奎趣题引入(20...


导数的应用—恒成立问题的解题策略

导数的应用—恒成立问题的解题策略_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数的应用二——恒成立问题的解题策略 一.典例分析 提炼方法 例 1.若不等式 x 2 ? 1...


导数的应用二——恒成立问题的解题策略教案

导数的应用二——恒成立问题的解题策略教案_数学_高中教育_教育专区。导数的应用二一.典例分析 提炼方法 例 1.若不等式 x 2 ? 1 ? ?3 ? a ?x ,对任意...


导数解题策略

导数---高中数学不可或缺的解题工具商南县高级中学 王育生 726200 数学学科的系统...本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中, 而是具体问题具体 ...


利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

2( 技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数不 等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。第 1 页共 5 页 二、解题...


高考压轴题:导数题型及解题方法

高考压轴题:导数题型及解题方法_数学_高中教育_教育...分类的方法有: (1)在求极值点的过程中,未知 数...数形结合解不等式恒成立问题的步骤: (1)不等式...


不等式,函数与导数的解题方法,分类整理

“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正” “定” “等” 的条件...点是解题的关键;②基本初等函数的导数导数运算法则是正确解决此类问题的保证;...


解题--浅谈利用导数证明不等式中的函数构造法-欧阳志

解题--浅谈利用导数证明不等式中的函数构造法-欧阳志_数学_高中教育_教育专区。高中数学总结 《教学考试》 浅谈利用导数证明不等式中的函数构造法 江西省新余市第...


导数大题方法总结

会在第一问设置这样的问题:若 f(x)在 x = k ...中,一点点发现参数应该讨 论的范围,一步步解题。...不仅要对导数有一定的理解,而且对于 一些不等式、...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com