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2014届高考数学一轮复习名师首选练习题:第8章 第5节《椭圆》


第八章 第五节 椭圆 一、选择题 x2 y2 1. 已知 F1, F2 是椭圆 + =1 的两焦点, 过点 F2 的直线交椭圆于 A, B 两点. 在△AF1B 16 9 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为 A.6 B.5 C.4 D.3 ( )

x2 y2 2.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆

+ =1 9 4 的交点个数为 A.至多一个 C.1 个 ( B.2 个 D.0 个 )

x2 y2 y2 3.已知椭圆 C1: + =1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐 a2 b2 4 近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 ( ) 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 B.a2=13 D.b2=2

x2 4.已知椭圆 +y 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且 4

????? MF1

·

????? MF2

=0,则点 M 到 y 轴的距离为( 2 6 B. 3 D. 3

)

2 3 A. 3 C. 3 3

x2 y2 5.方程为 + =1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴 a2 b2 上的一个端点,若 3 1 A. 2 1 C. 4

???? ? DF1
1 B. 3 1 D. 5

???? ? ??? ? DF 2 ,则该椭圆的离心率为 = DA +2

(

)

x2 y2 6.已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l:y=kx+ m 4 1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是 A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0 C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0 二、填空题 ( )
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

x2 y2 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1(a>b>0)的左 a2 b2 顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,若∠BAO+∠BFO=90° ,则椭圆 的离心率是__ ______. x2 y2 8.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右 焦点,P 为椭圆上任一点, 25 16 点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. x2 FA FB 9.设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若 1 =5 2 , 3 则点 A 的坐标是________. 三、解答题 x2 y2 3 10.设椭圆 C∶ + =1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a2 b2 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

????

???? ?

x2 y2 11. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, M、 N 分别是椭圆 + = 4 2 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第 一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆 于点 B.设直线 PA 的斜率为 k. (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB.
[来源:Z*xx*k.Com]

x2 12.已知椭圆 G∶ +y2=1.过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|A B|的最大值.

详解答案 一、选择题 1.解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10= 6. 答案:A 2.解析:∵直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点, 4 m2 n2 m2 4-m2 5 x2 ∴ >2,∴m2+n2<4,∴ + < + =1- m2<1,∴点(m,n)在椭 圆 + 9 4 9 4 36 9 m2+n2 y2 x2 y2 =1 的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数为 2 个. 4 9 4 答案:B 3.解析:如图所示 a 设直线 AB 与椭圆 C1 的一个交点为 C(靠近 A 的交点),则|OC|= , 3 因 tan∠COx=2, 2 1 ∴sin∠COx= ,cos∠COx= , 5 5 a 2a a2 4a2 1 则 C 的坐标为( , ),代入椭圆方程得 + =1,∵5=a2-b2,∴b2= . 45a2 45b2 2 3 5 3 5 答案:C 4.解析:由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0).设 M(x,y),则

????? MF1

·

????? MF2



x2 (- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=0,整理得 x2+y2=3 ①.又因为点 M 在椭圆上,故 +y2 4 x2 3 2 6 2 6 =1, 即 y2=1- ②. 将②代入 ①, 得 x2=2, 解得 x=± .故点 M 到 y 轴的距离为 . 4 4 3 3 答案:B 5.解析:设点 D(0,b), 则 3

???? ? DF1

???? ? DF1

???? ? ??? ? 1 DF 2 得-3c=-a+2c,即 a=5c,故 e= . = DA +2 5

???? ? ??? ? DF 2 =(c,-b),由 =(-c,-b), DA =(-a,-b),

答案:D 6.解析:A 选项中,当 k=-1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长相 等;B 选项中,当 k=1 时,两直线平行,两直线被椭圆 E 截得的弦长相等;C 选项中,当 k=1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长相等. 答案:D 二、填空题 7.解析:∵∠BAO+∠BFO=90° , ∴∠BAO=∠FBO.



OB OF = . OA OB

即 O B2=OA· OF, ∴b2=ac. ∴a2-c2-ac=0. ∴e2+e-1=0. -1± 1+4 -1± 5 ∴e= = . 2 2 又∵0<e<1, ∴e= 答案: 5-1 . 2 5-1 2

8.解析:由椭圆定义知|PM|+|PF1|=|PM|+2× 5-|PF2|,而|PM|-|PF2|≤|MF2|=5, 所以|PM|+|PF1|≤2×5+5=15. 答案:15 9.解析:根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d).F1、F2 分别为椭圆的左、右 焦点,其坐标分别为 (- 2,0)、( 2,0),可得

???? F1 A

=(m+ 2,n)

???? ? F2 B

=(c- 2,d).∵

???? F1 A

=5

???? ? F2 B



m+6 2 ? ?2 5 m+6 2 n m2 n ∴c= , d= .∵点 A、 B 都在椭圆上, ∴ +n2=1, +( )2=1.解 得 m=0, 5 5 3 3 5 n=± 1,故点 A 坐标为(0,± 1). 答案:(0,± 1) 三、解答题 16 10.解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 =1,∴b=4, b2 c 3 a2-b2 9 由 e= = 得 = , a 5 a2 25 16 9 即 1- = ,∴a=5, a2 25 x2 y2 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y = (x-3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2, 5 5 4 x2 ?x-3?2 y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + =1,即 x2-3x-8=0,解得 5 25 25 3- 41 3+ 41 x1= ,x2= , 2 2 - x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 6 - y1+y2 2 y= = (x1+x2-6)=- , 2 5 5

3 6 即中点坐标为( ,- ). 2 5 2 ). 2

[来源:Z*xx*k.Com]

解:由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的坐标为(-1, -

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k 2 - 2 2 = = . 2 -1 x2 4x2 2 2 4 (2) 直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x=± ,因此 P( , ),A(- 4 2 3 3 3 4 0+ 3 2 4 2 2 ,- ).于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x-y- =0. 3 3 3 2 2 3 + 3 3 2 4 2 | - - | 3 3 3 2 2 因此,d= = . 3 12+12 x2 y2 2 2 (3)证明: 法一: 将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1, 解得 x=± 记 μ= , 4 2 1+2k2 1+2k2 则 P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是 C(μ,0). 0+μk k 故直线 AB 的斜率为 = , μ+μ 2
[来源:学。科。网]

k 2 其方程为 y= (x-μ), 代入椭圆方程并由 μ= 得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0, 2 1+2k2 μ?3k2+2? μ?3k2+2? μk3 解得 x= 或 x=-μ.因此 B( , ). 2+k2 2+k2 2+k2 uk3 -μk 2+k2 k3-k?2+k2? 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = =- . k μ?3k2+2? 3k2+2-?2+k2? -μ 2+k2 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设 直 0-?-y1? y1 k 线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= = = . x1-?-x1? 2x1 2 y2-y1 y2-?-y1? 2y2 2-2y2 1 ?x2+2y2 2?-?x2 1+2y2 1? 从而 k1k + 1 = 2k1k2 + 1 = 2· · +1= +1= = x2-x1 x2-?-x1? x2 2-x2 1 x2 2-x2 1 4-4 =0. x2 2-x2 1 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 12.解:(1)由已知得 a=2,b=1, 所以 c= a2-b2= 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),

c 3 离心率为 e= = . a 2 (2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为(1, = 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). y=k?x-m?, ? ? 由?x2 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设 A, B 两点的坐标分别为(x1, y1), ? 4 +y2=1. ? (x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 即 m2k2=k2+1. 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 64k4m2 4?4k2m2-4? 4 3|m| ?1+k2?[ - ]= . ?1+4k2?2 1+4k2 m2+3 4 3|m| ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m2+3 4 3|m| 4 3 = ≤2, 3 m2+3 |m|+ |m| |km| =1, k2+1 3 3 ),(1,- ),此时|AB| 2 2

由于当 m=± 1 时,|AB|= 3, 所以|AB|= 因为|AB|=

且当 m=± 3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2.
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]


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