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江西省红色七校2016届高三下学期第二次联考数学(理)试题


江西省红色七校 2016 届高三第二次联考数学(理)试题
分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学、会昌中学 命题人:南城一中 张新华 会昌中学 邹后林 瑞金一中 谢小平 审题人:瑞金一中 陈从猛 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4.考试结束后,将答题卡交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1、已知复数 z ?

1? i (其中 i 为虚数单位) ,则复数 z 在坐标平面内对应的点在( 2?i
B.第二象限
2



A.第一象限 2、已知集合 M={x|y=lg A. {x|0<x<1} <x<2} 3、 ?

C.第三象限

D.第四象限 )
开始 输入 M,N 否

},N={y|y=x +2x+3},则 B. {x|x>1}

?CR M ? ? N ? (

C. {x|x≥2}

D. {x|1

?x1 ? 3 ? x1 ? x2 ? 6 是? 成立的( ?x2 ? 3 ? x1 x2 ? 9
?

) C.充要条件 D.既不充分也 )

M ?N?


A.充分不必要条件 不必要条件 4、 已知 M ? A.1

B.必要不充分条件
2

S?N
输出 S 结束

S?M

?

1

0

1 ? x dx, N ? ? 2 cosxdx , 由如右程序框图输出的 S ?(
B.

?

0

2

C.

?

4

D. ? 1

第 4 题图

5、一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于(



A. 3

B. 2 3

C. 3 3

D. 6 3

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 6、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 ? 的最小值为( a b


1

A.

25 6

B.

8 3

C.

11 3

D.4

7、二面角 α-l-β 等于 120° ,A、B 是棱 l 上两点,AC、BD 分别在半平面 α、 β 内,AC⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=BD=1,则 CD 的长等于( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 8、设 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) ,? ? ?0,?? ? ,则点 P 的轨迹经过 ? AB ? cos B AC ? cos C
) B.内心 C.重心 D.垂心.

△ABC 的( A.外心

9、等差数列 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若 A、16 B、

S n 38n ? 14 ?n ? N ? ? ,则 a6 ? ( ? b7 Tn 2n ? 1



242 432 494 C、 D、 15 23 27 2 2 1 2 x y 2 2 10、过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 x ? y ? a 的切线,切点为 E ,直线 EF 交 4 a b ??? ? 1 ??? ? 双曲线右支于点 P,若 OE ? (OF ? OP) ,则双曲线的离心率是( ) 2 10 A. 10 B. C. 2 D. 2 2 2 2 2 11 、 记 集 合 M ? ?x, y ??x ? 2 cos? ? ? ? y ? 2 sin ? ? ? 1 , 任 取 点 P ? M , 则 点
P ? ? x, y ? x 2 ? y 2 ? 4 的概率(
A、

?

?

?

?

) C、

12.已知定义在 ? 0, ?? ? 上的单调函数 f ? x ? ,对 ?x ? ? 0, ?? ? ,都有 f ? ? f ? x ? ? log 3 x ? ? ? 4 ,则函数

1 2

B、

4 9

3 8

D、

1 3

g ? x ? ? f ? x ?1? ? f ' ? x ?1? ? 3 的零点所在区间是(



A . ? 4,5?

B.

? 2,3?

C.

? 3, 4?

D . ?1, 2 ?

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、若二项式 (a x ?

1 6 ) 的展开式的常数项为 160,则 a ? x

? 2x , x ? 1 14、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (log 2 7) = ? f ( x ? 1), x ? 1

? n, n为奇数时 ? * 15、利用数列 {an } 的递推公式 an ? ? a , n为偶数时 ( n ? N )可以求出这个数列各项的值,使得 n ? ? 2
2

这个数列中的每一项都是奇数,且该数列中的奇数都会重复出现,那么第 8 个 5 是该数列的第 项 16 、 抛 物 线 N1 : y ? ax2 ? bx ? c 与 抛 物 线 N 2 : y ? ?ax2 ? dx ? e 的 顶 点 分 别 为 P 1 ? x1 , y1 ? 与 ,则 P2 ?x2 , y2 ?,且两抛物线相交于点 A?12,21?与B?28,3?(均异于顶点)

x1 ? x2 ? y1 ? y2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为

m? s i C,n b 2 ? a 2 ? c 2 , n ? 2 s iA ? ns i C, n c 2 ? a 2 ? b 2 且 m // n ;
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能 力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔 试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表. 分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计 (1)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (2)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序. 已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O , E 为线段 PC 上一点,且 AC ? BE , (1)求证: PA // 平面 BED ; (2)若 BC // AD , BC ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 3 且 AB ? CD 求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值。 频数(人数) 频率

?

?

?

?

a

,

b

,c. 已 知

9

x

y
16

0.38
0.32

z
p

s

1

3

20、 (本小题满分 12 分) 已知动圆 C 过点 A(2,0),且与圆 M : ?x ? 2?2 ? y 2 ? 64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m(其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点 B,D,与双曲线

交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l ,使得 DF ? BE ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不 存在,请说明理由.

???? ??? ?

?

x2 y 2 ? ?1 4 12

21、 (本小题满分 12 分)

1 , g ( x) ? ax ? b . x (1)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; 1 (2) 若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ? 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x 2 (3)当 b ? 0 时, 若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 试比较 x1 x2 与 2e 的大小. (取
已知函数 f ( x) ? ln x ?

e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )
请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分,做 答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(选修 4—1 :几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙O, BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点 E, DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.

23、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程 ?

? ? x ? 2 ? 3t 2 2 ( t 为参数) ,圆 C 的方程为 x ? y ? 4 , ? ?y ? t

以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?

(2)求直线 l 和圆 C 的交点的极坐标(要求极角 ? ??0, 2? ? ) .

4 ? x ? m , (m ? 0) m

(1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围.

4

江西省红色七校 2016 届高三第二次联考数学(理)参考答案
一.选择题(共 12 小题,共 60 分,每小题 5 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 C 8 D 9 A 10 B 11 C 12 B

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

?2

14.

7 4

15. 640

16.

5 3

三.解答题 17. 解:(1)
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B ,……1 分 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C 因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , ……2 分 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A ,……4 分 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 ,因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π ;……6 分 2 3 2 2 2 1 3 (Ⅱ) T ? sin A ? sin B ? sin C ? (1 ? cos 2 A) ? ? 1 (1 ? cos 2C ) ……7 分 2 4 2 ? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ……8 分 ? 4 2 4 2? 3 ? ?

?

?

……9 分 ? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3 因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π ,故 π ? 2 A ? π ? 5π ,……10 分 3 3 3 3 3 3 9 π 1 因此 ?1 ≤ cos 2 A ? ? ,所以 ? T ≤ ……12 分 2 4 3 2 18. 解: (1)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50 …………3 分 (2)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, …………4 分 ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A ,

?

?

?

?

?

?

则 P( A) ?

1 1 C5 +C1 7 4C4 ? 2 A6 10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 ②随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2

7 . 10

…………-6 分 …………7 分 …………10

P( X ? 0) ?


3 2 1 1 2 C4 C4 C2 3 C4 C2 1 1 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

随机变量 X 的分布列为:

X
P

0 1 5

1 3 5

2 1 5
…………11 分

1 3 1 因为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? =1 , 5 5 5 所以随机变量 X 的数学期望为 1 .

…………12 分
5

19. 解: (1)? AC ? BD, AC ? BE, BD ? BE ? B , ? AC ? 平面BDE ,……2 分 连接 OE , 所以 AC ? OE ,又 PA ? 平面ABCD ,……3 分 ? AC ? PA ,又 OE, PA 都是平面 PAC 中的直线, ? OE∥ PA , 且 OE ? 平面BDE , PA ? 平面BDE , ? PA ∥ 平面BDE (2)? BC // AD , BC ? 2 , AD ? 2 2 且 AB ? CD ……7 分 ? 在等腰梯形中 OB ? OC ? 1, OA ? OD ? 2 由( 1 )知 OE ? 平面ABCD ,分别以 OB, OC , OE 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

……5 分 …………6 分

? ??? ? ? ? ?n ? CD ? 0 设 平 面 PCD 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) 则 ? ? ??? ,所以 ? n ? PC ? 0 ? ? ??2 x ? y ? 0 ? ?3 y ? 3z ? 0 ? 取 x ? 1 ,则 y ? z ? ?2 , n ? (1, ?2, ?2) ,……9 分 ??? ? 又 PB ? (1, 2, ?3) ,……10 分 ??? ? ? ??? ? ? PB ? n 14 cos PB, n ? ??? ……11 分 ? ? ? 14 PB n
所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为
2

B(1, 0, 0),C (0,1, 0), D? ( 2, 0, 0), P (0, ? 2, 3)

……8 分

20. 解: (1)圆 M : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 . ∵ AM ? 4 ? R ,∴点 A?? 2, 0? 在圆 M 内. ……1 分 即 CM ? CA ? 8 ? AM . 设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r ? CA ,且 CM ? R ? r , ……2 分 ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为

14 14

…………12 分

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? , 则 a ? 4, c ? 2 .∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 .……3 分 2 a b x2 y2 ? ? 1 . ………………………4 分 ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 16 12 ? y ? kx ? m, ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k x ? 8kmx? 4m ? 48 ? 0 ………5 分 y2 ? ? 1 . ? ? 16 12 设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , 8km 则 x1 ? x2 ? ? . ? ?2 ? 4 3 ? 4k 2 4m2 ? 48 ? 0 . ①………………6 分 2 ? 1 ? 8km 3 ? 4k

?

?

?

??

?

6

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 消去 y 化简整理得: 3 ? k 2 x 2 ? 2kmx? m 2 ? 12 ? 0 .…………7 分 y2 ? ? 1 . ? ? 4 12 设 E?x3 , y3 ?, F ?x4 , y4 ? , 2km 2 则 x3 ? x 4 ? , ? 2 ? ?? 2km? ? 4 3 ? k 2 m2 ? 12 ? 0 . ②……………………8 分 2 3?k ???? ??? ? ∵ DF ? BE ? 0 ,∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,…………………9 分 8km 2km 4 1 ? ? ∴? .∴ 2km ? 0 或 ? .解得 k ? 0 或 m ? 0 . ………10 分 2 2 2 3 ? 4k 3?k 3 ? 4k 3?k2 当 k ? 0 时,由①、 ②得 ? 2 3 ? m ? 2 3 , ∵ m ?Z,, ∴ m 的值为 ? 3,?2 ?1, 0, 1 ,2,3 ;当 m ? 0 ,

?

?

?

??

?

由①、②得 ? 3 ? k ? 3 ,∵ k ? Z,,∴ k ? ?1, 0, 1 . ∴满足条件的直线共有 9 条.………………………………………………………………12 分

1 1 1 ? ax ? b h?( x) ? ? 2 ? a x x x 21. (1) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 ,……1 分 1 1 ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x ) ? ? 2 ? a ? 0 ,……2 分 x x 1 1 1 1 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 , x x x x ……3 分 故实数 a 的取值范围是 (??, 0] . 1 1 1 1 (2) 设切点 ( x0 , ln x0 ? ) ,则切线方程为 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 x0 x0 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 1) ,……4 分 即 y ? ( ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 1 1 1 2 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 ,……5 分 令 x0 x0 x0 x0 1 (2t ? 1)(t ? 1) 令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t 2 ? t ?1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? ,……6 分 t t 当 t ? (0,1) 时 , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1 ,故 a ? b 的最小值为 ?1.……7 分 1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , (3)由题意知 ln x1 ? x1 x2 x1 ? x2 x x ?x ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 ln 2 ? 1 2 ? a( x2 ? x1 ) ,……8 分 两式相加得 ln x1 x2 ? x1 x2 x1 x1 x2 x x ln 2 ln 2 x1 1 x ?x x1 1 即 ,∴ , ? ?a ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , ……9 分 即 ln x1 x2 ? x1 x2 x2 ? x1 x1 ? ln x ?
7

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? 分

x2 2(t ? 1) (t ? 1) 2 ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? (t ? 1) ,则 F ?(t ) ? ? 0 ,……10 x1 t ?1 t (t ? 1)

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1 x2 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 2(t ? 1) ? ? ln ? 2 , ∴ ln t ? ,则 ln ,∴ ln x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 t ?1
∴ F (t ) ? ln t ? 又 ln x1 x2 ? ∴ 2ln

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1,……11 分 x1 x2 x1 x2 2 1 2 令 G ( x) ? ln x ? ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x 2 1 2 又 ln 2e ? ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 2 2 G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ? ? 1 ? ln 2e ? x1x2 ? 2e x1 x2 2e x1 x2 ? 2e2 x1 x2 ?
∴ ,则 ,即 22. (1)证明:连结 OA,在△ADE 中,AE⊥CD 于点 E, ∴∠DAE+∠ADE=90° ∵DA 平分∠BDC.∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90° 即:AE 是⊙O 的切线 …………5 分 (2)在△ADE 和△BDA 中, ∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD=90° 由(1)得:∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED, ∵AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60° ,进一步求得: CD=2 23. 解: (1)直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 带入(*) ,得 ? cos? ? 3? sin ? ? 2 ? 0 ,……2 分 化简得直线 l 的方程为 ? cos ? ? ?

.……12 分

…………10 分

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 .……5 分

? ?

??

? ? 1 ,……3 分 3?

?? ? 2 ?? 1 ? ? (2)联立方程组 ? ? ? ,消去 ? 得 cos ? ? ? ? ? ,……6 分 ? 3? 2 ? ? ? cos ? ? ? 3 ? ? 1 ? ? ?

8

因为 ? ??0, 2? ? ,所以 ? 所以 ? ?

?
3

?? ?

?
3

?

?
3

??

?
3

或? ?

?
3

?

?
3

5? ,……7 分 3

,……9 分

所以直线 l 和圆 C 的交点的极坐标为 (2, 0) , ? 2, 24.解:

? ?

2? 3

? ? .……10 分 ?

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9


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