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2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2016 年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷(文 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1.设全集 U=R,集合 A={x|x2﹣x﹣2>0},B={x|1<2x<8},则(?UA)∩B 等于( ) A.[﹣1,3) B. (0,2] C. (1,2] D. (2,3) 2.设复数 z1=﹣1+3i,z2=1+i,则 =( )

A.﹣1﹣i B.1+i C.1﹣i D.﹣1+i 3.tan70°cos10°+ sin10°tan70°﹣2sin50°=( A.﹣ B. C.﹣2 D.2



4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,若 g (2)=a,则 f(2)=( ) A.2 B. C. D.a2 )

6.如图所示的程序框图,当输入 n=50 时,输出的结果是 i=(

A.3

B.4

C.5

D.6 b>0) (a>0, 的离心率为 , 则 C 的渐近线方程为 ( )

7. 已知双曲线 C:

A.y=

B.y=

C.y=±x

D.y= )

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
第 1 页(共 20 页)

A.12 B.24 C.30 D.48 9.下列函数中,图象的一部分如图所示的是(



A.

B.

C.

D.

10.下列命题中,真命题是( ) x0 A.? x0∈R,使 e <x0+1 成立 B.对? x∈R,使 2x>x2 成立 C.a+b=0 的充要条件是 =﹣1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 11.设 P 是△ABC 内一点,且 A. + B. + + + C. = , + = ,则 D. + + =( )

12.函数 f(x)= A.11 个 B.10 个 C.22 个 D.20 个

在区间[﹣10,10]上零点个数为(



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=______. 14.若 x,y 满足约束条件 ,则 x﹣y 的取值范围是______.

15.在半径为 2 的球面中,有一个底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱的顶点都在 这个球面上,则该三棱柱的侧面积的最大值为______. n 16. a2=2, an+2﹣an=1+ 已知数列{an}满足 a1=1, (﹣1) , 则数列{an}的前 30 项的和为______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.设函数 f(x)=sin2x+ sinxcosx+ .

(1)求 f(x)的最小正周期;

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(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c 且函数 f(x)在 x=A 时取得最大 值 a,求△ABC 的面积 S 的最大值. 18.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6) 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 2 3 4 5 编号 n 1 76 72 70 72 成绩 xn 70 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概 率. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求三棱锥 C1﹣B1CD 的体积.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的中心在原点,经过点 A(0,1) ,其左、右焦点分 别为 F1、F2,且 ? =0.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点(﹣ ,0)的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与圆 O:x2+y2=r2(r >0)相切于点 Q,求 r 的值及△OPQ 的面积. 21.已知函数 f(x)=ex+ax+b(a,b∈R,e 是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若对一切 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)≥(m﹣1)x+n 恒成立,求 m+n 的最大值. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时, 请写清楚题号。[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC 的面积 S= AD?AE,求∠BAC 的大小.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 C1: (1)当 α= (t 为参数) ,圆 C2: (θ 为参数)

时,求 C1 被 C2 截得的线段的长;

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当 α 变化时,求 A 点轨迹的参数方程,并指 出它是什么曲线. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1; (2)设 f(x)=x2﹣x+1,实数 a 满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|)

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2016 年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1.设全集 U=R,集合 A={x|x2﹣x﹣2>0},B={x|1<2x<8},则(?UA)∩B 等于( ) A.[﹣1,3) B. (0,2] C. (1,2] D. (2,3) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由 U=R,集合 A={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x>2,或 x<﹣1},先求出 CUA={x|﹣1≤ x≤2},再由 B={x|1<2x<8}={x|0<x<3},求(CUA)∩B 的值. 【解答】解:∵U=R,集合 A={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x>2,或 x<﹣1}, ∴CUA={x|﹣1≤x≤2}, ∵B={x|1<2x<8}={x|0<x<3}, ∴(CUA)∩B={x|0<x≤2}. 故选 B.

2.设复数 z1=﹣1+3i,z2=1+i,则 A.﹣1﹣i B.1+i C.1﹣i D.﹣1+i

=(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把复数 z1=﹣1+3i,z2=1+i 代入 得答案. 【解答】解:∵z1=﹣1+3i,z2=1+i, ∴ = ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简

= 故选:C. 3.tan70°cos10°+ A.﹣ B.



sin10°tan70°﹣2sin50°=( C.﹣2 D.2



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】根据两角和正弦公式,二倍角公式,同角的三角函数的关系即可求出. 【解答】解:tan70°cos10°+ sin10°tan70°﹣2sin50°, =tan70°(cos10°+ sin10°)﹣2sin50°,
第 5 页(共 20 页)

=2tan70°( cos10°+ =2tan70°sin40°﹣2sin50° =2? =4?

sin10°)﹣2sin50°,

?2sin20°cos20°﹣2cos40° sin20°cos20°﹣2(2cos220°﹣1) ,

=4cos220°﹣4cos220°+2, =2, 故选:D. 4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 B.21 C.28 D.35 【考点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的性质求解. 【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4, ∴a1+a2+…+a7= 故选 C 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,若 g (2)=a,则 f(2)=( ) A.2 B. C. D.a2 =7a4=28 )

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,由条件 f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2, 构建方程组,然后求解即可. 【解答】解:∵f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,g(2)=a, ∴f(2)+g(2)=a2﹣a﹣2+2.①, ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴当 x=﹣2 时,f(﹣2)+g(﹣2)=a﹣2﹣a2+2 ② 即﹣f(2)+g(2)=a﹣2﹣a2+2,③ ①+③得:2g(2)=4,即 g(2)=2, 又 g(2)=a,∴a=2. 代入①得:f(2)+2=22﹣2﹣2+2, ∴f(2)=22﹣2﹣2=4﹣ = 故选:B. 6.如图所示的程序框图,当输入 n=50 时,输出的结果是 i=( ) .

第 6 页(共 20 页)

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 S=57 时满足条件 S> 50,退出循环,输出 i 的值为 6. 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=50,S=0,i=1 第一次执行循环体,S=1,i=2 不满足条件 S>50,执行循环体,S=4,i=3 不满足条件 S>50,执行循环体,S=11,i=4 不满足条件 S>50,执行循环体,S=26,i=5 不满足条件 S>50,执行循环体,S=57,i=6 满足条件 S>50,退出循环,输出 i 的值为 6. 故选:D.

7. 已知双曲线 C:

b>0) (a>0, 的离心率为

, 则 C 的渐近线方程为 (



A.y=

B.y=

C.y=±x

D.y=

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2,而渐近线方程为 y=± x,代入可得答案.

【解答】解:由双曲线 C:

(a>0,b>0) ,

则离心率 e= =

=

,即 4b2=a2,

故渐近线方程为 y=± x=

x,
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故选:D. 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12

B.24

C.30

D.48

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知其直观图,从而求其体积. 【解答】解:由三视图可知其直观图如下所示,

其由三棱柱截去一个三棱锥所得, 三棱柱的体积 V= ×4×3×5=30, 三棱锥的体积 V1= × ×4×3×3=6, 故该几何体的体积为 24; 故选 B. 9.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )

A.

B.

C.
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D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先根据图象求出函数的最小正周期,从而可得 w 的值,再根据正弦函数的平移变 化确定函数的解析式为 【解答】解:从图象看出, T= ,最后根据诱导公式可确定答案. , 个单位, ,

所以函数的最小正周期为 π,函数应为 y=sin2x 向左平移了 即 故选 D. =

10.下列命题中,真命题是( ) x0 A.? x0∈R,使 e <x0+1 成立 B.对? x∈R,使 2x>x2 成立 C.a+b=0 的充要条件是 =﹣1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 【考点】全称命题;特称命题. 【分析】根据函数的图象判断 A,根据特殊值法判断 B,根据 a,b 的取值判断 C,根据不 等式的性质判断 D 即可. 【解答】解:对于 A:画出函数 y=ex 和 y=x+1 的图象,如图示:



故 A 错误; 对于 B:令 x=﹣2,不成立,故 B 错误; 对于 C: =﹣1 是 a+b=0 的充分不必要条件,故 C 错误;

根据排除法,选 D, 故选:D.

11.设 P 是△ABC 内一点,且 A. + B. +

+

+ C.

= , +

=

,则 D.

+ +

=(



【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】根据向量加减运算的几何意义用 表示出 .

第 9 页(共 20 页)

【解答】解:∵ ∴3 ∵ ∴ = . = ,即 =

, .





=

+



故选:A.

12.函数 f(x)= A.11 个 B.10 个 C.22 个 D.20 个

在区间[﹣10,10]上零点个数为(



【考点】函数零点的判定定理. 【分析】利用导数得到函数在[0,+∞)上的单调性,作出函数图形的大致形状,数形结合 得答案. 【解答】解:令 y=(2x﹣1)e﹣x(x≥0) ,则 y′= ,

∴当 x∈[0, )时,y′>0,当 x∈(

)时,y′<0, )上为减函数,

∴y=(2x﹣1)e﹣x(x≥0)在[0, )上为增函数,在( 又 f(0)=﹣1,f(1)= ,

作出函数 f(x)=

在区间[﹣10,10]上的图象如图,

由图可知,函数 f(x)= 故选:A.

在区间[﹣10,10]上零点个数为 11 个.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= 3 .
第 10 页(共 20 页)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】根据导数的几何意义,即 f′(x0)表示曲线 f(x)在 x=x0 处的切线斜率,再代入 计算. 【解答】解:y=ax﹣ln(x+1)的导数 , 由在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 得 ,

则 a=3. 故答案为:3.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 x﹣y 的取值范围是 [﹣3,0] .

【考点】简单线性规划. 【分析】画出约束条件表示的可行域,推出三角形的三个点的坐标,直接求出 z=x﹣y 的范 围. 【解答】解:约束条件 ,表示的可行域如图,

由 由 由

解得 A(0,3) 、 解得 B(0, ) 、 解得 C(1,1) ;

结合函数的图形可知,当直线 y=x﹣z 平移到 A 时,截距最大,z 最小;当直线 y=x﹣z 平移 到 B 时,截距最小,z 最大 所以 z=x﹣y 在 A 点取得最小值,在 C 点取得最大值, 最大值是 1﹣1=0,最小值是 0﹣3=﹣3; 所以 z=x﹣y 的范围是[﹣3,0]. 故答案为:[﹣3,0]

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15.在半径为 2 的球面中,有一个底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱的顶点都在 这个球面上,则该三棱柱的侧面积的最大值为 12 . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】设底面等边三角形的边长为 a,三棱柱的高为 h.由题意可得:22= + ,利用基本不等式的性质、侧面积的计算公式即可得出.

【解答】解:设底面等边三角形的边长为 a,三棱柱的高为 h. 由题意可得:22= 化为:4a2+3h2=48. ∴48≥ ∴侧面积 S=3ah≤12 故答案为:12 . ,化为:ah≤4 .当且仅当 a= ,h=2 时取等号. . + ,

,即该三棱柱的侧面积的最大值为 12

n 16. a2=2, an+2﹣an=1+ 已知数列{an}满足 a1=1, (﹣1) , 则数列{an}的前 30 项的和为 255 . 【考点】数列的求和. 【分析】当 n 为奇数时,an+2﹣an=0,可得 a1=a3=…=a29.当 n 为偶数时,an+2﹣an=2,利用 等差数列的相同公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:当 n 为奇数时,an+2﹣an=0,∴a1=a3=…=a29=1. 当 n 为偶数时,an+2﹣an=2, ∴{a2n}是等差数列,公差为 2. 可得 a2n=2+(n﹣1)×2=2n. ∴数列{an}的前 30 项的和=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)

=15+ =15+240 =255. 故答案为:255. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.设函数 f(x)=sin2x+ sinxcosx+ .

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c 且函数 f(x)在 x=A 时取得最大 值 a,求△ABC 的面积 S 的最大值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2x﹣ 利用周期公式即可求得最小正周期. )+1,

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(2)由三角形面积公式可得 bcsinA=

bc,由 f(A)=a,结合范围,得到 A=

,由余

弦定理可得:4+bc=b2+c2,利用基本不等式可得 bc≤4,即可得到三角形 ABC 的面积的最大 值. 【解答】解: (1)∵f(x)=sin2x+ ∴f(x)=﹣ cos2x+ sinxcosx+ , )+1,

sin2x+1=sin(2x﹣ =π.

∴f(x)的最小正周期为 T=

(2)∵f(x)在 x=A 时取得最大值 a, ∴a=2,A= ,

∴由余弦定理可得:cosA= = ∴4+bc=b2+c2≥2bc, ∴bc≤4,b=c=2 时取等号, ∴△ABC 的面积为 bcsinA= ∴△ABC 的面积最大值为 . bc≤ ,



18.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6) 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 2 3 4 5 编号 n 1 76 72 70 72 成绩 xn 70 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概 率. 【考点】极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (1)根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式,在表示式中有一个未知量,根 据解方程的思想得到结果,求出这组数据的方差,再进一步做出标准差. (2)本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从 5 位同学中选 2 个,共有 C52 种结果, 满足条件的事件是恰有一位成绩在区间(68,75)中,共有 C41 种结果,根据概率公式得到 结果. 【解答】解: (1)根据平均数的个数可得 75= ∴x6=90, 这六位同学的方差是 (25+1+9+25+9+225)=49, ∴这六位同学的标准差是 7 (2)由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是从 5 位同学中选 2 个,共有 C52=10 种结果, 满足条件的事件是恰有一位成绩在区间(68,75)中,共有 C41=4 种结果,
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根据古典概型概率个数得到 P=

=0.4.

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求三棱锥 C1﹣B1CD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)取 A1B1 的中点 E,连结 AE,DE,C1E,则四边形 CDEC1,ADB1E 是平行四 边形,故而 CE1∥CD,AE∥B1D,于是平面 AC1E∥平面 CDB1,所以 AC1∥平面 CDB1. (2)由勾股定理的逆定理得出 AC⊥BC,由 CC1⊥平面 ABC 得出 AC⊥C1C,故 AC⊥平面 BCC1B1,于是 D 到平面 BCC1B1 的距离为 .

【解答】解: (1)取 A1B1 的中点 E,连结 AE,DE,C1E, 则 DE ,AD B1E,

∴四边形 CDEC1,ADB1E 是平行四边形, ∴CE1∥CD,AE∥B1D, 又 C1E? 平面 AC1E,AE? 平面 AC1E,CD? 平面 CDB1,DB1? 平面 CDB1,C1E∩AE=E, CD∩DB1=D, ∴平面 AC1E∥平面 CDB1,∵AC1? 平面 AC1E, ∴AC1∥平面 CDB1. (2)∵AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC2+BC2=AB2,即 AC⊥BC. ∵CC1⊥平面 ABC,AC? 平面 ABC, ∴AC⊥C1C,又 C1C∩BC=C,C1C? 平面 BCC1B1,BC? 平面 BCC1B1, ∴AC⊥平面 BCC1B1, ∵D 是 AB 的中点, ∴D 到平面 BCC1B1 的距离 h= AC= . ∴V =V = = =4.

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20.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的中心在原点,经过点 A(0,1) ,其左、右焦点分 别为 F1、F2,且 ? =0.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点(﹣ ,0)的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与圆 O:x2+y2=r2(r >0)相切于点 Q,求 r 的值及△OPQ 的面积. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为 =1(a>b>0) ,由椭圆 E 经过点 A(0,1) ,

?

=0,求出 a,b,由此能求出椭圆 E 的方程.

(Ⅱ)设直线 l:y=k(x+

) ,联立

,得(2k2+1)x2+4

x+6k2﹣2=0,

由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式,结合已知条件能求出 r 的值及△ OPQ 的面积. 【解答】解: (Ⅰ)∵在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的中心在原点,其左、右焦点分别 为 F1、F2, ∴设椭圆 E 的方程为 =1(a>b>0) ,

∵椭圆 E 经过点 A(0,1) ,∴b=1, ∵ ? =0,且 AF1=AF2,

∴b=c=1,∴a2=1+1=2, ∴椭圆 E 的方程是 .

(Ⅱ)设直线 l:y=k(x+

) ,联立



整理,得(2k2+1)x2+4 ∴

x+6k2﹣2=0,① ,
第 15 页(共 20 页)

∵直线 l 与椭圆相切,∴△=0,解得 k=±1, 代入方程①中,得到 代入直线 l 的方程中,得 y= ,解得 x=﹣ ,即 P(﹣ , , ) ,

又∵直线 l 与圆 x2+y2=r2 相切,∴r=

=

=



∵|OP|= ∴|PQ|= S△ OPA= = . =

=

, ,

21.已知函数 f(x)=ex+ax+b(a,b∈R,e 是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若对一切 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)≥(m﹣1)x+n 恒成立,求 m+n 的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)根据导数的几何意义,建立方程关系即可求 a,b 的值; (Ⅱ)将不等式恒成立进行转化,构造函数,求函数的导数,利用函数单调性,极值和最值 与导数的关系进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)函数的导数 f′(x)=ex+a, ∵函数 f(x)在点(0,1)处的切线与 x 轴平行, ∴f′(0)=0, 即 f′(0)=e0+a=1+a=0,则 a=﹣1, 又 f(0)=1+b=1,则 b=0; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=ex﹣x, 则不等式 f(x)≥(m﹣1)x+n 恒成立等价为 ex≥mx+n, 即 ex﹣mx﹣n≥0, 设 g(x)=ex﹣mx﹣n,则 g′(x)=ex﹣m, 当 m≤0 时,g′(x)>0 恒成立,则 g(x)在 R 上递增,没有最小值,故不成立, 当 m>0 时,由 g′(x)=0 得 x=lnm, 当 g′(x)<0 时,得 x<lnm,当 g′(x)>0 时,得 x>lnm, 即当 x=lnm 时,函数取得最小值 g(lnm)=elnm﹣mlnm﹣n=m﹣mlnm﹣n≥0, 即 m﹣mlnm≥n,2m﹣mlnm≥m+n, 令 h(m)=2m﹣mlnm,则 h′(m)=1﹣lnm, 令 h′(m)=0 得 m=e, 当 0<m<e 时,h(m)单调递增,当 m>e 时,h(m)单调递减, 故当 m=e 时,h(m)取得最大值 h(e)=e, ∴e≥m+n, 故 m+n 的最大值为 e.

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时, 请写清楚题号。[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC 的面积 S= AD?AE,求∠BAC 的大小.

【考点】圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 (1)要判断两个三角形相似,可以根据三角形相似判定定理进行证明,但注意观察 已知条件中给出的是角的关系,故采用判定定理 1 更合适,故需要再找到一组对应角相等, 由圆周角定理,易得满足条件的角. (2)根据(1)的结论,我们可得三角形对应对成比例,由此我们可以将△ABC 的面积 转化为 S= AB?AC,再结合三角形面积公式,不难得到∠BAC 的大小. 【解答】证明: (1)由已知△ABC 的角平分线为 AD, 可得∠BAE=∠CAD 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD 故△ABE∽△ADC. 解: (2)因为△ABE∽△ADC, 所以 ,

即 AB?AC=AD?AE. 又 S= AB?ACsin∠BAC, 且 S= AD?AE, 故 AB?ACsin∠BAC=AD?AE. 则 sin∠BAC=1, 又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90°. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 C1: (1)当 α= (t 为参数) ,圆 C2: (θ 为参数)

时,求 C1 被 C2 截得的线段的长;

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(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当 α 变化时,求 A 点轨迹的参数方程,并指 出它是什么曲线. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)联立两个解析式,得到交点,利用两点距离公式得到截得线段的长. (2)由 A 对应的参数,得到的参数方程,由此得到普通方程. 【解答】解: (1)当 a= 时,C1 的普通方程为 y= (x﹣1) ,C2 的普通方程为 x2+y2=1.

联立方程组



解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)与( ,﹣

) .

所以,C1 被 C2 截得的线段的长为 1. (2)将 C1 的参数方程代 C2 的普通方程得 t2+2tcosα=0, ∴A 点对应的参数 t= =﹣cosα,

∴A 点坐标为(sin2α,﹣cosαsinα) . 故当 α 变化时,A 点轨迹的参数方程为: 因此,A 点轨迹的普通方程为(x﹣ )2+y2= . 故 A 点轨迹是以( ,0)为圆心,半径为 的圆. (α 为参数) .

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1; (2)设 f(x)=x2﹣x+1,实数 a 满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|) 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)根据题意,对 x 分 3 种情况讨论:①当 x<0 时,②当 0≤x< 时,③当 x ≥ 时;在各种情况下.去掉绝对值,化为整式不等式,解可得三个解集,进而将这三个解 集取并集即得所求. (2)根据|f(x)﹣f(a)|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|?|x+a﹣1|<|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤ |x﹣a|+|2a﹣1|<1+|2a|+1,证得结果. 【解答】 (1)解:根据题意,对 x 分 3 种情况讨论: ①当 x<0 时,原不等式可化为﹣2x+1<﹣x+1,解得 x>0,又 x<0,则 x 不存在, 此时,不等式的解集为?. ②当 0≤x< 时,原不等式可化为﹣2x+1<x+1,解得 x>0,又 0≤x< , 此时其解集为{x|0<x< }.

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③当 x≥ 时,原不等式化为 2x﹣1<x+1,解得 ≤x<2, 又由 x≥ ,此时其解集为{x| ≤x<2}, 综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)证明:∵f(x)=x2﹣x+1,实数 a 满足|x﹣a|<1, 故|f (x) ﹣f (a) |=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|?|x+a﹣1|<|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a ﹣1|<1+|2a|+1=2(|a|+1) . ∴|f(x)﹣f(a)|<2(|a|+1) .

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2016 年 9 月 20 日

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