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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 课件 第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题


创新方案系列丛书

第二讲 函数的图象与性质 (选择、填空题型)

高考专题辅导与测试·数学

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1 1.(2014· 山东高考)函数 f(x)= 的定义域为( ?log2x?2-1
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? ? C. 0,2?∪(2,+∞) ? ?

)

B.(2,+∞)
? 1? ? D. 0,2?∪[2,+∞) ? ?

解析:选 C

(log2x)2-1>0,即 log2x>1 或 log2x<-1,解得 x>2

? 1? 1 ? 或 0<x<2,故所求的定义域是 0,2?∪(2,+∞). ? ?

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2.(2014· 福建高考 )已知函数 论正确的是( ) B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)
2 ? x ? +1,x>0, f(x)= ? ? ?cos x,x≤0,

则下列结

A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数
解析:选 D

因为 f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以 f(-π)≠f(π),所以

函数 f(x)不是偶函数,排除 A;因为函数 f(x)在(-2π,-π)上单调递减, 排除 B;函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)不是周期函数, 排除 C;因为 x>0 时,f(x)>1,x≤0 时,-1≤f(x)≤1,所以函数 f(x)的值 域为[-1,+∞),故选 D.
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3.(2014· 湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和 奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析: 选C

)

用“-x”代替“x”,得 f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2

+1,化简得 f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令 x=1,得 f(1)+g(1)=1,故选 C.

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4.(2014· 陕西高考)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距 着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某 三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 3 A.y=125x -5x 3 3 C.y=125x -x

2 3 4 B.y=125x -5x 3 3 1 D.y=-125x +5x
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解析:选 A 设所求函数解析式为 y=f(x),由题意知 f(5)=

1 3 3 -2,f(-5)=2,且 f′(± 5)=0,代入验证易得 y=125x -5x 符合题意, 故选 A.

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5. (2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定 点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

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解析:选 B 由题意知,f(x)=|cos x|· sin x,当
? π? x∈?0,2?时,f(x)= ? ?

?π ? 1 1 cos x· sin x=2sin 2x; 当 x∈?2,π?时,f(x)=-cos x· sin x=-2sin 2x, ? ?

故选 B.

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1.函数的三个性质 (1)单调性 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2, 且 x 1<x 2,都有 f(x1)<f(x2) 成立, 则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x 1)>f(x 2) 成立,则 f(x) 在 D 上是减函数). (2)奇偶性 对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称),都有 f(-x)=- f(x)成立,则 f(x)为奇函数(都有 f(-x)= f(x)成立,则 f(x)为偶函数). (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: ①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+ T)=f(x); ②T 是不为零的最小正数.
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2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f (x)满足 f (x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设 f (x)是 R 上的偶函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f (x)是周期函 数,2a 是它的一个周期. ③设 f (x)是 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f (x)是周期函 数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数 y=f (x)满足 f (a+x)=f (a-x),即 f (x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. ②若函数 y=f (x)满足 f (a+x)=-f (a-x),即 f (x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关于 点(a,0)对称. a+b ③若函数 y=f (x)满足 f (a+x)=f (b-x),则函数 f (x)的图象关于直线 x= 对 2 称.

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1 1.函数 f(x)= + 4-x 2 的定义域为( ln?x+ 1? A.[ -2,0)∪(0,2] C.[- 2,2] B.( -1,0)∪(0,2] D.(- 1,2] )

? 1? ? ?-? ?x,a≤x <0, 2.(2014· 长春模拟 )已知函数 f(x) = ? ?2? 的值域是 2 ? ?-x + 2x, 0≤x ≤ 4

[-8,1], 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,- 3] C.[- 3,- 1]

) B.[- 3,0) D.{ -3}

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? ?1,x >0, ? ? ?-1,x <0.

3.(2014· 三 明 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = m+n+?m-n?f?m-n? 的值( 2 A.一定是 m C.是 m 、n 中较大的数

若 m≠n, 则

) B.一定是 n D.是 m、n 中较小的数

4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, 当 x∈[ -1,1)时,f(x)=
2 ? ?-4x + 2,- 1≤x <0, ? ? ?x, 0≤x<1,



=________.

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[自主解答] 0<x≤2. 2. 当 0≤x≤4 时 ,f (x) ∈ [ - 8,1], 当 a≤x<0
? ? 1 1 ? ? - ,- 1 ? [ - 8 , - 1 ], - 8 ≤ - <-1,即-3≤a<0. a ? 2 ? 2a ? ?

1.x

x+1>0, ? ? 需满足?x+1≠1, ? ? 4-x2≥0,

x>-1, ? ? 即?x≠0, ? ? -2≤x≤2,

解得-1<x<0 或

? ? 1? ? ? ? ?a 时 ,f (x) ∈ ?-? 2? ,-1? ?,所以 ? ? ? ?

?1 ?m>n?, 3.由题意可知 f (m-n)=? 所以 ? -1 ?m<n?,

?m+n+?m-n?,?m>n? 2 m+n+?m-n?f ?m-n? ? =? 2 m+n-?m-n? ? ,?m<n? 2 ?

?m,?m>n?, =? 所以 ?n,?m<n?,

m+n+?m-n?f ?m-n? 的值是 m、n 中较大的数,故选 C. 2 ? 1? ? 1? ?3? ? ? ? ?2 ? 4.由已知易得 f ?- ?=-4 × ?- ? +2 =1,又由函数的周期为 2, 可得 f ? ? ?= ? 2? ? 2? ?2? ? 1? ? ? ?- ?=1. ? 2? [答案] 1.B 2.B 3.C 4.1 高考专题辅导与测试·数学

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在题 2 中,当 a 取得最小值时,若方程 f(x)=m 有且只有一个实数根,求 m 的取值范围.
解:由题 2 可知 ,a 的最小值为- 3,则 f(x)的图象如图所示 .方 程 f(x)= m 有且只有一个实数根 ,等价于函数 y= f(x)的图象与直线 y= m 有且只有一个公共点 ,由图可知 ,m 的取值范围为{m|m= 1 或 - 1≤m<0}.

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函数值和值域的求法 (1)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解 即可,在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式; (2)求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结合

法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解的方法.

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x x 1.(2014· 内江模拟 )若函数 f(x)= - ,则函数 f(x)( 1- 2x 2 A.是偶函数, 在(-∞, 0)是增函数 B.是偶函数,在(-∞,0)是减函数 C.是奇函数,在(-∞,0)是增函数 D.是奇函数, 在(-∞, 0)是减函数

)

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2.函数 f(x)的定义域为{x∈ R|x ≠1},对定义域中任意的 x,都有 f(2 -x)=f(x),且当 x<1 时,f(x)=2x 2-x .那么当 x >1 时,f(x)的递增区间是 ( )
?5 ? ? A. ,+∞ ? ?4 ? ?7 ? C.? ,+∞? ?4 ? ? 5? ? B. 1, ? 4? ? ? 7? D.?1, ? 4? ?

3.已知函数 f(x)对任意 x ∈R 都有 f(x+6) +f(x)=2f(3), y=f(x-1) 的图象关于点(1,0)对称, 且 f(4)= 4, 则 f(2 012)=( A. 0 B.- 4 C.- 8 D.- 16 )

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[自主解答]

x x 1.法一:由定义易得 ,函数 f(x)= - 为偶函数 . 1- 2x 2

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1- 2x- x?- 2xln 2? 1 1+ 2x× 2xln 2- 22x 求 导 得 : f′(x) = - = = x 2 x 2 2 ?1- 2 ? 2?1- 2 ? 2 x+ 2x×ln 2- 2x x -x x 2 .(这里之所以在分子提 2 出来 ,目的是便于将分子 2× 2 ?1- 2 ?


求导) 再令 g(x)= 2 x+ 2x×ln 2- 2x,


则 g′(x) = - 2 xln 2 + 2ln 2 - 2xln 2 = - ln 2×(2


-x

+ 2x -


2)<0(x>0), 当 x>0 时 ,- ln 2×(2 x+ 2x- 2)<- ln 2×(2- 2)= 0,所以 g(x)= 2


x

+ 2x×ln 2- 2x 在 x>0 时单调递减 ,g(x)<g(0)= 0,从而 f′(x)<0,所以 f(x) x x x - 在 (0 , + ∞ ) 上是减函数 , 由偶函数的对称性知 , f ( x ) = - 1- 2x 2 1- 2x
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x 在 (- ∞,0)上是增函数 . 2

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x x 法二:由定义易得 ,函数 f(x)= - 为偶函数 .结合选项来看 , 1- 2x 2 函数在 (- ∞,0)上必单调 ,故取特殊值来判断其单调性.f(1) = 1 1 - 1- 2 2

3 2 2 5 3 x x =- ,f(2)= - =- <- ,所以 f(x)= - 在 (0,+ ∞)上是减 2 3 2 1- 4 2 1- 2x 2 x x 函数 ,由偶函数的对称性可知 ,f(x)= - 在 (- ∞,0)上是增函数 .选 1- 2x 2 A. 2.由 f(2- x)= f(x),得函数图象关于直线 x= 1 对称,当 x<1 时 ,递减
? 1? ? 区间是 - ∞, ?,由对称性得 4? ?

C.

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3.由 y= f(x- 1)的图象关于点 (1,0)对称可知 ,函数 f(x)的图象关于 点 (0,0)对称 ,即函数 f(x)为奇函数 .在已知等式中取 x=- 3,得 f(3)+ f(- 3)= 2f(3),f(- 3)= f(3),又 f(- 3)=- f(3),因此 f(3)=0.所以 f(6+ x) + f(x)= 0,f(12+ x)+ f(6+ x)= 0,因此有 f(12+ x)= f(x),即函数 f(x)是一 个周期为 12 的周期函数 .由于 2 012= 12×168- 4,因此 f(2 012)= f(- 4)=- f(4)=- 4. [答案] 1.A 2.C 3.B

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1.四招破解函数的单调性 (1)对于选择、填空题,若能画出图象一般用数形结合法; (2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常 转化为基本初等函数的单调性问题来解决; (3)对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数 常用导数法; (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数的奇偶性应关注三点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称; (3)对于偶函数而言,有f(-x)=f(x)=f(|x|).
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[例 1] (1)函数 f(x)= -x 的图象大致为( 2 -1

2

-x

)

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(2)(2014· 宜春模拟 )一电子广告 ,背景是由固定的一系列下顶点相 接的正三角形组成,这列正三角形的底边在同一直线上 ,正三角形的内 切圆由第一个正三角形的 O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图), 设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积 S 关 于时间 t 的函数为 S=f(t),则下列图中与函数 S=f(t)图象最近似的是 ( )

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(3)(2014· 安徽高考)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实 数 a 的值为( A.5 或 8 C.-1 或-4 ) B.-1 或 5 D.-4 或 8

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[师生共研 ] 2 x-1+1 1 (1)将解析式变形整理 ,f(x)= -x =1+ -x , 2 -1 2 -1


1 1 当 x>0 时,f(x)=1+ -x ∈(-∞,0),当 x<0 时,f(x)=1+ -x ∈(1, 2 -1 2 -1 +∞),只有 A 选项符合题意. (2) 滚动中的圆与一系列正三角形的重叠部分 ( 如图中的阴影 ) 的 面积 s 关于时间 t 的关系呈周期性变化,且两者之间是非线性变化,故排 除答案 D; 当圆滚动到两三角形的连接点时,阴影部分的面积取最小值, 但仍不为 0,故排除答案 C;又由当 t=0 时,阴影部分的面积取最大值, 可排除答案 A;故选 B.

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3x+a+1,x>-1, ? ? ?x+a-1,-a≤x≤-1, 2 (3)当 a≥2 时,f(x)=? ? a -3x-a-1,x<-2, ? ?
? a? a a 如图 1 可知,当 x=-2时,f(x)min=f?-2?=2-1 ? ?

=3,可得 a=8; a ? ?3x+a+1,x>-2, ? a 当 a<2 时,f(x)=? ?-x-a+1,-1≤x≤-2, ? ?-3x-a-1,x<-1,
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? a? a a ? ? 如图 2 可知,当 x=-2时,f(x)min=f -2 =-2+1=3,可得 a=-4. ? ?

综上可知,答案为 D.

[答案]

(1)A

(2)B

(3)D

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作图、识图、用图的技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法 .图象变换法常用的有平移变 换、伸缩变换和对称变换 . (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化 趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系 . (3)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时 ,要注意 用好其与图象的关系 ,结合图象研究 .但是 ,在利用图象求交点个数或 解的个数时 ,作图要十分准确 ,否则容易出错 .

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1.已知函数 y=f(x)的定义域是 R, 若对于任意的正数 a,函数 g(x)= f(x+a)-f(x)是其定义域上的增函数, 则函数 y =f(x)的图象可能是( )

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解析:选 A 设 x1<x 2,由 g(x)为其定义域上的增函数 ,得 f(x1+

a) - f(x1)<f(x 2 + a) - f(x2), 即 f(x 1 + a) - f(x 2 + a)<f(x1) - f(x2), 所 以 f?x1+ a?- f?x2+a? f?x1?- f?x2? > , 即曲线 y= f(x)的割线的斜率单调递 x1- x2 ?x1+ a?-?x2+ a? 增 ,结合函数图象可知 ,选项 A 正确 .

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2.设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1].若 1 n-m 的最小值为3,则实数 a 的值为( 1 2 A.3或3 )

2 3 1 1 1 3 B.3或4 C.4或3 D.4或4 解析:选 B 如 图 作 出 f(x) = |logax| 的 图 象 , 因 为 0<a<1
?1 ? 1 1 1 ? ? 时,A(a,1),B a,1 ,此时满足条件的(n-m)min=1-a=3或a-1=3,解得 ? ?

a

2 3 =3或 a=4,经验证均符合条件.

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[例 2] (2014· 湖北高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 1 当 x≥0 时,f(x)=2(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若?x∈R,f(x-1)≤f(x),则 实数 a 的取值范围为(
? 1 1? A.?-6,6? ? ? ? B.?- ?

) 6 6? ? 6,6?
? 1 1? C.?-3,3? ? ? ? D.?- ?

3 3? ? 3,3?

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-x,0≤x≤a , ? ? 2 2 2 师生共研] 当 x≥0 时,f(x)=?-a ,a <x≤2a , 又 f(x)为奇函 ? ?x-3a2,x>2a2, 数 ,可得 f(x)的图象如图所示 ,由图象可得 , 当 x≤2a2 时 ,f(x)max = a2,当 x>2a2 时,令 x-3a2=a2,得 x=4a2,又?x∈R,f(x-1)≤f(x),可知 4a2-(- 2a
2 2

? )≤1?a∈?- ?

6 6? ?,选 B. 6,6?

[答案] B
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解决与函数有关的综合问题的常见切入点 (1)已知函数的单调性和周期性 ,常画出函数的图象求解; (2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性 ,常画出函数的图象求 解; (3)求函数的最值或值域时 ,常结合相应函数在待求区间上图象的 最高点、最低点的纵坐标求解; (4)求解方程 (不等式 )中的参数的取值范围时 ,常借助函数性质求 解.

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3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x),当 x∈[0,2)时,f(x)= x -x,x∈[0,1?, ? ? t 1 ? ?1?? 3? 若 x∈[-4,-2)时,f(x)≥4-2t恒成立,则实 ? ?? ? ? ?-?2??x-2?,x∈[1,2?, 数 t 的取值范围是( A.[-2,0)∪(0,1) C.[-2,1] ) B.[-2,0)∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪(0,1]
2

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解析:选 D 1 1 当-4≤x<-3 时,0≤x+4<1,f(x)=2f(x+2)=4f(x+

1 1 1 2 4)=4[(x+4) -(x+4)],即 f(x)=4(x+4)(x+3).此时,-16≤f(x)≤0.当- 3? 1 1 1 ?1?? ? ??x+4- ?= 3≤x<-2 时,1≤x+4<2,f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)=-4· 2? ?2?? 1 ?1?? 5? 1 2 ? ??x+ ?.此时,- ≤f(x)≤- .所以 f(x)在[-4,-2)上的最小值为 -4· 2? 4 8 ?2??
2 ?t+2??t-1? 1 1 t +t-2 t 1 t 1 -4.f(x)≥4- 2t恒成立 ,则4 -2t≤-4,即 ≤0 , ≤0 , 即 t t

t≤-2 或 0<t≤1.

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[例 3] (1)(2014· 山东高考 )已知函数 y=f(x)(x ∈R).对函数 y= g(x)(x∈I),定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为函数 y =h(x)(x∈I),y= h(x)满足: 对任意 x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若 h(x) 是 g(x)= 4-x 2 关于 f(x)=3x +b 的“对称函数”,且 h(x)>g(x)恒成立, 则实数 b 的取值范围是________.

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(2)(2014· 南京模拟)对于函数 f(x),若存在区间 M=[a,b],使得{y |y =f(x),x∈M}= M,则称区间 M 为函数 f(x)的一个“好区间”,给出下 列 4 个函数: ①f(x)=sin x;②f(x)= |2x- 1|;③f(x)=x3-3x ;④f(x) =lg x+ 1. 其中存在“好区间”的函数是 ________.( 填入所有满足条件函 数的序号)

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[师生共研] (1)函数 g(x)的定义域是 [- 2,2], h?x?+g?x? 根据已知得 = f(x), 2 所以 h(x)= 2f(x)- g(x)= 6x+ 2b- 4- x2 . 又 h(x)>g(x)恒成立 , 即 6x+ 2b- 即 3x+ b> 4- x2> 4- x2恒成立 ,

4- x2 恒成立 .令 y= 3x+ b,y= 4- x2 , |b| >2, 10

则只要直线 y= 3x+ b 在半圆 x2+ y2= 4(y≥0)上方即可,由 解得 b>2 10(舍去负值 ), 故实数 b 的取值范围是 (2 10 ,+ ∞).

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(2) ① 函 数 f(x) = sin x
? π π? 在 ?- , ? 上 是 单 调 增 函 数 , 若 函 数 在 ? 2 2?

? π π? ?- , ? 上存在 “好区间 ”[a,b],则必有 ? 2 2?

sin a= a,sin b= b,即方程 sin x

? π π? = x 有两个根,令 g(x)= sin x- x,g′(x)= cos x- 1≤0 在 ?- , ?上恒成 ? 2 2?

立 ,所以函数

? π π? g(x)在?- , ?上为减函数 ,则函数 ? 2 2?

? π π? g(x)在?- , ?上至多 ? 2 2?

? π π? 有一个零点 ,即方程 sin x= x 在?- , ?上不可能有两个解 ,又因为函数 ? 2 2?

π π f(x)的值域为 [- 1,1],所以当 x<- 或 x> 时 ,方程 sin x= x 无解 .所以函 2 2 数 f(x)= sin x 没有 “好区间 ”;
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②对于函数 f(x)= |2x- 1|, 该函数在 [0,+ ∞)上是增函数由幂函数 的性质我们易得 ,M= [0,1]时 ,f(x)∈ [0,1]= M,所以 M= [0,1]为函数 f(x) = |2x- 1|的一个 “好区间 ”. ③对于函数 f(x)= x3- 3x,f′(x)= 3x2- 3= 3(x- 1)· (x+ 1),当 x∈(- 1,1)时 ,f′(x)<0,所以函数 f(x)= x3- 3x 的增区间有 (-∞,- 1)和 (1,+ ∞), 减区间是 ( - 1,1), 取 M= [- 2,2], 此时 f( - 2) =- 2,f( - 1) = 2,f(1) =- 2,f(2)= 2,所以函数 f(x)= x3- 3x 在 M= [- 2,2]上的值域是 [- 2,2],则 M = [- 2,2]为函数的一个 “好区间 ”;

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④函数 f(x)= lg x + 1 在定义域 (0,+ ∞)上为增函数 ,若有 “好区 间 ”[a,b]则 lg a+ 1= a,lg b+ 1= b,也就是函数 g(x)= lg x- x+ 1 有两个 1 1 零点 ,显然 x= 1 是函数的一个零点,由 g′(x)= - 1<0, 得 ,x> , ln 10 xln 10 函数
? 1 ? ? g(x) 在 ,+ ∞? 上 为 减 函 数 ; 由 ln 10 ? ?

1 g′(x) = - 1>0, 得 xln 10

? ? 1 ? 1 1 ? ? ? ?>g(1) x< ,函数在 0, 上为增函数 ,所以 g(x)的最大值为 g? ln 10 ln 10? ? ?ln 10? ? 1 ? ?上还有一个零点 .所以函数 = 0,则该函数 g(x)在?0, ln 10? ?

f(x)= lg x+ 1

存在 “好区间 ”. [答案] (1)(2 10,+∞) (2)②③④
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解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义 ,然后把其转 化为熟悉的数学问题求解 .如本例 (1) 通过对 “ 对称函数 ” 的理解 ,将 问题转化为熟知的直线与圆的位置关系 ,从而使问题得以顺利解决 .

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4.在平面直角坐标系中,若两点 P、 Q 满足条件; ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 两点关于直线 y=x 对称,则称点对 {P, Q}是函数 y=f(x)的 一对“和谐点对”.(注:点对{ P,Q}与{Q, P} 看作同一对“和谐点对”) 已知函数 ( ) A. 0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对
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2 ? ?x + 3x+ 2?x≤ 0?, f(x) = ? ? ?log2 x?x>0?,

则此函数的“和谐点对”有

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解析:选 C 作出函数 f(x)的图象 ,然后作出 f(x)= log2 x(x>0)关于 直线 y=x 对称的图象 ,与函数 f(x)= x2+ 3x+ 2(x≤0)的图象有 2 个不同 交点 ,所以函数的 “和谐点对 ”有 2 对 .

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1 5.设函数 f(x)=x- ,对任意 x ∈[1, +∞),使不等式 f(mx )+mf(x)<0 x 恒成立的实数 m 称为 函数 f(x) 的“伴随值”, 则 m 的取值范围是 ________.
解析:由题意知 f(x)为增函数且 m≠0,若 m>0,由函数的单调性可 知 f(mx)和 mf(x)均为增函数 ,此时不符合题意 ,若 m<0, 则 f(mx)+ mf(x)<0
? 1? 1 1 m 1 ? 可化为 mx- + mx- <0,所以 2mx- m+ ?·<0,即 1+ 2<2x 2,因为 m? x mx x m ?

1 y= 2x 在 x∈ [1,+ ∞)上的最小值为 2,所以 1+ 2<2,即 m2>1,解得 m< m
2

- 1. 答案:(-∞,-1)
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