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陕西省西北农林科大附中2015—2016学年高二上学期第二次月考数学(理)试卷


西北农林科大附中 2015-2016 学年第一学期第二次月考试题(卷)

高二年级数学(理)
命题人:刘明军 时间:90 分钟 审题人:韩明亮 总分:120 分

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若命题 p:0 是偶数,命题 q

:2 是 3 的约数,则下列命题中为真的是( A.p 且 q B.p 或 q C.非 p ) B.若 n?M,则 m∈M D.若 n∈M,则 m?M ) D.以上都不对 )

2.与命题“若 m∈M,则 n?M”等价的命题( A.若 m?M,则 n?M C.若 m?M,则 n∈M

3.命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为(
2 A.存在 x0∈R,使得 x0 <0

B.对任意 x∈R,使得 x2<0 D.不存在 x∈R,使得 x2<0 )

C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0

4.在空间中,已知动点 P(x,y,z)满足 z=0,则动点 P 的轨迹是( A.平面 B.直线

C.不是平面,也不是直线 D.以上都不对

→ 5.已知 i,j,k 是空间直角坐标系 O-xyz 的单位正交基底,并且AB=-i+j-k 则 B 点的坐 标为( ) D.不确定 )

A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1)

6.若平面 α,β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则( A.α∥β B.α⊥β C.α、β 相交但不垂直 D.以上均不正确 )

7.设函数 f(x)=x2+mx(m∈R),则下列命题中的真命题是( A.任意 m∈R,使 y=f(x)都是奇函数 B.存在 m∈R,使 y=f(x)是奇函数 C.任意 m∈R,使 y=f(x)都是偶函数 D.存在 m∈R,使 y=f(x)是偶函数

8.若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数 λ 的值是( A.-1 B.0 C.1 D.-2

)

→ → 9.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC与AB的夹角为( A.30° B.45° C.60° D.90°

)

10. 已知 E, F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC, CC1 的中点, 则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是( )

2 A. 3

B.

2 3

C.

5 3

2 3 D. 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.在△ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的________________条件。 12.命题“存在 x∈R,使 x2+ax+1<0”为真命题,则实数 a 的取值范围_______. 13.在下列四个命题中,真命题的个数是__________________. ①?x∈R,x2+x+3>0; 1 1 ②?x∈Q, x2+ x+1 是有理数; 3 2

③?α,β∈R,使 sin(α+β)=sin α+sin β;④?x0,y0∈Z,使 3x0-2y0=10. 14.若空间三点 A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(p,3,q+2)共线,则 p=_____,q=____. → 15.在空间平移△ABC 到△A1B1C1(使△A1B1C1 与△ABC 不共面),连接对应顶点,设AA1=a, → → → → AB=b,AC=c,M 是 BC1 的中点,N 是 B1C1 的中点,用基底{a,b,c}表示向量AM+AN的结 果是________________.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分,16、17、18 题各 10 分,19 题 15 分)
16(10 分).写出命题“若 x-2+(y+1)2=0,则 x=2 且 y=-1”的逆命题、否命题、逆否命 题,并判断它们的真假.
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 17. (10) 设 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其中 a ? 0 ;q : 实数 x 满足 ? 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

2

2

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18(10 分)用向量证明:若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影, 则这两条直线垂直。 19(15 分).如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB⊥AC,AB=1, AC=AA1=2,AD=CD= 5,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D1-AC-B1 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 A1B1 上的点. 1 若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 的长. 3

西北农林科大附中 2014-2015 学年第一学期期中考试

高二数学答案
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 5 6 C 13. 4 7 D 8 D 9 C 10 C D A 二.填空题:11.充要条件 12. a>2 或 a<-2 3 14. 3 2 15. a+b+c 2

16. 解:逆命题:若 x=2 且 y=-1,则 x-2+(y+1)2=0,真命题. 否命题:若 x-2+(y+1)2≠0,则 x≠2 或 y≠-1,真命题. 逆否命题:若 x≠2 或 y≠-1,则 x-2+(y+1)2≠0,真命题. 17:(1)解 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 得 1 ? x ? 3 ,? p 为真时 1 ? x ? 3 解?

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 得 2 ? x ? 3 ,? q 为真时 2 ? x ? 3 2 x ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?

? p ? q 为真,? 实数 x 的取值范围是 (2,3) ………………………………………6 分
( 2 )由( 1 )知 q 为真时 A ? ? x | 2 ? x ? 3? ,? p 是 q 的必要不充分条件, ? p 为真时有

B ? ? x | a ? x ? 3a, a ? 0? 且

A? B

?a ? 2 ? , ? ?3a ? 3 , ? 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ?a ? 0 ?

(1, 2] …………………12 分
18. 见教材 P41,例 3 19. 解: 以 A 为原点建立空间直角坐标系(Ⅰ)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法 向量,两个向量的乘积等于 0 即可;(Ⅱ)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角 的余弦值的大小,再求正弦值即可;(Ⅲ) 设=λ,代入线面角公式计算可解出 λ 的值,即可求 出 A1E 的长. 解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0), D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2),又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 1 1, ,1?,N(1,-2,1). 的中点,得 M? ? 2 ?

5 ? (Ⅰ)依题意,可得 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量,=? ?0,-2,0?, 由此可得,· n=0,又因为直线 MN?平面 ABCD, 所以 MN∥平面 ABCD. (Ⅱ)=(1,-2,2),=(2,0,0), 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ACD1 的法向量,则
? ?x1-2y1+2z1=0, 即? ?2x1=0, ?

不妨设 z1=1, 可得 n1=(0,1,1), 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 ACB1 的一个法向量, 则又=(0,1,2),得
?y2+2z2=0, ? ? ,不妨设 z2=1,可得 n2=(0,-2,1). ? ?2x2=0,

因此有 cos〈n1,n2〉=

n1· n2 10 =- , |n1|· |n2| 10

3 10 于是 sin〈n1,n2〉= , 10 3 10 所以二面角 D1-AC-B1 的正弦值为 . 10 (Ⅲ)依题意,可设=λ,其中 λ∈[0,1],则 E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1),又 n=(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知得 cos〈,n〉== λ= 7-2, 所以线段 A1E 的长为 7-2. 1 1 2 2 2=3,整理得 λ +4λ-3=0,又因为 λ∈[0,1],解得 ?-1? +?λ+2? +1
2


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