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湖南省长沙市一中2011届高三第六次月考(数学文)


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炎德·英才大联考长沙市一中 2011 届高三月考试卷(六) 数 学(文科) 长沙市一中高三文科数学备课组组稿 (考试范围:集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、 平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、解析几何) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。 时量 120 分钟。满分 150 分。 得分: 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

1.若 A={x|x+1>0},B={x|x-3<0},x∈Z,则 A∩B= A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 2.一组实验数据如下表,与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12 V 0.01 1.50 4.04 7.50 12.09 18.01 A.V=log2t B.V=-log2t 1 C.V= (t2-1) D.V=2t-2 2 3.已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β.命题 p:a 与 b 没有公共点;命题 q:α∥β,则 p是q的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.直线 xsin2-ycos2=0 的倾斜角的大小是 1 A.- B.-2 2 1 C. D.2 2

5.在一次运动员的选拔中,测得到 7 名选手身高(单位:cm)分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为 177cm,但有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8

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6.执行如图所示的程序框图,若输出的 n=6,则输入整数 p 的最大值是 A.32 B.31 C.15 D.16 5 x2 y2 7.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,抛物线 y2=20x 的准线过双曲线的左焦点,则此双曲线 4 a b 的方程为 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 3 3 4 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 16 9 9 16 b 8.已知实系数一元二次方程 x2+(1+a)x+a+b+1=0 的两个实根为 x1、x2,满足 0<x1<2,x2>2.则 a-1 的取值范围是 1 A.(-1,- ) B.(-3,-1) 3 1 1 C.(-3,- ) D.(-3, ) 2 2 选择题答题卡 1 2 3 4 5 6 7 8 题 号 答 案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.sin45°cos15°+cos45°sin15°的值为 .

=ad-bc,则复数 = . 2x 11.函数 y=2cos -1 的最小正周期是 . 2 2 2 12.若直线 l:y+1=k(x-2)被圆 C:x +y -2x-24=0 截得的弦 AB 最短,则直线 AB 的方程 是 . 13.有一个底面圆半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点 . P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 14.已知向量 a=(3,4),|a-b|=1,则|b|的范围是 . x 15.某同学在研究函数 f(x)= (x∈R)时,分别给出下面几个结论: 1+|x| ①等式 f(-x)+f(x)=0 对 x∈R 恒成立; ②函数 f(x)的值域为(-1,1); ③若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); ④函数 g(x)=f(x)-x 在 R 上有三个零点. .(请将你认为正确的结论的序号都填上) 其中正确结论的序号有 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别为 a,b,c,且满足 a2-ab+b2=c2. (1)求角 C; (2)若△ABC 的面积为 3,c=2,求 a+b 的值. 10.若

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17.(本小题满分 12 分)

如图,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2,E、M 分别是 DC、BC 的中点. (1)证明:AM⊥面 PME; (2)求二面角 P—AM—D 的大小.

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18.(本小题满分 12 分) 1 已知:△ABC 为直角三角形,∠C 为直角,A(0,-8),顶点 C 在 x 轴上运动,M 在 y 轴上, AM = 2 ( AB + AC ),设 B 的运动轨迹为曲线 E. (1)求 B 的运动轨迹曲线 E 的方程; (2)过点 P(2,4)的直线 l 与曲线 E 相交于不同的两点 Q、N,且满足 QP = PN ,求直线 l 的方程.

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19.(本小题满分 13 分) 统计某校高三年级 100 名学生的数学月考成绩,得到样本频率分布直方图如下图所示,已知前 4 组的 频数分别是等比数列{an}的前 4 项,后 6 组的频数分别是等差数列{bn}的前 6 项, (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 m、n 为该校学生的数学月考成绩,且已知 m、n∈[70,80)∪[140,150],求事件“|m-n|>10” 的概率.

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20.(本小题满分 13 分)

为了加快经济的发展,某省选择 A、B 两城市作为龙头带动周边城市的发展,决定在 A、B 两城市的 周边修建城际轻轨,假设 10km 为一个单位距离,A、B 两城市相距 8 个单位距离,设城际轻轨所在的曲线 为 E,使轻轨 E 上的点到 A、B 两市的距离之和为 10 个单位距离, (1)建立如图的直角坐标系,求城际轻轨所在曲线 E 的方程; (2)若要在曲线 E 上建一个加油站 M 与一个收费站 N,使 M、N、B 三点在一条直线上,并且 AM+AN =12 个单位距离,求 M、N 之间的距离有多少个单位距离? (3)在 A、B 两城市之间有一条与 AB 所在直线成 45°的笔直公路 l,直线 l 与曲线 E 交于 P,Q 两点, 求四边形 PAQB 的面积的最大值.

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21.(本小题满分 13 分) 定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M,都有 f(x)≥M 成立,则称 f(x)是 D 上 其定义域为[-2, t](t>-2), f(- 设 的有界函数, 其中 M 称为函数 f(x)的下界.已知函数 f(x)=(x2-3x+3)·ex, 2)=m,f(t)=n. (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[-2,t]上为单调递增函数; (2)试判断 m,n 的大小,并说明理由;并判断函数 f(x)在定义域上是否为有界函数,请说明理由; f′(x0) 2 (3)求证:对于任意的 t>-2,总存在 x0∈(-2,t)满足 = (t-1)2,并确定这样的 x0 的个数. ex0 3

炎德·英才大联考长沙市一中 2011 届高三月考试卷(六)

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文科数学参考答案 一、选择题 题 答 二、填空题 3 10.3+i 9. 2 三、解答题 号 案 1 B 2 C 3 B 4 D 2 13. 3 5 D 6 A 7 C 8 C

11.2π

12.x-y-3=0

14.[4,6]

15.①①①

a2+b2-c2 1 π 16.解:(1)由 cosC= = ,∴C= .(5 分) 2ab 2 3 1 (2)由 S= absinC= 3,ab=4,(8 分) 2 故 a2+b2=8,故 a+b= (a+b)2= a2+2ab+b2= 8+8=4.(12 分) 17.解:(1)连接 EA,∵△PCD 为正三角形,∴PE⊥CD, ∵平面 PCD⊥平面 ABCD,∴PE⊥平面 ABCD,∴PE⊥AM.(3 分) ∵四边形 ABCD 是矩形,∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得 EM= 3,AM= 6,AE=3,∴EM2+AM2=AE2,∴∠AME=90°,∴AM⊥EM.(4 分) 又 EM∩PE=E,∴AM⊥面 PME.(6 分) (2)∵AM⊥平面 PME,∴PM⊥AM,∴∠PME 是二面角 P—AM—D 的平面角, PE 3 PE=PDsin60°= 3,∴tan∠PME= = =1,∴∠PME=45°, EM 3 ∴二面角 P—AM—D 为 45°.(12 分) 1 18.解:(1)由 AM = ( AB + AC ),知 M 为 BC 中点,(2 分) 2 y 设 B(x,y)则 M(0, ),C(-x,0).(4 分) 2 又∠C 为直角,故 CB · CA =0,∴x2=4y(5 分) B 的运动轨迹曲线 E 的方程为 x2=4y.(x≠0)(6 分) (2)∵ QP = PN ,∴点 P 是线段 QN 的中点, 设 Q(x1,y1)、N(x2,y2),线段 QN 的中点 P(2,4),设 l:y-4=k(x-2) 方法一:则 x2=4y1,① x2=4y2,② 1 2 ①-②得:4y1-4y2=(x1-x2)(x1+x2),(8 分) y1-y2 1 ∴直线 l 的斜率为 k= = (x +x2)=1.(11 分) x1-x2 4 1 方法二:由错误!,消去 y 得 x2-4kx+8k-16=0,(*) 错误! 错误 方程(*)中 ?=16(k2-2k+4)>0,显然方程(*)有两个不相等的实数根.(8 分) 由 x1+x2=4k=4?k=1.(11 分) 所以直线 l 的方程为 x-y+2=0.(12 分) 19.解:(1)由已知:第 2 组的频数为 3,第 3 组的频数为 9,又前 4 组的频数是等比数列, - 所以 an=3n 1,(3 分) 又第 4 组的频数为 27,后 6 组是首项为 27,和是 87 的等差数列, 所以 bn=-5n+32.(6 分) (2)由(1)知成绩在[70,80)中的有 3 人,成绩在[140,150]中的有 2 人,分别记为:a1,a2,a3 和 b1, b2,由|m-n|>10 知,这两人必来自两个不同的组,(8 分) 3 所以事件“|m-n|>10”的概率为 .(13 分) 5 20.解:(1)以 AB 为 x 轴,以 AB 中点为原点 O 建立直角坐标系.设曲线 E 上点 P(x,y), ∵|PA|+|PB|=10>|AB|=8

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∴动点轨迹为椭圆,且 a=5,c=4,从而 b=3. x2 y2 ∴曲线 E 的方程为 + =1.(4 分) 25 9 (2)由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12,所以|MN|=8.(8 分) x2 y2 (3)将 y=x+t 代入 + =1,得 34y2-18ty+9t2-25×9=0. 25 9 9t2-25×9 9t 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2= . 17 34 1 |y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=17 50×9×17-9×25t2, 1 8 50×9×17-9×25t2, S=S△ABP+S△ABQ= AB·|y1-y2|= 2 34 60 所以当 t=0 时,面积最大是 34,此时直线为 l:y=x.(13 分) 17 2 x 21.解:(1)f′(x)=(x -3x+3)·e +(2x-3)·ex=x(x-1)·ex. 由 f′(x)>0?x>1 或 x<0;由 f′(x)<0?0<x<1, 所以 f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减, 要使 f(x)在[-2,t]上为单调递增函数,则-2<t≤0.(4 分) (2)n>m. 因为 f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减, 13 所以 f(x)在 x=1 处取极小值 e.又 f(-2)= 2 <e, e 所以 f(x)在[-2,+∞)上的最小值为 f(-2),从而当 t>-2 时,f(-2)<f(t), 即 m<n.(6 分) 由上知,因为 f(x)在(-∞,0)上递增,且恒大于 0,f(x)在(0,+∞)的最小值为 e, 所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上是有界函数,M=0.(8 分) f′(x0) 2 f′(x0) 2 2 (3)因为 =x0-x0,所以 = (t-1)2,即为 x2-x0= (t-1)2. 0 3 ex0 ex0 3 2 2 2 2 令 g(x)=x -x- (t-1) ,从而问题转化为证明方程 g(x)=x2-x- (t-1)2=0 3 3 在(-2,t)上有解,并讨论解的个数. 2 2 2 1 因为 g(-2)=6- (t-1)2=- (t+2)(t-4),g(t)=t(t-1)- (t-1)2= (t+2)(t-1), 3 3 3 3 所以①当 t>4 或-2<t<1 时,g(-2)·g(t)<0,所以 g(x)=0 在(-2,t)上有解,且只有一解; 2 ②当 1<t<4 时,g(-2)>0 且 g(t)>0,但由于 g(0)=- (t-1)2<0, 3 所以 g(x)=0 在(-2,t)上有解,且有两解;(10 分) ③当 t=1 时,g(x)=x2-x=0?x=0 或 x=1, 所以 g(x)=0 在(-2,t)上有且只有一解;(11 分) ④当 t=4 时,g(x)=x2-x-6=0?x=-2 或 x=3, 所以 g(x)=0 在(-2,4)上有且只有一解.(12 分) f′(x0) 2 综上所述,对于任意 t>-2,总存在 x0∈(-2,t),满足 = (t-1)2, xx0 3 且当 t≥4 或-2<t≤1 时,有唯一的 x0 符合题意; 当 1<t<4 时,有两个 x0 符合题意.(13 分


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