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2.2.1函数的单调性


观察与思考

如图为某地区一天24小时内的气温变化图,观察 这张气温变化图:

教师提问: 在0点到4点,气温随着时间的推移是怎么变化的? 在4点到14点,气温随着时间的推移又是怎么变化的?

任务一、探究函数的单调性概念

观察第一组函数图象,指出其变化趋势.

y
y=x+1
1

y
1 1

y
1
1

O

x

O

x

O

1

x

上升 从左至右图象呈______趋势.

观察第二组函数图象,指出其变化趋势.

y=-x+1

y
1

y
1 1

y
1

O

x

O 1

x

O

1

x

下降 从左至右图象呈______趋势.

观察第三组函数图象,指出其变化趋势.

y
-1

y
1 1

y=x2

y
1

O

1

-1

x

O

1

x

O

1

x

局部上升或下降 从左至右图象呈______________趋势.

1.请谈谈图象的变化趋势怎样?
y

O

x

2.你能看出当自变量从左至右增大时,函数值是如

何变化的吗? y

O

x

结论:自变量x增大,函数值y也增大.

增函数:

设函数y= f (x) 在区间(a,b)内有意义,如果对任意
的x1,x2 ? (a,b),当x1 < x2时,都有 f(x1) < f(x2) 成立, 那么,函数y= f (x) 叫做区间(a,b)内的增函数,区 间(a,b)叫函数y= f (x) 的增区间。 y
f(x2)

f(x1)

O

x1

x2

x

类比得到减函数概念
y
f(x2)

y
f(x1)

f(x1)
x1 O 增函数: x2

f(x2)

x

O 减函数:

x1

x2

x

设函数y= f (x) 在区间(a,b)内有意 义,如果对任意的x1,x2 (a,b),当

?

设函数 y = f (x) 在区间(a,b)内有意 义,如果对任意的

x1 < x2时,都有 f(x1) < f(x2) 成立,
那么,函数y= f (x) 叫做区间(a,b) 内的增函数,区间(a,b)叫函数y= f (x) 的增区间。

x1, x2? (a,b), 当x1 < x2时,都有 f(x1) > f(x2) 成立,
那么,函数y= f (x) 叫做区间(a,b)内 的增函数,区间(a,b)叫函数 y = f (x) 的增区间。

任务一、判别函数单调性(图像法) 例1 给出函数 y = f (x) 的图象,如图所示,根据图

象说出这个函数在哪些区间上是增函数?哪些区间
上是减函数?
y

-1

O

1

2

3

4

x

解:函数在区间[-1,0],[2,3]上是减函数;

在区间[0,1],[3,4]上是增函数.

任务二、判别函数单调性(定义法) y
f(x2)

怎样利用函数解析式判断单调性
y
f(x1)

y=f(x)
f(x1) f(x2) x1 x2

y=f(x)

O

x

O

x1

x2

x

增函数

减函数

自变量增大(

x1 < x2

)

自变量增大(

x1 < x2

)

函数值增大(f(x1) <
f(x 2 ))

函数值 减小(f(x1)>f(x2))

例2

判断函数 f(x) = 4 x-2的单调性。

解:函数f(x) = 4 x-2的定义域为(-∞,+∞).

任取x1,x2 ? (-∞,+∞)且x1 < x2,则

求函数的定义域

x -x
1

2

<0,
计算 f(x1) -f(x2)

f(x1) - f(x2) = (4x1-2) -(4x2-2)
= 4(x2 - x1) <0



f(x1) < f(x2 )

当 f( 1) -f( 2) < 0时, 函数在这个区间上是增函 数; 当 f( 1) -f( 2) > 0时, 函数在这个区间上是减函 数.

x
x

x
x

因此,函数 f(x) = 4 x-2在区间(-∞,+∞)上 是增函数.

总结:由函数的解析式判定函数单调性的步骤: S1 S2 S3 求函数的定义域. 计算 f(x1) -f(x2). 当 f(x1) -f(x2) >0时,是增函数; 当 f(x1) -f(x2) <0时,是减函数.





一、函数单调性的概念

二、判断函数的单调性的方法
1、图像法 2、定义法



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