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广东省六校2013届高三5月高考模拟考试数学(理)试题


广东省珠海一中等六校 2013 届高三下学期 5 月高考模拟考 试数学(理)试题(含答案)
本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题(本大题共8小题,每题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.满足 i ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 的共轭复数是( ....
3

/>) D. 3 ? i

A. ? 3 ? i 2.已知函数 f ( x ) ?
M ? N ?(

B. ? 3 ? i
1 1? x

C. 3 ? i

的定义域为 M , g ( x ) ? ln (1 ? x ) 的定义域为 N ,则

) B. ? x | x ? 1?
1 3 ? 1 5 ?? ? 1 2013

A. ? x | x ? ? 1?

C. ? x | ? 1 ? x ? 1? D. ? 的值的一个程序框图, 图中空白执行框内应

3. 如图给出的是计算 1 ? 填入( )

A. i ? i ? 1 C. i ? i ? 2

B. i ? i ? 1 D. i ? i ? 2

开 始

? 2 x ? y ≤ 4 0, ? ? ? x ? 2 y ≤ 3 0, 4.若变量 x, y 满足 ? 则 x ≥ 0, ? ? y ≥ 0, ?
z ? ? x ? 3 y 的最大值是(

i=1, S=0

i ? 2013



是 S=S+
1 2

输出 S 结 束

A.90 C.50

B.80 D.40 ,

1 i

5.记等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ?
S 2 ? 2 ,则 S 4 ? (

) B.6 D.20
3 2

A.2 C.16

第 4 题图

6. 已知直线 l1 : y ? 4 x , l 2 : y ? ? 4 x ,过 M ( , 2 ) 的直线 l 与 l1 , l 2 分别交于 A , B , 若 M 是线段 A B 的中点,则 | A B | 等于( A.12 B. 1 4 5 ) C. 1 4 6 D. 1 4 7

7.已知某四棱锥的三视图,如右图。则此四棱锥的体积为( A.3 B.4
x x ? y
2 2

) D.6

C.5
2

8.设 x ? 0 ,y ? 0 ,定义 x ? y ? 于( )
1? 2 2? 2 5

,则 ? ? x ? y ? +2 ? x ? y ? ? y ? x ? ? ? m ax 等 ?

A. C.

B. D.

3? 2 1? 2

2

2 2 4 2
侧视图

3

3

二、填空题(本大题共7小题,分为 必做题和选做题两部分.每小题5分,满 分30分) (一)必做题(第 9 至 13 题为必做 题,每道试题考生都必须作答)

正视图

2 2
俯视图

9.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校 学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在 三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生
x ?1

. 二年级
x

三年级
y
z

373 377

370

?2e , ? 2, x ? 10.若 f ( x ) ? ? 则 f ( f ( 2 )) 的值为 2 x ? lo g 3 ( x ? 1) , ? 2 . ?
3

.

11.曲线 y ? x ? a x ? 3 在点(1, m )处的切线方程为 y ? 2 x ? n ,则
a ?

. a , n, 为常数) ( m 12.已知 f ( x ) ? 2 s in (
?
3 x ? ? ) (| ? |?

?
2

) ,若 x ? 1 是

它一条对称轴,则 ? ?



??? ???? ? A B ? 2 A D= A C = 4 A E = 4 ,则 B E ? C D ?

13.如右图,等边△ A B C 中,



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)曲线 ?
A ? ? 2 , ? 与 B ? 2 , ? 的距离之和为 0 0
? x ? 4 cos ? ? ? y ? 2 3 s in ? ?

( ? 为参数)上一点 P 到点



15. (几何证明选讲选做题) 如右图, R t △ A B C 中, 在 斜边 A B ? 1 2 , 直角边 A C ? 6 , 如果以 C 为圆心的圆与 A B 相切于 D ,则⊙ C 的半径长为 . 三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数
f (x) ? 3 2 s in 2 x ? c o s x ?
2

1 2

, ? R . x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; (2)设△ A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 且 c ?
sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值。

3 , f ( C ) ? 0 ,若

17. (本小题满分 12 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为 可入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级; 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天 的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) (1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽 出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示 抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列; (3) 以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气 质量情况,则一年(按 360 天计算)中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级。 E 18. (本小题满分 14 分)在如图所示的几何 体中, ? A B C 是边长为 2 的正三角形,
A E ? 1 , E ? 平面 ABC, A 平面 B C D ? 平面 ABC,

D A C B

BD=CD,且 B D ? C D . (1)若 AE=2,求证:AC∥平面 BDE; (2) 若二面角 A—DE—B 为 60°. AE 的长。 求 19. (本小题满分 14 分)数列{ an }的前 n 项 和为 S n , S n ? an ? ?
1 2 n ?
2

3 2

n ? 1 , ( n ? N *) .

(1)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ? b n ? 是等比数列; (2)求数列 ? n b n ? 的前 n 项和 Tn ;

(3)若 c n ? ?

?1? ? ? an , P ? ?2?

n

2013

?

ci ? ci ? 1
2

i ?1

ci ? ci
2

.求不超过 P 的最大整数的值。

20. (本小题满分 14 分)如图所示:已知过抛物线 x 相交于 A,B 两点。 (1)求证:以 AF 为直径的圆与 x 轴相切; (2)设抛物线 x
2

2

? 4 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线

? 4 y 在 A,B 两点处的切线的交点

为 M,若点 M 的横坐标为 2,求△ABM 的外接圆方程; (3)设过抛物线 x
3y 4
2

2

? 4 y 焦点 F 的直线 l 与椭圆

?

3x 2

2

? 1 的交点为 C、D,是否存在直线 l 使得

A F ? C F ? B F ? D F ,若存在,求出直线 l 的方程,若

不存在,请说明理由。

21. (本小题满分14分)已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? k ? (1)求函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间;

x ?1 x ?1

(2)当 x ? 1 时,函数 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)设正实数 a 1 , a 2 , ? , a n 满足 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 .求证:
2 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2n ln ? 1 ? 2 ? ? ln ? 1 ? 2 ? ? ? ? ln ? 1 ? 2 ? ? . a1 ? a2 ? an ? n ? 2 ? ? ?

2013 届高三六校高考模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D
1 ? 3i i
3

2 C

3 D

4 C

5 D

6 B

7 B

8 A

1. 【解析】 z ?

? ? 1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D.

2. 【解析】 M ? ? x x ? 1? , N ? ? x x ? ? 1? .故选 C. 3. 【解析】因为分母为 1,3,5,7,9,…,2013,所以应填入 i ? i ? 2 .故选 D. 4. 【解析】画出可行域(如图) ,在 B (1 0, 2 0 ) 点取最大值 z m ax ? ? 1 0 ? 3 ? 2 0 ? 5 0 .答 案: C.
1 (1 ? q )
2

5. 【解析】 S 2 ? 2
1 S4 ? 2 (1 ? q )
4

1? q

? 2 ? 1? q ? 3 ? q ? 3 ,
2

1 ? 2

(1 ? q ) 1? q ? (1 ? q ) ? 2 ? 1 0 ? 2 0 .故
2

1? q

选D . 6 . 【









A ( x1 , x1 ) 4



? x1 ? x 2 3 ? , ? ? x 1 ? 2, ? 2 2 ,所以 A ( 2 ,8 ) 、 B (1 ,? 4 ) . B( x2 , 4 x2 ) ? ? ? ? ? 4 x1 ? 4 x 2 x 2 ? 1, ? ? ? 2, ? ? 2

所以 A B = ( 2 ? 1 ) ? [8 ? ( ? 4 )] ?
2 2

1 ? 144 ?

1 4 5 .故选 B.

7. 【解析】如图,四棱锥 A ? B C D E .
V ? 1 3 ? 6 ? 2 ? 4 .故选 B.

D

C

8. 【解析】设终边过点 ( x ,y ) 的角 ? (不妨 设 ? ? ( 0 , ) )则
2
c o s ? ? 2 s in? c o s? ?
2

?

E A

B

1 ? c o s 2? 2

? s in 2?

? sin 2? ?

1 2

c o s 2? ?

1 2

?

1 2 1 1 1 ? ( ) sin ( 2 ? ? ? ) ? , 其中 ? 是终边过 (1 , ) 的角 (不 2 2 2

妨设 ? ? ( 0 , ) ) .
2

?

当? ? ? ?

时,有 ? ? x ? y ? +2 ? x ? y ? ? y ? x ? ? .故选 A. ? m ax ? ? 2 2 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分)
2

?

1?

5

9.16,10.2,11. ? 1 ,12.

?
6

,13. ? 3 ,14. 8 ,15. 3 3 ,

9. 【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 5 0 0 ,即总体中各个年级的人数比例为 3 : 3 : 2 ,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人 数为 64 ?
2 8 ? 16 .答案: 1 6 .
1?1

10. 【解析】 f ( f ( 2 )) ? f (1) ? 2 ? e 11. 【解析】
2 2

? 2 .答案: 2 .

y ? ? 3 x ? a ? 2 ? 3 ? 1 ? a ? a ? ? 1 .答案: ? 1 .

12. 【解析】由已知得

?
3

x ? ? ? k? ?

?
2

, ? Z ,由 k

x ? 1 代入得 ? ? k ? ?

?
6

, ?Z , k

又 | ? |?

?
2

,所以 ? ?

?

.答案:

?



6 6 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ???? 13. 【解析】 B E ? B A ? A E ? ? A B ? A C , 4 ??? ? ??? ? ???? ???? 1 ??? ? CD ? CA ? AD ? ? AC ? AB 2 ??? ??? ? ? ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? ? B E ?C D ? ( ? A B ? A C ) ?( ? A C ? AB ) 4 2 ??? ???? 1 ??? 2 1 ???? 2 ? ? 9 9 1 1 2 2 ? A B ?A C ? A B ? A C ? ? 4 ? 4 c o s ? A ? ? 4 ? ? 4 ? 9 ? 8 ? 4 ? ? 3 . 8 2 4 8 2 4 答案: ? 3 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】曲线 ?
x
2

? x ? 4 co s ? ? ? y ? 2 3 sin ? ?

表示的椭圆标准方程为

?

y

2

16

12

? 1 ,可知点 A ? ? 2 , 0 ? , B ? 2 , 0 ? 为椭圆的焦点,故

P A ? P B ? 2 a ? 8 .答案: 8 .

D 15. 【解析】 C , 则 ? B ? ? D C A ? 3 0 , R t ? A D C 中, 连 在 C D ? A C sin ? D A C ,
0

CD ? 6 ?

3 2

? 3

3 .答案: 3

3 .

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.【解析】(1) f ( x ) ?
3 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x 2 ? 1 2 ? sin ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ,…3 分

则 f ( x ) 的最小值是 ? 2 , 最小正周期是 T ? (2) f ( C ) ? s in ( 2 C ?
?
6
0 ? C ? ? , 0 ? 2 C ? 2 ? ,所以 ?

2? 2

? ? ;…………6 分

) ? 1 ? 0 ,则 s in ( 2 C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,…………7 分

?
6

? 2C ?

?
6

?

1 1? 6



所以 2 C ?

?

?

?

,C ?

?

,…………9 分

6 2 3 因为 sin B ? 2 sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2 a ,……①…………10 分

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 a b c o s
2 2 2

?
3

,即 c ? a ? b ? a b ? 3 ……②………11 分
2 2 2

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .…………12 分 17. 【解析】 (1)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气 质量达到一级”为事件 A , P ( A ) ?
C 5 ? C 10
1 2

C 15

3

?

45 91

. ……………………4 分

? ? (2) 依据条件, 服从超几何分布: 其中 N ? 1 5, M ? 5, n ? 3 , 的可能值为 0,1, 2, 3 ,

其分布列为: P ? ? ? k ? ?

C 5 C 10 C 15
3

k

3? k

?k

? 0 ,1, 2 , 3 ? ……………………7 分

?
P

0

1
45 91

2
20 91

3

24 91

2 91

……………………7 分 (3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (3 6 0 , )
3
? E? ? 3 6 0 ? 2 3 ? 2 4 0 ,? 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级。12 分 10 15 ? 2 3

,10 分

2

18. 【解析】 (1)分别取 B C , B A, B E 的中点 M , N , P ,连接
D M , M N , N P, D P ,则 M N ∥ A C , N P ∥ A E ,且 N P =
1 2 AE ? 1 ,

因为 B D ? C D , B C ? 2 , M 为 B C 的中点, 所以 D M ? B C , D M ? 1 , 又 因 为 平 面 BCD ⊥ 平 面 ABC , DM ? 所 以 平 面 A B C .……………3 分 又 A E ? 平面 A B C , 所以 D M ∥ A E ,……5 分 所 以 DM ∥ NP , 且 D M? N, 因 此 四 边 形 D M N P P 为平行四边形, 所 以 MN ∥ DP , 所 以 A C ∥ D P , A C ? 平面 B D E , 又 D P ? 平面 B D E , C 所以 A C ∥平面 B D E .…7 分 (或者建立空间直角坐标系, 求出平面 B D E 的法向量 n1 ,计算
???? n1 ? A C ? 0 即证)

E

P D

A

M E

N

B

(2)解法一: 过 M 作 M H 垂直 E D 的延长 线于 H ,连接 B H . 因为 B C ? A M , B C ? D M , BC ? 所 以 平 面 D M , E D ? 平面 D M A E A E 则有 B C ? E D . ED ? 所 以 平 面 B M B H H 平面 B M H , ? , 所以 E D ? B H . 所 以 ?M H B 二 面 角 为

D

H

A

C

M

B

A ? E D ? B 的平面角, 即 ? M H B = 6 0 ? . ……10 分

在 R t ? B M H 中, B M =1 ,则 M H = 在 R t ? M H D 中, D H = 设 A E ? h ? 1 ,则 D E ?
2

1 3

, BH =

2 3

.

6 3

.
2

h ? 3 ,所以 H E ?
2

h ?3?
2

6 3
2

,又 B E ?
2

? h ? 1?
2

2

?2

2

在 R t ? B H E 中, B E ? B H ? N E ,即 ? h ? 1 ?
2 2

? ? 2 ? ? 2 =? ? ?? ? ? 3 ? ?
2

6 ? h ?3? ? , 3 ? ?

解得 h ? 6 ,所以 A E ? 6 ? 1 . ………………14 分 解法二: 由(1)知 D M ? 平面 A B C , A M ? M B , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz .
0 0 0 0 设 A E ? h ,则 M ? 0 , , ? , B ? 1 , , ? , D ? 0 , ,? A 0 , 3 , , E 0 , 3 , , 0 1 0 h ???? ??? ? BD ? ? ?1, ,? , BE ? ?1, 3 , . 0 1 h ?? ? 设平面 B D E 的法向量 n 1 ? ( x , y , z ) ???? ?? ? ? B D ? n1 ? 0 , ?? x ? z ? 0 , ? ? 则 ? ??? ?? 所以 ? ? ? ? ? x ? 3 y ? zh ? 0. ? B E ? n1 ? 0 , ? ? ?? ? 1? h 令 x ? 1 , 所以 n 1 ? (1 , , 1) , 3

?

? ?

?

?

?

z

E

y D A

……………………11 分

又平面 A D E 的法向量 n 2 ? (1 , 0 , 0 ) , ?? ?? ? ? C ?? ?? ? ? n1 ? n 2 1 ? 所以 c o s ? n 1 , n 2 ? ? ??? ?? ?
n1 ? n 2 1 ?1 ?
2 2

?? ?

?1 ? h ?
3

?
2

1 2



M(o)

B

x

解得 h ?

6 ? 1 , 即 AE ?

6 ? 1 .……………………14 分
1 3

19. 【解析】(1) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 ,
2 2

所以

① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,………………………………1 分
2 1 3

1

② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,……………………2 分
2 2

所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , 所以 bn ?
1 2 bn ?1 ( n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ?
1 2

1 2

,……………………4 分
?1? ? .……………5 分 ?2?
n

所以数列 ?bn ? 是首项为

,公比为

1 2

的等比数列,所以 b n ? ?

(2)由 (1)得 nbn ? 所以 ① Tn ? ② 2Tn ? 1 ?
2 2
1 2 ?

n 2
n


? 3 2 4
3

2 2 3
2

?

4 2
4

? .......... ?

n ?1 2
n ?1

?

n 2
n



?

②-①得: Tn ? 1 ?
?1? 1? ? ? ?2? Tn ? 1 1? 2
n

2 1

2

?
?

2 1
2

3

? .......... ?
? ...... ? 2 1

n ?1 2
n?2

? 2

n
n ?1

,……………7 分

2

2

n ?1

?

n 2
n

,……………8 分

?

n 2
n

? 2?

n?2 2
n

.………………10 分

?1? (3)由(1)知 a n ? ? ? ? n ?2?
? cn ? cn ? 1
2

n

? c n ? n ………………11 分
1 n( n ? 1) ?1? 1 n ? 1 n ?1

cn ? cn
2

?
2

n( n ? 1) ? 1 n( n ? 1)

?1?

, ………13 分

2013

所以 P ?
? (1 ? 1

?
1

ci ? ci ? 1 ci ? ci
2

i ?1

1 1 1 1 1 1 , ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2014 ? 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013 .……………………………………………14 分 ? ) ? (1 ?

1

20. 【解析】 (1)解法一(几何法)设线段 AF 中点为 O 1 ,过 O 1 作 O 1 O 2 垂直于 x 轴, 垂足为 O 2 ,则
r ? | AF | 2 | AA 1 | ? ? 2
| AA 1 | ? | OF | 2

P 2 ? | AA 1 | ? 1 2 ? | AA 1 | ? | OF | 2

,…………… 2 分

又∵ | O 1 O 2 | ?

, …………… 3 分

∴ r ? | O 1 O 2 | ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切。……………4 分 解法二(代数法)设 A ( x 1 , y 1 ) ,线段 AF 中点为 O 1 ,过 O 1 作 O 1 O 2 垂直于 x 轴, 垂足为 O 2 ,则 | AF |? ∴r ?
y1 ? 1 2

x 1 ? ( y 1 ? 1)

2

2

?

4 y 1 ? ( y 1 ? 1)

2

? y1 ? 1 ,

. ……………2 分
yA ? yF 2 ? y1 ? 1 2

又∵点 O 1 为线段 AF 的中点,∴ | O 1 O 2 | ?

,……………3 分

∴ r ?| O 1O 2 | , ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切。……………4 分 (2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由?
? y ? kx ? 1 ?x ? 4y
2

? x ? 4 kx ? 4 ? 0 ,
2

∴?

? x1 ? x 2 ? 4 k ? x1 x 2 ? ? 4
2

.……………5 分
x
2

由x ? 4y ? y ?
? K ?K ? x1 2

? y? ?
x2 2 ?

x 2


? ?4 4 ? ? 1 , ? M A ? M B ……………6 分

4
MA MB

?

x1 x 2 4

? ? MAB 为 Rt ? ,故 ? M A B 的外接圆圆心为线段 A B 的中点。

设线段 AB 中点为点 P,易证⊙P 与抛物线的准线相切,切点为点 M ,
? x P ? x M ? 2, ? x1 ? x 2 2 ? 2 ? 2 k ? 2, k ? 1 .……7 分 ?

? yP ?

y1 ? y 2

?

( k x1 ? 1) ? ( k x 2 ? 1)

?

x1 ? x 2 ? 2 2

?

4k ? 2 2
2

? 3 ? 圆 心 P ( 2 , 3) 8 分

2 2 又? r ? | MP |? | 3 ? ( ? 1) |? 4 ,

? 所求 ? MAB 的外接圆的方程为

: ( x ? 2 ) ? ( y ? 3)
2

? 16 .……………9 分
| AF | | BF | ? | DF | | CF | ? ? ,10 分

? (3)?| A F | ? | C F | ? | B F | ? | D F | ,

| AF | | BF |

?

| DF | | CF |

,设

则 AF ? ? FB   且 DF ? ? FC
? ( ? x 1 ,1 ? y 1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 1 ) ? ? ( ? x 4 ,1 ? y 4 ) ? ? ( x 3 , y 3 ? 1 )

,设 C ( x 3 , y 3 ),D ( x 4 , y 4 ) ,则
? ? x1 ? ? x 2 ? x1 ? ? ? x 2 ?? 即? ?? x4 ? ?x3 ? x4 ? ??x3

……………11 分

将 x 1 ? ? ? x 2 代入 ?

? x1 ? x 2 ? 4 k ? x1 x 2 ? ? 4

可得:

?
( ? ? 1)
2

?

1 4k
2

. ①……………12 分

2k ? ? y ? kx ? 1 x ? x4 ? ? 2 ? 3 ? ? k ?2 2 2 由? 4 y2 2x2 , ? (3 k ? 6 ) x ? 6 kx ? 1 ? 0 ? ? ?1 ? ?1 ? ?x x ? 3 ? 3 2 ? 3 4 3k ? 6 ?

联立 x 4 ? ? ? x 3 可得 联立①②可得
1 4k
2

?
( ? ? 1)
3k
2
2

?

3k

2

?6
2

,②……………13 分
2

36 k

?

?6
2

,解得 k

? 1    ? k ? ? 1 .
: y ? ? x ? 1 。 ……………14 分

36 k

? 存在符合题意的直线且

所求直线方程为

21. 【解析】 (1) F ( x ) ? ln x ? k ?
F (x) ?
2

x ?1 x ?1
2

1 x

?k?

2 ( x ? 1)
2

?

x ? 2 (1 ? k ) x ? 1
2

x ( x ? 1)

,…… 1分
2 2

由 x ? 2 (1 ? k ) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4 (1 ? k ) ? 4 ? 4 ( k ? 2 k ) , ①当 ? ? 0 即 k ? ? 0, 2 ? 时, F ? ( x ) ? 0 恒成立,则 F ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调递增;…2 分 ②当 k ? 0 时, F ? ( x ) ? 0 在 (0, ? ? ) 恒成立,则 F ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调递增; …3 分 ③
k ?1?


2

k ? 2


2


k ? 2k





x ?2
2

( ?1k

x? )

? 的 1 两 0正





k ? 2k , k ? 1 ?

则 F ( x ) 在 (0 , k ? 1 ?

k ? 2 k ) 单调递增, ( k ? 1 ?
2

k ? 2k , k ? 1 ?
2

k ? 2 k ) 单调递
2

减, ( k ? 1 ?

k ? 2 k , ? ? ) 单调递增.
2

综上,当 k ? 2 时,只有单调递增区间; 当 k ? 2 时,单调递增区间为 (0 , k ? 1 ? 单调递减区间为 ( k ? 1 ?
k ? 2k , k ? 1 ?
2

k ? 2k ) , (k ? 1 ?
2 2

k ? 2k , ?? ) ;
2

k ? 2 k ) . …… 5 分

(2)即 x ? 1 时, F ( x ) ? 0 恒成立. 当 k ? 2 时, F ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调递增, ∴当 x ? 1 时, F ( x ) ? F (1) ? 0 满足条件. …7 分 当 k ? 2 时, F ( x ) 在 ( k ? 1 ? 则 F ( x ) 在 (1, k ? 1 ?
2

k ? 2k , k ? 1 ?
2

k ? 2 k ) 单调递减,
2

k ? 2 k ) 单调递减,

此时 F ( x ) ? F (1) ? 0 不满足条件,
2 故实数 k 的取值范围为 ? ? ? , ? .

…… 9 分

(3)由(2)知, ln x ? 2 ?

x ?1 x ?1
1 an
2

在 (1, ? ? ) 恒成立,
1

令x ? 1?

1 an
2

,则

ln (1 ?

) ? 2?

an 2?

2

1 an
2

?

2 2an ? 1
2

?

2 2an ? 1

, …… 10 分

∴ ? ln (1 ?
i ?1

n

1 ai
2

) ? 2(
1

1 2 a1 ? 1

?

1 2a2 ? 1
1

?? ?

1 2an ? 1

).

…… 11 分
2

又(

1 2 a1 ? 1

?

2a2 ? 1

?? ?

2an ? 1

) ? ( 2 a 1 ? 1) ? ( 2 a 2 ? 1) ? ? ? ( 2 a n ? 1) ? ? n ,

∴ 2(
n

1 2 a1 ? 1

? 1 ai

1 2a2 ? 1
2

?? ?
2

1 2an ? 1

)?

2n

2

n?2



……13 分 ……14 分

∴ ? ln (1 ?
i ?1

)?

2n

n?2




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