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山西省重点中学协作体2015-2016学年高二数学下学期第一次联考试题(新)


2016 年山西重点中学协作体 高二下学期第一次联考 数 学 试 题
60 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间 150 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的 ABCD 四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

1.已知全集 U=R,集合 A={x| A.A∩B B.A∪B

x-1 <0},B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于( x
C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)

)

2.设四 边形 ABCD 的两条对角线为 AC、BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

)

5 5 Sn 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则 ( 2 4 an A.4 -1
n

B.4

n-1

C.2 -1

n

D.2

n-1

4.下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( A.①②③ C.③④ 5. 方程 ) B.②④ D.②③④ 表示的曲线是圆,则 a 的取值范围是( )

A.(﹣2,

)

B.(﹣∞,﹣2)∪(

,﹢∞)

C.R

D. (﹣

,2,)

1 6. 已知 f(x+1)为偶函数,且 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,a=f(2)、b=f(log32)、c=f( ), 2
1

则有 ( A.a<b<c C.c<b<a

) B.b<c<a D.a<c<b
2

7.已知函数 f(x)=x 的图象在点 A(x1,f(x1))与点 B(x2,f(x2))处的切线互相垂直,并交于点 P, 则点 P 的坐标可能是( 3 A.(- ,3) 2 8. 在正方体 直线中任取一条,它与对角线 ) C.(2,3) 1 D. (1,- ) 4

B.(0,-4)

的各个 顶点与各棱的中点共 20 个点中, 任取 2 点连成直线, 在这些 垂直的概率为( ) .

A.

B. (

C. )共线,则存在实数

D. ,使得 ”则其逆命

9. 设原命题为:“若空间两个向量 与 题、否命题、逆否命题为真的个数( A.1 B.2 )

C.3 ) B. > D.

D.4

10.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+

b b

a a

b b+1 a a+1
2a+b a > a+2b b

1 1 C.a- >b-

x+y≥3, ? ? 11.设变量 x,y 满足约束条件:?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3,
A.5 B.2 C.1 D.3

则目标函数 z=

y+1 的最小值为( x

)

12. 三角形 ABC 中,

分别为

的对边, 如果

成等差数列,



的面积为

,那么 为(



A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题)90 分 二.填空题:本大题共 4 小题,共 20 分.

2

13.设 p:

x <0,q:0<x<m,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m 的取值范围是________. x-2

2π 2π 14.函数 y=log3(2cosx+1),x∈(- , )的值域为___. 3 3 15. 定义在 上的函数 : 当 ≤ 时, ; 当 时, 。

给出以下结论: ① 是周期函数;② 的最小值为 ; ③当且仅当 时, 取最大

值; ④当且仅当 低点的距离是 。其中正确命题的序号是

时,

;⑤ 。

的图象上相邻最

2 1 2 16.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是

x y

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时必须写出必要文字说明。 3π 17. 已知函数 f(x)=sinx+acosx 的一个零点是 .(10 分) 4 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f(x)] -2sin x,求 g(x)的单调递增区间. 18. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别是 a、b、c,满足 b + c =bc+a .(12 分) (1)求角 A 的大小; (2)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数 列,求{ 4
2 2 2 2 2

anan+1

}的前 n 项和 Sn.

19.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c. 已知 b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.(12 分) (1)求 的值; 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b. 4

c a

20. 已知动圆 轨迹为曲线 线交曲线 于

与圆 ;设 为曲线

相切,且与圆 上的一个不在 轴上的动点,

相内切,记圆心 为坐标原点,过点 作



的平行

两个不同的点. 的方程;

(Ⅰ)求曲线

3

(Ⅱ)试探究 (Ⅲ)记

和 的面积为

的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由; , 的面积为 ,令 ,求 的最大值.

21.在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元, 成本为 C(x)元, 且 R(x)=3 000x-20x , C(x)=500x+4 000(x∈N ). 现 已知该公司每月生产该产品不超过 100 台. (1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x); (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.
2 *

22.已知函数 f(x)=(ax +bx+c)e 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0.(12 分) (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

2

x

4

参考答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 D 7 D 8 D 9 C 10 A 11 C 12 B

13.(2,+∞)

14. (-∞,1]

15.①④⑤

16.-4<m<2.

3π 17.[解析] (1)依题意,得 f( )=0, 4 3π 3π 2 2a ∴sin +acos = - =0, 4 4 2 2 (2)由(1)得 f(x)=sinx+cosx, ∴g(x)=[f(x)] -2sin x=(sinx+cosx) -2sin x π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ). 4 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 得, 2 4 2
2 2 2 2

∴a=1.

kπ -

3π π ≤x≤kπ + ,k∈Z 8 8

3π π ∴g(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 8 8

b2+c2-a2 bc 1 1 18.[解析] (1)∵b +c -a =bc,∴ = = ,∴cosA= , 2bc 2bc 2 2
2 2 2

π 又∵A∈(0,π ),∴A= . 3 1 2 (2)设{an}的公差为 d,由已知得 a1= =2,且 a4=a2·a8, cosA ∴(a1+3d) =(a1+d)(a1+7d),且 d 不为零, ∴d=2,∴an=2n. ∴ 4
2

anan+1



1 1 1 = - , n?n+1? n n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=(1- )+( - )+( - )?+( - )=1- = . 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 19.[解析] (1)在△ABC 中,有 = = =2R, sinA sinB sinC 又 b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,则 sinB(cosA-2cosC) =2(sinC-sinA)cosB, 即 sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB, ∴sin(A+B)=2sin(B+C)? sinC=2sinA? =2.(也可用余弦定理求解)
5

a

b

c

c a

(2)由(1) =2? c=2a,又 a+b+c=5,∴b=5-3a. 由余弦定理得:b =c +a -2accosB, 1 2 2 2 2 ∴(5-3a) =(2a) +a -4a × ? a=1,或 a=5, 4 当 a=1? b=2 ,当 a=5 与 a+b+c=5 矛盾.故 b=2. 20.[解析] (I)设圆心 由于动圆 圆 与圆 与圆 的坐标为 ,半径为 相切,且与圆 只能内切 相内切,所以动
2 2 2

c a

???????????????2 分 圆心 的轨迹为以 为焦点的椭圆,其中 ,

故圆心 (II)设

的轨迹



??????????????????????4 分 ,直线 ,则直线



可得:



???????????6 分



可得:

????????????8 分

6

和 (III)

的比值为一个常数,这个常数为 , 的面积

??????????????9 分 的面积,

到直线

的距离

??????????11 分 令 ,则

(当且仅当

,即

,亦即

时取等号)



时,

取最大值

????????????????????12 分

21.[解析](1)由题意,得 x∈[1,100],且 x∈N .

*

P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480
-40x.

? 125?2 (2)P(x)=-20?x- ? +74 125, 2 ? ?
当 x=62 或 x=63 时,P(x)取得最大值 74 120 元; 因为 MP(x)=2 480-40x 是减函数, 所以当 x=1 时,MP(x)取得最大值 2 440 元. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元. [答案](1)P(x)=-20x +2 500x-4 000,MP(x)=2 480-40x;(2)71 680 元. 22.[解析] (1)由 f(0)=1,f(1)=0 得 c=1,a+b=-1, 则 f(x)=[ax -(a+1)x+1]e ,
2 2

x

f ′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex
7

依题意须对于任意 x∈(0,1),有 f ′(x)<0. 当 a>0 时,因为二次函数 y=ax +(a-1)x-a 的图象开口向上,而 f ′(0) =-a<0,所以须
2

f ′(1)=(a-1)e<0,即 0<a< 1;
当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f ′(x)=(x -1)e <0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈(0,1),f ′(x)=-xe <0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因 f ′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)e ,g′(x)=(-2ax+1-a)e , (ⅰ)当 a=0 时,g′(x)=e >0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,在 x =1 处取得最大值 g(1)=e. (ⅱ)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xe <0,g(x)在 x=0 处 取得最大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. 1-a (ⅲ)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= >0. 2a 1-a 1 ①若 ≥1,即 0<a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在 x=0 处取得 2a 3 最小值 g(0)=1+a,在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1 -a)e. 1-a 1 1-a 1-a 1-a ②若 <1,即 <a<1 时,g(x)在 x= 处取得最大值 g( )=2ae , 2a 3 2a 2a 2a 在 x=0 或 x=1 处取得最小值,而 g(0)=1+a, g(1)=(1-a)e, 1 e-1 则当 <a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; 3 e+1 e-1 当 <a<1 时,g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. e+1
x x x x x
2

x

8


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