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高三基本不等式1教案


CR7 整理

基本不等式 1 一、知识梳理
、 n 个数的算术平均数是指

a1 ? a 2 ? ? ? a n ; n

2、 n 个数的几何平均数是指 a1 a 2 ? a n (有意义的前提下) ; 3、两个重要的不等式(二元均值不等式) : ① a 2 ? b 2 ? 2ab(a, b ? R) ,当

且仅当 a ? b 时等号成立。 ②

a?b ? ab (a, b ? R* ) ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 2

最值定理:若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P ,则: ①如果 P 是定值, 那么当 x ? y 时,S 的值最小; ②如果 S 是定值, 那么当 x ? y 时,P 的值最大。 注意: ①前提: “一正、二定、三相等” ,如果没有满足前提,则应根据题目创设情境;还要注 意选择恰当的公式; ②“和定 积最大,积定 和最小” ,可用来求最值; ③均值不等式具有放缩功能,如果有多处用到,请注意每处取等的条件是否一致。

二 例题解析
例1 已知实数 a 、 b ,判断下列不等式中哪些一定是正确的?

(1)

a?b ? ab ; (2)a 2 ? b 2 ? ?2ab ; 2 1 ? 2; a
(6)

(3) a ? b ? ab ;
2 2

(4)
2

b a ? ?2 a b

(5) a ?

a b ? ?2 b a

(7) ( 2 a ?b ) ? ( a ? b)
2 2

解: (1)错误。 a 、 b 为负实数时不正确 (2)正确 (3)正确 (4)错误。 a 、 b 为负实数时不正确 (5)错误。 a 、 b 为负实数时不正确 (6)正确 (7)正确 答案: (2) (3) (6) (7)
1

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例 2 (1)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 4 ,求 xy 的最大值;

xy 的最大值为 4。
(2)已知 x ? 0,y ? 0 ,且 xy ? 4 ,求 x ? y 的最小值;

x ? y 的最小值为 4。
(3)若 x ? 0 ,则 x ? 答案: 2 2 例 3 已知 ab ? 0, 求证 证:略 例 4 已知正数 x、y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 故 xy 的取值范围是 [9, ? ?) 。故 x ? y 的取值范围是 [6, ? ?) 。 例 5 y ? 2x ?
2

2 的最小值为 x

.

b a ? ? 2 ,并指出等号成立的条件。 a b

3 的最小值是 1? x2
6?2 时) 2



? y min ? 2 6 ? 2(当 x 2 ?

例 6 若 a ? b ? 3,则 2 ? 2 的最小值是
a b


3

解:? 2 · 2 ?2
a b

a?b

(2 a ? 2 b ) m in ? 2 · 22 ? 4 2 ? 8(定 值 ) ? 当 a ? b时 , 1 1 ? 的最小值。 x y

例 7 (1)已知: x ? 0, y ? 0,4 x ? 9 y ? 1, 求

9 y 4x ? ? 13 ? 12 ? 13 ? 25 x y

(2)已知 x, y ? R 且

?

1 4 ? ? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值. x y

? u 的最小值为 9 .
例 8 已知不等式 ( x ? y )( ? ( ) A.2

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x、y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 y
C.6
2

B.4

D.8

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答案:B

例 9(1)已知 a 、 b ? 0 ,则下列不等式中不成立的是(

D



a b ? ? 2; b a 1 (C )a ?b ? ?2 2; ab
( A) (2)下列式子中最小值为 2 的是( ( A) x ?

( B ) ( a ? b) ? ( ? ) ? 4 ; (D)

1 a

1 b

2ab ? ab a?b

D ) ( B)

1 x

x2 ? 2 ? x2 ? 2 x2 ?1
( C )

1 x ?2
2

2 ( C) x ? 2 x
2

(D)

(3)下列函数中,最小值为 2 2 的是 A. y ? x ?
x

2 x
?x

B. y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? e ? 2e

D. y ? log 2 x ? 2 log x 2

(4)已知 x ? R ,给出下列命题① x ?

1 x2 ? 2 的最小值是 2;② 的最小值是 2;③ x x2 ?1

x2 ? 5 x ?4
2

的最小值是 2;④ 2 ?

4 ? x 的最小值是-2,其中正确的命题有____②_____(填 x

序号) 。 (5)函数 y ? x ?
2

1 ? 1 的值域为 x ?1
2

[2, ??).

(6)若 x ? 0 ,则

x 2 ? 2x ? 4 的最小值是_________6 x

2 的最大值是________________ 3 ? 2 6 x 1 1 1 (8)已知 x ? 0 ? ,则当 x=____ ______时, x(1 ? 2 x) 有最大值_________。 2 4 8
(7)设 x ? 0 , y ? 3 ? 3 x ?

3

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例 10 求下列各题:

2 ,求 x(2 ? 5 x) 的最大值 5 1 (2)已知 x ? 4 ,求 x ? 的最小值 x?4 1 (3)已知 x ? 1 ,求 x ? 的最大值 x ?1 3 4 (4)已知 x ? ,求 x ? 的最小值 2 2x ? 3
(1)已知 0 ? x ? (5)已知 x ? 3 ,求

2x2 的最小值 x ?3 1 2 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y

(6)若正实数 x 、 y 满足

2 1 1 5 x ? (2 ? 5 x) 2 1 , ? x(2 ? 5 x) ? ? 5 x(2 ? 5 x) ? ? [ ] ? , ? 2 ? 5x ? 0 , 5 5 5 2 5 1 当且仅当 5 x ? 2 ? 5 x ,即 x ? 时,等号成立 5
解: (1) ?0 ? x ? (2)? x ? 4 ,? x ? 4 ? 0 ,? x ? 当且仅当 x ? 4 ? ( 3

1 1 1 ? x?4? ? 4 ? 2 ( x ? 4) ? ? 4 ? 6, x?4 x?4 x?4

1 ,即 x ? 5 时,等号成立 x?4 ) ?x ?1



?1 ? x ? 0



?x ?

1 1 1 1 ? x ?1? ? 1 ? ?(1 ? x ? ) ? 1 ? ?2 (1 ? x) ? ? 1 ? ?1 x ?1 x ?1 1? x 1? x 1 ,即 x ? 0 时,等号成立 1? x 3 ) ?x ? 2

当且仅当 1 ? x ? ( 4



? 2x ? 3 ? 0



?x ?

4 2x ? 3 4 3 2x ? 3 4 3 3 ? ? ? ?2 ? ? ?2 2? 2x ? 3 2 2x ? 3 2 2 2x ? 3 2 2 2x ? 3 4 3 ,即 x ? ? 2 时,等号成立 ? 2 2x ? 3 2 5 ) , ?x ? 3

当且仅当 (

?x ?3 ? 0



?

2x2 ( x ? 3) 2 ? 6( x ? 3) ? 9 9 9 ? 2? ? 2 ? (x ? 3 ? ? 6) ? 2 ? [2 ( x ? 3) ? ? 6] x ?3 x ?3 x ?3 x ?3

4

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? 24 ,当且仅当 x ? 3 ?

9 时,即 x ? 6 时,等号成立 x ?3 1 x 2 y 2x ) ? 1? 2 ? ? ? 3? 2 2 y x y

(6)? x ? y ? ( x ? y ) ?1 ? ( x ? y ) ? ( ?

三 练习
1.已知非零实数 a, b 判断下列不等式中哪些一定是正确的?

a?b ? ab 2 b a (4) ? ? 2 a b
(1) (5) a ?

( 2 ) a 2 ? b 2 ? ?2ab

( 3 ) a 2 ? b 2 ? ab

1 ?2 a

(6)

a b ? ?2 b a


(7) 2(a 2 ? b 2 ) ? (a ? b) 2

2.不等式 a ? b ? 2 ab 成立的充分条件是( A. a, b ? R B. a, b ? R
?

C. a, b ? R, 且 a ? b ) B. x ? y ? 2 xy

D. a, b ? R , 且 a ? b

?

3.下列不等式一定成立的是( A. x ? y ? 2 xy D. x ? y ? 2

C. x ? y ? 2 xy

xy


4.如果 a, b 为实数,且 ab ? 0 ,那么下列各式中正确的是( A. a ? b ? 2ab

B.

a b ? ?2 b a

C.

1 1 2 ? ? a b ab

D. a ? b ? 2ab
2 2

5.已知 x 为非零实数,则下列不等式中恒成立的是( A. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

) C. x ?
2

B. x ?

1 ?2 x

4 ?4 x2

D. x ? 2 ? 2 x ? 1
2 2

6.已知正数 a, b 满足 a ? b ? 4 ,则下列各式中,恒成立的是(



1 1 1 1 B. ? ? 1 C. ab ? 2 ? ab 2 a b 7.如果 a ? b ? 0 ,那么下列各式中正确的是( )
A.

D.

1 1 ? 2 a ?b 4
2

5

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a?b ? ab ? b 2 a?b C. a ? ? b ? ab 2 8.下列式子中最小值为 2 的是(
A. a ? A. x ?

a?b ? a ? ab ? b 2 a?b D. ? ab ? a ? b 2
B. )

1 x

B.

x2 ? 2 ?
2

1 x2 ? 2
2

C. x ?
2

2 x2

D.

x2 ? 2 x2 ?1

9.若正数 a, b 满足 ab ? 2 ,则 a ? b ? 10.若 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ab ? 11.(1)已知 xy ? 4 ,求 x ? y 的取值范围
2 2 ?

,a ?b ?

(2)已知 x ? y ? 4 ,求 xy
2 2

的取值范围

12.若 a, b ? R ,且 a ? b, a ? b ? 2 ,则 1, ab,

a2 ? b2 的大小关系为 2

b a ? 的取值范围是______________ a b 1 14.已知函数 y ? x ? ,当 x ? 0 时, y 的取值范围是______________ x 1 2 15.已知函数 y ? 2 x ? 2 ,当 x ? ____________时, y 有最小值为______________ x 1 2 16.函数 y ? x ? 2 ? 1 的值域为 x ?1
13.已知 ab ? 0 ,则
17.若 ? 4 ? x ? 1 ,则 18.已知函数 y ? x ? 19.若 x ? R ,则 20.若 x ?
?

x 2 ? 2x ? 2 的最大值为______________ 2x ? 2

1 ( x ? 1) ,当 x ? ____________时, y 有最小值为______________ x ?1
值,且值为

x2 ?1 有最 2x

2 6 ,则 x ? 的最小值为 3 2 ? 3x x 2 ? 2x ? 3 有最 x ?1
值,且值为

21.若 x ? 1 ,则

22.已知 y ? 2 ? 3 x ?

4 ,若 x ? 0 ,则 y 的最小值是______________,若 x ? 0 ,则 y 的最 x

大值是______________

6

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1 ? x ( x ? 3) 的最小值是______________ x ?3 1 24.已知 0 ? x ? ,则函数 y ? 3 x(1 ? 3 x) 的最大值是______________ 3 3 25.设 0 ? x ? ,则函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值是______________ 2 1 26.若 x ? 2 ,当 x ? 时, 2 x ? 有最小值 x?2
23.函数 y ? 27.若 x ? 0 , x 1 ? x 的最大值为
2

,此时 x ?

28.设 0 ? x ? 2 ,则函数 f ( x) ?
? 2 2

x(8 ? 2 x) 的最大值是
2

29.若 a , b ? R ,且 2a ? b ? 2 ,则 a 1 ? b 的最大值是 30.若 a ? b ? 0 , 则 a ?
2

16 的最小值为 b( a ? b)

1 1 时, x ? 的最小值为_____________ 2 2x ?1 2 32.当 0 ? x ? 时, x(2 ? 3 x) 的最大值为_____________ 3 3x 33.当 x ? 0 时, 2 的最大值为_____________ x ?4
31.当 x ? 34.函数 f ( x) ?

x2 ? 6 x2 ? 2 x2 ? 4 x2 ? 3

的最小值为_____________

35.函数 f ( x) ?

? 1 的最小值为_____________ a?c 的大小关系是 2

36.已知 a ? b ? c ,则 ( a ? b)(b ? c) 与 37.求函数 y ? 2 x ?
2

3 ( x ? 0) 的最小值,下列解法是否正确?为什么? x

解一: y ? 2 x ?
2

3 1 2 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 3 3 2 x 2 ? ? ? 3 3 4 ,∴ y min ? 33 4 x x x x x
3 3 3 3 12 即 x? 时 , ? 2 2x 2 ? ? 2 6x , 当 2x 2 ? x x x 2

解 二 :

y ? 2x 2 ?
3

y min ? 2 6 ?

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2

7

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38.已知 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,求

?

1 2 ? 的最小值 a b

39.若 x, y ? R , x ? y ? 1 则

?

1 1 ? 的最小值是 x y

40.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,则 x ? y 的最小值为___________, xy 的最小 值为___________ 41.已知 x, y ? R ,且
?

1 1 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是___________ x y 1 1 ? 的 最 小 值 是 ___________ , xy 的 最 大 值 是 x y

42. 已 知 x, y ? R ,且x ? 4 y ? 1 , 则 ___________

?

43.设 x, y ? R 且 3 x ? 2 y ? 12 ,则 xy 的最大值是___________ 44.已知 a, b ? R , a ? 2b ? 1 ,则 45.已知
?

?

1 1 ? 最小值为___________ a b

2 3 ? ? 2( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是________ x y 1 1 ? 的最小值为 x y

46.已知正数 x 、 y 满足 x ? 3 y ? 2 ,则 47.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,则

1 1 的最小值是__________ ? 1? a 1? b


48.若 a、b 是正数,则

a?b 2ab a2 ? b2 、 ab 、 、 这四个数的大小顺序是( 2 a?b 2 a2 ? b2 a?b 2ab ≤ ab ≤ ≤ 2 2 a?b a?b a2 ? b2 2ab ≤ ≤ 2 2 a?b

A. ab ≤

a?b 2ab a2 ? b2 ≤ ≤ 2 a?b 2

B.

C.

2ab a?b a2 ? b2 ≤ ab ≤ ≤ a?b 2 2

D. ab ≤

49.若 x, y 是正实数, 则 ( x ? y )( ? A.6 B. 9 C.12

1 x

4 ) 的最小值为( y
D.15



50.已知正实数 a 与 b 满足 a ? b ? 1 ,求

a b 的最大值或最小值 ? 1? b 1? a

8

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51.已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 ,求证: (1 ?

1 1 )(1 ? ) ? 9 ,并指出等号成立的条件 x y

52.已知 a, b ? 0 ,求证: a ? b ?

1 ? 2 2 ,并指出等号成立的条件 ab

53.已知 a ? 0, b ? 0 ,求证: a ? b ? a b ? b a
3 3 2 2

54.已知 a, b ? R ,求证:

?

a b ? ? a? b b a

55.设 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,求证: ( 1)

1 1 1 ? ? ?8 a b ab

( 2) ( a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2

( 3)

2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2
(4) (

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 2 a b

(5) ( a ?

1 1 25 )(b ? ) ? a b 4

56.若 x, y ? R ,且

?

x ? y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是 1 ? a 恒成立的实数 a 的取值范围是 x?2

57.当 x ? 2 时,使不等式 x ? 58.已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ? ,若 f ( x) ? 2 x ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 a 的取值范围是 a x
2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是__ x y

59.已知 x ? 0, y ? 0 且

9

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答案 1. ( 2 ) (3 ) (6 ) ( 7) 9. 4 , 2 2
2 2

2.D

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.D

10.

1 4
12.

11. ( 1 ) x ? y ? 8 ( 2 ) ?2 ? xy ? 2 14. [2, ??) 15. ? 4

a 2 ? b2 ? 1 ? ab 2

13. (??, ?2]

1 ,2 2 2

16. [2, ??)

17. ?1

18.2,3

19.小,1

20.

2 ?2 2 3

21.大, ?2 2 22. 2 ? 4 3 , 2 ? 4 3

23.5

24.

1 4

25.

9 2

26. 2 ?

2 , 4?2 2 2

27.

1 2 , 2 2
29.

28. 2 2

3 2 4

30.16

31.

1 ? 2 2

32.

1 3

33.

3 4

34.4

35.

4 3 ?1 3 a?c 2
37.不正确,不满足“一正二定三相等”的条件

36. ( a ? b)(b ? c) ? 38.解:

1 2 1 2 1 2 b 2a ? ? ( ? ) ? 1 ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? 2 ? ? ? 3? 2 2 a b a b a b a b

? b 2a ? ? ? ? a ? 2 ?1 当且仅当 ? a 时,等号成立 b ,即 ? b ? 2 ? 2 ? ? ? ?a ? b ? 1
39.4 46. 2 ? 3 48.C 49.B 40.18 , 64 47.4 41.4 42.9 ,

1 16

43.6

44. 3 ? 2 2

45.6

50. 解 : ? 正 实 数 a 与 b 满 足 a ? b ? 1 , ? 0 ? ab ? (

a?b 2 1 , ) ? 2 4

?

a b a (1 ? a ) ? b(1 ? b) a 2 ? b 2 ? 1 ? ? ? 1? b 1? a (1 ? a )(1 ? b) ab ? 2
10

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(a ? b) 2 ? 2ab ? 1 2 ? 2ab 6 6 2 a b ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ,? ? 只有最小 1 ab ? 2 ab ? 2 ab ? 2 1? b 1? a ?2 3 4
值,为 51.

2 ,没有最大值。 3
证 明 : 由 基 本 不 等 式 可 得 ,

1 1 y x y x y x 1 (1 ? )(1 ? ) ? (2 ? )(2 ? ) ? 5 ? 2( ? ) ? 2 ? 2 ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 x ? y ? x y x y x y x y 2
时,等号成立 52. 证明:由题得, a ? b ?

1 1 ? 2 ab ? ? 2 2 ,其中第一个等号成立的条件为 ab ab 1 1 1 ,即 ab ? ,? a ? b ? ? 2 2 ,当 2 ab ab

a ? b ,第二个等号成立的条件为 2 ab ?

且仅当 a ? b ? 53.

2 时,等号成立 2






? a 3 ? b3 ? a 2b ? b 2 a ? a 2 (a ? b) ? b 2 (b ? a ) ? (a ? b) 2 (a ? b) ? 0



? a 3 ? b3 ? a 2b ? b 2 a
54. 证 明 :

a b b?a a ?b 1 1 b ? a ( b ? a )2 ( b ? a ) ? ? ( a ? b) ? ? ? (b ? a )( ? ) ? (b ? a ) ? ?0 b a a b a b ab ab

?
55.

a b ? ? a? b b a
证 明 : ( 1 )

? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1



1 1 1 1 1 a?b 1 1 a b 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( ? ) ? 2( ? )( a ? b) a b ab a b ab a b ab ab a b a b

1 ? a? ?a ? b ? 1 ? b a b a ? ? 2 ? 2(2 ? ? ) ? 2(2 ? 2 ? ) ? 8 ,当且仅当 ? b a 时,即 ? 时,等号成立 1 a b a b ? ? ?b ? ?a b ? ? 2
( 2 )

? 2(a 2 ? b 2 ) ? (a ? b) 2



a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1



11

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1 1 ? (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? a b (a ? b ?

(a ? b ?

1 1 2 ? ) a b 2

?

b a 2 a?b a?b 2 b a ? ) (3 ? ? ) 2 (3 ? 2 ? ) a b ? 25 a b a b ? ? 2 2 2 2

1 1 ? 1 ?a ? ? b ? 其中第一个等号成立的条件为 ? a b ,即 a ? b ? ,第二个等号成立的条件为 2 ? ?a ? b ? 1 ?b a 1 ? ? ? a b ,即 a ? b ? 2 ? ?a ? b ? 1 1 1 25 1 ,当且仅当 a ? b ? 时,等号成立 ? (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? a b 2 2
(3)要证:

2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2 , 就 是 要 证 : ( 2a ? 1 ? 2b ? 1) 2 ? 8 , 即

4 ? 2 4ab ? 3 ? 8
就是要证: 4ab ? 3 ? 4 ,即 ab ?

1 a?b 2 1 。而? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 , ? ab ? ( ) ? , 4 2 4

? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2
当且仅当 ? 4

?a ? b ? 1 1 时,即 a ? b ? 时,等号成立 2 ?a ? b




? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1



? ( a ? b) 2 ? 1



?(

1 1 a 2 ? 2ab ? b 2 a 2 ? 2ab ? b 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1)( ? 1) a2 b2 a2 b2

?

2ab ? b 2 a 2 ? 2ab (2a ? b)(a ? 2b) (a ? 1)(b ? 1) ab ? a ? b ? 1 2 , 而 ? ? ? ? ? 1? 2 2 a b ab ab ab ab a?b 2 1 ) ? 2 4

0 ? ab ? ( ?1 ?


?a ? b ? 1 2 1 1 1 ? 9 ,? ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 ,当且仅当 ? 时,即 a ? b ? 时,等号成立 ab a b 2 ?a ? b
5 )

? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1



12

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1 1 a 2 ? 1 b 2 ? 1 a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 a 2b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 1 ? (a ? )(b ? ) ? ? ? ? a b a b ab ab 2 a?b 2 1 2 1 ? 2 , 又 ? ab ? ( ) ? , 且 函 数 f ( x) ? x ? 在 (0, ] 上 单 调 递 减 , ab 2 4 x 4 2 1 25 ? ab ? ?2 ? ?8?2 ? ab 4 4 ? ab ? ?a ? b ? 1 1 1 25 1 ? (a ? )(b ? ) ? ,当且仅当 ? 时,即 a ? b ? 时,等号成立 a b 4 2 ?a ? b
56. 解 : 由 题 得 , a ?

x? y x? y

恒 成 立 , ?a ? (

x? y x? y

) max , 而

(

x? y x? y

)2 ?

x ? y ? 2 xy 2 xy ? 1? ?2 x? y x? y x? y x? y ) max ? 2 ,? a ? 2 ,即 a 的最小值为 2

?

x? y x? y

? 2 ,即 (

57.解:? x ? 而 f ( x) ? x ?

1 1 ? a ( x ? 2) 恒成立,? 设 f ( x) ? x ? ( x ? 2) ,? f ( x) min ? a x?2 x?2 1 1 1 ? x?2? ? 2 ? 2 ( x ? 2) ? ?2 ? 4, ? f ( x) min ? 4 , ?a ? 4 x?2 x?2 x?2 2 1 2 ? 2 x ? 在 (0, ??) 上 恒 成 立 , ? 设 f ( x) ? ? 2 x ( x ? 0) , x a x

58. 解 : 由 题 得 ,

? f ( x) min ?
而 f ( x) ?

1 a

2 1 1 ? 2 x ? 4 ,? f ( x) min ? 4 ,? ? 4 ,? a ? 或 a ? 0 x a 4
2 2

59.解:? x ? 2 y ? m ? 2m 恒成立,? 设 x ? 2 y 的最小值为 t ,? t ? m ? 2m 。又

? x ? 2 y ? ( x ? 2 y ) ?1 2 1 4y x 4y x ? ( x ? 2 y) ? ( ? ) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8 , ? t ? 8 ,? 8 ? m 2 ? 2 m , x y x y x y
??4 ? m ? 2

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