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高中必修1-5错误解题分析系列-《6.4空间角和距离》


§6.4 空间角和距离
一、知识导学 1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角,掌握上述三类空间角的作 法及运算. 2.掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线(或平面)的距离、直线与平面的距 离及两平行平面间距离的求法. 二、疑难知识导析 1.求空间角的大小时,一般将其转化为平面上的角来求,具体地将其转化为某三角形的一 个内角. 2.求二面角大小时

,关键是找二面角的平面角,可充分利用定义法或垂面法等. 3. 空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时, 可先找出点在平面内 的射影(可用两个平面垂直的性质) ,也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球 心到截面圆心的距离由勾股定理得 d ?

R2 ? r 2

4.球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长,关键在于画出经过两点的 大圆以及小圆. 5.要注意距离和角在空间求值中的相互作用,以及在求面积和体积中的作用. 三、经典例题导讲 [例 1] 平面 ? 外有两点 A,B,它们与平面 ? 的距离分别为 a,b,线段 AB 上有一点 P,且 AP:PB=m:n,则点 P 到平面 ? 的距离为_________________. 错解:

na ? mb . m?n na ? mb mb ? na 或| | . m?n m?n

错因:只考虑 AB 在平面同侧的情形,忽略 AB 在平面两测的情况. 正解:

[例 2]与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个. 错解:4 个. 错因:只分 1 个点与 3 个点在平面两侧.没有考虑 2 个点与 2 个点在平面两侧. 正解:7 个. [例 3]一个盛满水的三棱锥形容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、E、F,且知 SD: DA=SE:EB=CF:FS=2:1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的( ) A.

23 29

B.

19 27

C.

30 31

D.

23 27

错解:A、B、C.由过 D 或 E 作面 ABC 的平行面,所截体 计算而得. 正解:D. 当平面 EFD 处于水平位置时,容器盛水最多

?

VF ? SDE VC ? SAB

1 1 S ?SDE ? h1 ? SD ? SE ? sin ?DSE ? h1 3 3 ? ? 1 1 S ?SAB ? h2 ? SA ? SB ? sin ?ASB ? h2 3 3
SD SE h1 2 2 1 4 ? ? ? ? ? ? SA SB h2 3 3 3 27
4 23 ? 27 27

?

最多可盛原来水得 1-

[例 4]斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形, 侧棱长等 0 于 b,一条侧棱 AA1 与底面相邻两边 AB、AC 都成 45 角,求这个三棱 柱的侧面积. 错解:一是不给出任何证明,直接计算得结果;二是作直截面的方法 不当, “过 BC 作平面与 AA1 垂直于 M” 三是由条件 即 ; “∠A1AB=∠A1AC ? ∠AA1 在底面 ABC 上的射影是∠BAC 的平分线”不给出论证. 正解: 过点 B 作 BM⊥AA1 于 M, 连结 CM, 在△ABM 和△ACM 中, ∵AB=AC, ∠MAB= 0 0 ∠MAC=45 ,MA 为公共边, ∴△ABM≌△ACM, ∴∠AMC=∠AMB=90 , ∴AA1⊥面 BHC, 即平面 BMC 为直截面,又 BM=CM=ABsin450= 且棱长为 b,∴S 侧=(1+ 2 )ab [例 5]已知 CA⊥平面α ,垂足为 A;AB AB=a.求 C,D 两点间的距离. 解 : 本题应分两种情况讨论: α ,BD⊥AB,且 BD 与α 成 30°角;AC=BD=b,

2 2 a,∴BMC 周长为 2x a+a=(1+ 2 )a, 2 2

(1)如下左图.C,D 在α 同侧:过 D 作 DF⊥α ,垂足为 F.连 BF,则 ?DBF ? 30 , 于是
?

DF ? 1 BD ? 2

b 2 .

根据三垂线定理 BD⊥AB 得 BF⊥AB.

在 Rt△ABF 中, AF=

AB 2 ? BF 2 ? a ? 3 b 2 4
b
b

过 D 作 DE ? AC 于 E,则 DE=AF,AE=DF= 2 .所以 EC=AC-AE= b- 2 = 2 .故

b

CD=

EC 2 ? DE ? EC 2 ? AF 2 ? ( b ) 2 ? a 2 ? 3 b 2 ? a 2 ? b 2 2 4

(2)如上右图.C,D 在α 两侧时:同法可求得 CD=

a2 ? 3b2

点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中,应用勾股定理来求 解. [例 6] (06 年湖北卷)如图,在棱长为 1 的正方体

ABCD? A1 B1C1 D1 中, p 是侧棱 CC1 上的一点,
CP ? m .
(1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1 B1 所 成角的正切值为 3 2 ; (2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得对 任意的 m , D1Q 在平面 APD 上的射影垂直于 AP . 1 并证明你的结论. 解:解法一(1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 BDD1B1 相交于点,,连结 OG,因为 PC∥平面 BDD1B1 ,平面 BDD1B1 ∩平面 APC=OG,
D1

C1 B1
G O P

1 m 故 OG∥PC,所以,OG= PC= . 2 2
又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角.

A1

D

C

A

B

2 1 OA 在 Rt△AOG 中,tan ? AGO= ? 2 ? 3 2 ,即 m= . m 3 GO 2
所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3

(2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP.

那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。 解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1, m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1) 所 以
1
z

? B ?(

? D

?1
A1

D1

C1
j

?

,?

O1 B1 D

P

又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0 知, AC 为平 面 BB1D1D 的一个法向量。
x

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ?

C

y

A

B

设 AP 与 平 面 BB1D1D 所 成 的 角 为 ? , 则

??? ???? ? AP ? AC 2 3 2 ? 2 ? , 。 依题意有 s i n? ? c o s ( ? ? ? ??? ???? ? ) ? 2 2 2 AP ? AC 2? 2?m 2? 2?m 1 ? (3 2) 2
解得 m ?

1 1 。故当 m ? 时,直线 AP 与平面 BB1D1D 所成的角的正切值为 3 2 。 3 3

(2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x ,则 Q(x,1- x ,1), ???? ? D1Q ? ( x,1 ? x,0) 。依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP, 等价于 D1Q⊥AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x ) ? 0 ? x ? 时,满足题设要求。 [例 7]在梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,AB∥DC,AB=1,DC=2, AD ? 外一点,PAD 是正三角形,且 PA⊥AB, 求: (1)平面 PBC 和平面 PAD 所成二面角的大小; (2)D 点到平面 PBC 的距离. 解: (1)设 AD∩BC=E,可知 PE 是平面 PBC 和平面 PAD 的交线,依题设条件得 PA=AD=AE,则∠ EPD=90°,PD⊥PE 又 PA⊥AB,DA⊥AB,故 AB⊥平面 PAD. ∵ DC∥AB,∴ DC⊥平面 PAD. 由 PE⊥PC 得 PE⊥PD,∠DPC 是平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的平面角. PD ?

??? ???? ? ?

1 . 即 Q 为 A1C1 的中点 2

2 ,P 为平面 ABCD

2 ,DC=2,

tan ?DPC ?

DC ? 2 , ?DPC ? arctan 2 . PD

(2)由于 PE⊥PD,PE⊥PC,故 PE⊥平面 PDC, 因此平面 PDC⊥平面 PBC, 作 DH⊥PC,H 是垂足,则 DH 是 D 到平面 PBC 的距离. 在 Rt△PDC 中, PD ?

2 ,DC=2, PC ? 6 , DH ?

PD ? DC 2 3 . ? PC 3 2 3 . 3

平面 PBC 与平面 PAD 成二面角的大小为 arctan 2 ,D 到平面 PBC 的距离为 [例 8] 半径为 1 的球面上有 A、B、C 三点,A 与 B 和 A 与 C 的

? ? 球面距离都是 2 ,B 与 C 的球面距离是 3 ,求过 A、B、C 三点的截面到
球心 O 距离.

分析 : 转化为以球心 O 为顶点,△ABC 为底面的三棱锥问题解决.

由题设知△OBC 是边长为 1 的正三角形,△AOB 和△AOC 是腰长为 1 的全等的 等腰三角形.

取 BC 中点 D,连 AD、OD,易得 BC⊥面 AOD,进而得面 AOD⊥面 ABC,过 O 作 OH⊥AD 于 H,则 OH⊥面 ABC,OH 的长即为

所求,在 Rt ?ADB 中,AD=

7 2

,故在 Rt ?AOD ,OH=

AO?OD AD

?

21 7

点评: 本题若注意到 H 是△ABC 的外心,可通过解△ABC 和△AHO 得 OH.或利用体积法.

四、典型习题导练 0 1.在平面角为 60 的二面角 ? ? l ? ? 内有一点 P,P 到α 、β 的距离分别为 PC=2cm, PD=3cm,则 P 到棱 l 的距离为____________. 2.异面直线 a , b 所成的角为 60 ? ,过空间一定点 P,作直线 l ,使 l 与 a ,b 所成的角均 为 60 ? ,这样的直线 l 有 条. 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AD 的中点,

则点 A1 到平面 EFB1D1 的距离为 4.二面角 ? - l - ? 内一点 P, 分别作两个面的垂线 PA、 PB, B 为垂足. A、 已知 PA=3, PB=2, ∠APB=60°求 ? - l - ? 的大小及 P 到 l 的距离. 5.ABCD 是边长为 4 的正方形,CG⊥面 ABCD,CG = 2.E、F 分别是 AD、AB 的中点.求点 B 到面 EFG 的距离. 6.如图: 二面角 α - l -β 为锐角, 为二面角内一点, 到 α 的 距 P P 离为 2 2 ,到面β 的距离为 4,到棱 l 的距离为 4 2 ,求二面角 α - l -β 的大小. 7.如图,已知三棱柱 A1B1C1-ABC 的底面是边长为 2 的正三角形, 侧棱 A1A 与 AB、AC 均成 45°角,且 A1E⊥B1B 于 E,A1F⊥CC1 于 F. (1)求点 A 到平面 B1BCC1 的距离; (2)当 AA1 多长时,点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等.


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