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最新全国高中数学联赛精选模拟试题一


最新全国 高中数学精选 精选联赛模拟试题一 最新全国 2010 高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 选择题(

1. 1、函数 A、2 B、 C、

的最大值是( ) D、3

2. 已 知

,定义

,则

( )<

br />
A.

B.

C.

D.

3. 已知正三棱锥 P-ABC 的外接球 O 的半径为 1,且满足++=,则正三棱锥 P- ABC 的体积为 ( ) A. B. C. D.

4. 已知双曲线

的左右焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线右支上任意

一点,当 A、 5. 已知

取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为( ) B、3 C、 D、2 ( 则 a 的值有( ) R),且

(A) 个

(B) 个

(C) 个

(D)无数个 。

6. 平面上有两个定点 A、B,另有 4 个与 A、B 不重合的的动点

若使 的好点对 ( ) A.不存在 B.至少有一个

则称(

)为一个好点对。那么这样

C.至多有一个 D.恰有一个

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 填空题(

7. 不等式

的解集为

,那么 的值等于__________. 和 , 且 ,

8. 定义在 R 上的函数 则 的值为_________.

, 对任意实数 , 都有

9. 等差数列有如下性质:若

是等差数列,则通项为

的数列也是等

差数列.类比上述性质,相应地,若 _______________的数列也是等比数列.

是正项等比数列,则通项为

10. 在正三棱锥 S—ABC 中 M、N 分别是棱 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM,若侧棱 SA=2 ,则此正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是

11. 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最 多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 数字作答). 种(用

12.已知点 A(0,2)和抛物线 y2=x+4 上两点 B、C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标 的取值范围 小题, 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 解答题( 13. 在外接圆直径为 1 的△ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 设向量

(1) 求 (2)若

的取值范围; 试确定实数 的取值范围. ,A 为 PB 边上

14. 已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1),PB=3,DC=1,PD=BC=

一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2)。(Ⅰ)证明: 平面 PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 ;(Ⅲ)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM

是否平行面 PCD.

15. 设椭圆的方程为 垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 取值范围, 并用 表示直线 , 使

, 线段

是过左焦点

且不与

轴 的

为正三角形, 求椭圆的离心率

的斜率.

16. 在数列 (Ⅰ)试比较

中, 与 的大小;

(Ⅱ)证明:当 参考答案: 参考答案: 1.B

时,

.

2. 解:计算

可知 故选 C. 3.B 4.B

是最小正周期为6的函数。 即得

, 所以





5. D 解:由题设知

为偶函数,则考虑在 .

时,恒有

所以当

,且

时,恒有



由于不等式

的解集为

,不等式

的解集为

.因此当 . 故选(D).

时,恒有

6.B 解:因为

,所以

。将区间[0,1]分成

[

],

三段,则

中至少有两个值落

在同一个小区间内(抽屉原理)。所以满足 好点对( )至少有一个。所以选 B.



7. 8. 9. 10. 36π 11. 390 =2005

12. 简解:设B点坐标为(y21–4,y1),C点坐标为(y2–4,y) 显然 y21–4≠0,故 kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于 AB⊥BC,所以 kBC=–(y1+2).从而 y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4 消 去 x , 注 意 到 y≠y1

得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由 ?≥0 解得:y≤0 或 y≥4. 当 y=0 时,点B的坐标为(–3,–1);当 y=4 时,点B的坐标为(5,–3),均满足题意。故 点C的纵坐标的取值范围是 y≤0 或 y≥4. 13. 【标准答案】 标准答案】 解:因为 所以 即 又 ,由正弦定理,得 所以 即 ,

. (1) =

因此

的取值范围是

(2)若



,

由正弦定理,得 设 = ,则 ,

所以

即 所以实数 的取值范围为

14. (I)证明:依题意知: (II) (I) 由 知 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h



要使 即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系

则 A(0,0,0),B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0),

P(0,0,1),M(0,1,



由(I)知平面

,则 的法向量。



为等腰

因为

所以 AM 与平面 PCD 不平行. 15. 解: 如图, 设线段 足分别为 的中点为 . 过点





分别作准线的垂线, 垂





, 则

. 假 设 存 在 点

, 则

, 且

, 即



所以,



于是,

, 故

. 若 (如图),则

.



时, 过点

作斜率为

的焦点弦

, 它的中垂线交左准线



, 由上述运算知, 若 ,则由对称性得

. 故

为正三角形.





, 所以,椭圆

的离心率

的取值范围是



直线

的斜率为

. ,都有

16. 解:(Ⅰ)由题设知,对任意



(Ⅱ)证法 1:由已知得,



.



时,





则 ①-②,得



证法 2:由已知得,

(1)



时,由

,知不等式成立。假设当

不等式

成立,即

,那么

要证

,只需证

即证

,则只需证

………………10 分

因为 这就是说,当

成立,所以 时,不等式仍然成立.

成立.

根据(1)和(2),对任意

,且

,都有


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