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二次函数在高中数学中的应用


浅谈二次函数在高中数学中的应用 函数是贯穿数学课程的一条主要的主线,而二次函数是贯穿初中 和高中数学课程的一种很重要的函数,也是连接初中和高中数学的 重要的知识点。 同时各种数学思想如函数的思想、 数形结合的思想、 分类讨论的思想、等价转换的思想利用二次函数作载体,展现的非 常的充分。 二次函数是社会生活中的一个重要函数模型,是最基础的初等函 数,也是高中学习函数理论知识的重要模

型。现在高考对指数函数 和对数函数的要求有所降低,因此二次函数也成为近年高考的热 点。在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生 基础薄弱, 又受其接受能力的限制, 这部份内容的学习多是机械的, 很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要 对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性) 灵活应用,对二次函数还需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础 上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐 明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是以二次 函数为例来加以更深认识函数的概念。 二次函数是从一个集合 a 定 ( 义域)到集合 b(值域)上的映射?f:a→b,使得集合 b 中的元素 y=ax2+bx+c(a≠0)与集合 a 中元素 x 对应,记为 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)这里 ax2+bx+c 表示对应法则,又表示定义域中的元素 x 在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在 学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题: 例 1:已知 f(x)=2x2+x+4,求 f(x+1) 这里不能把 f(x+1)理解为 x=x+1 时的函数值,只能理解为自变 量为 x+1 的函数值。 例 2:设 f(x+1)=x2-4x+1,求 f(x) 通过这两个题型使学生对对应法则加深理解,区分两题的不同。 学生对第一个题容易理解,大部分同学对第二个题不容易理解,从 而不知解题思路。这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中 的元素 x+1 的象是 x2-4x+,求定义域中元素的象,其本质是求对应 法则?是什么? 一般有两种解决方法: (1)把所给表达式表示成 x+1 的多项式。 f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6, 再用 x 代 x+1 得 f(x) =x2-6x+6。 (2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。 (即通法) 令 t=x+1,则 x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6 从 而 f(x)=x2-6x+6 二、二次函数的单调性与图象 在高中阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数 y=ax2+bx+c(a ≠0)在区间(-∞,- )及(- +∞) ,上的单调性的结论用定义进 行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步 充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步 自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 例 3:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。 (1)y=x2+2x-1-1 (2)y=x2-1 (3)y=x2+2x-1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含 有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。 三、二次函数在闭区间上的最值 在高中学习二次函数的最值主要从以下两个方面考查:一方面考 查定义域有限制条件的二次函数的最值、通过转化形成的二次函数 的最值;含参数的二次函数

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