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2014届高考数学二轮复习复习升级训练篇专题四第二讲点、直线、平面之间的位置关系


第二讲 点、直线、平面之间的位置关系

1.(2013· 高考安徽卷)在下列命题中,不是公理的是( A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

)

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且

只有一条过该点的公共直线 2.(2013· 内蒙古乌海检测)已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且α ∩β =c,那么 直线 c 一定( )

A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 3.(2013· 高考广东卷)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 4.(2013· 河北省质量检测)已知 α、β 是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一 条直线 a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线 a、b,a?α , b?β ,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线 a、b,a?α ,b?β ,a∥β,b∥α,可以推出 α∥β 的是( ) B.②④ D.②③ )

A.①③ C.①④

5. 将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到空间四面体 ABCD(如图 (2)),则在空间四面体 ABCD 中,AD 与 BC 的位置关系是( )

A.相交且垂直 C.异面且垂直

B.相交但不垂直 D.异面但不垂直

6.(2013· 武汉市武昌区联考)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列命题: ①α ∥β ?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α ⊥β ;④l⊥m?α ∥β .

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其中正确命题的序号是________. 7.(2013· 广东省惠州市调研)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下 列命题中正确的有________. ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 m∥α,m∥β,则 α∥β;④若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n. 8.

如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的平 面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB;②MO∥平面 PAC;③OC⊥平面 PAC;④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).

9.如图,边长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的上方是以 ABCD 为底面的四棱锥,已知 PA=PB=PC=PD= 6,且正方体的上、下底面中心分别为 O,O1, (1)求证:PB∥面 O1AD; (2)求三棱锥 PADB1 的体积.

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10.(2013· 高考江苏卷)

如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB, 垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.

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11.如图,已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3, 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、EC 的中点,现将△ADE 沿 AE 折起,使得 DE⊥EC.

(1)求证:BC⊥平面 CDE; (2)求证:FG∥平面 BCD; (3)在线段 AE 上找一点 R,使得平面 BDR⊥平面 DCB,并说明理由.

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答案: 1. 【解析】选 A.A,不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证; B,是平面的基本性质公理; C,是平面的基本性质公理; D,是平面的基本性质公理. 2. 【解析】选 C.若 c 与 a,b 都不相交,则 c 与 a,b 都平行,根据公理 4,知 a∥b, 与 a,b 异面矛盾.故选 C. 3. 【解析】选 B.选项 A,若 l∥α,l∥β,则 α 和 β 可能平行也可能相交,故错误; 选项 B,若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β,故正确; 选项 C,若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β,故错误; 选项 D, 若 α⊥β, l∥α, 则 l 与 β 的位置关系有三种可能: l⊥β, l∥β, l?β , 故错误. 故 选 B. 4. 【解析】选 C.对于②,平面 α 与 β 还可以相交;对于③,当 a∥b 时,不一定能推出 α∥β,所以②③是错误的,易知①④正确,故选 C. 5. 【解析】选 C.在题图(1)中的等腰直角三角形 ABC 中,斜边上的中线 AD 就是斜边上 的高,则 AD⊥BC.翻折后如题图(2),AD 与 BC 变成异面直线,而原线段 BC 变成两条线段 BD、 CD, 这两条线段与 AD 垂直, 即 AD⊥BD, AD⊥CD, BD∩CD=D, 故 AD⊥平面 BCD, 所以 AD⊥BC.故选 C. 6. 【解析】①正确,∵l⊥α ,α ∥β ,∴l⊥β,又 m?β ,∴l⊥m;②错误,l,m 也 可以垂直,还可以异面;③正确,∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α ,又 m?β ,∴α⊥β;④错误,α 与 β 可能相交. 【答案】①③ 7. 【解析】若 m∥α,n∥α,m,n 可以平行,可以相交,也可以异面,故①不正确;若 α⊥γ,β⊥γ,α,β 可以相交,故②不正确;若 m∥α,m∥β,α,β 可以相交,故③不正确; 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n,④正确.故填④. 【答案】④ 8. 【解析】 ①错误, PA?平面 MOB; ②正确; ③错误, 否则, 有 OC⊥AC, 这与 BC⊥AC 矛盾;④正确,因为 BC⊥平面 PAC. 【答案】②④ 9.

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【解】(1)如图,作 OE⊥BC 于 E,连结 PE,则 PE⊥BC,易得 PE= PB2-12= 5, PO=2,连接 OB1 得四边形 PBB1O 为平行四边形,于是 PB∥OB1, 又 OB1∥DO1, ∴PB∥DO1, 又 PB?平面 O1AD, DO1?平面 O1AD, ∴PB∥平面 O1AD. 1 (2)由于 VP?ADB1=VA?PDB1,易得三棱锥 APDB1 的高即为 AO= AC= 2, 2 S△PDB1=SDD1B1B+S△PDB-S△DD1B1-S△PB1B 1 1 1 =2×2 2+ ×2 2×2- ×2 2×2- ×2× 2=3 2, 2 2 2 1 故三棱锥 PADB1 的体积为 VP?ADB1= ×3 2× 2=2. 3 10. 【证明】(1)因为 AS=AB,AF⊥SB, 垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点. 又因为 E 是 SA 的中点, 所以 EF∥AB. 因为 EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 又 AF?平面 SAB,AF⊥SB,所以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面 SAB,AB?平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA?平面 SAB,所以 BC⊥SA. 11. 【解】 (1)由已知得 DE⊥AE, DE⊥EC, ∵AE∩EC=E, AE、 EC?平面 ABCE, ∴DE⊥ 平面 ABCE,∴DE⊥BC.又 BC⊥EC,EC∩DE=E,∴BC⊥平面 CDE.
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(2)取 AB 中点 H,连接 GH、FH,如图所示. ∴GH∥BD,FH∥BC, ∴GH∥平面 BCD,FH∥平面 BCD. ∴平面 FHG∥平面 BCD, ∴GF∥平面 BCD. (3)R 点满足 3AR=RE 时,平面 BDR⊥平面 DCB.取 BD 中点 Q,连接 DR、BR、CR、 CQ、RQ,如图所示:

易得 CD=2,BR=

5 13 21 ,CR= ,DR= ,CQ= 2, 2 2 2 5 21 5 ,DR= ,BD=2 2,可知 RQ= , 2 2 2

在△BDR 中,∵BR=

∴在△CRQ 中,CQ2+RQ2=CR2,∴CQ⊥RQ. 又在△CBD 中,CD=DB,Q 为 BD 的中点, ∴CQ⊥BD,∴CQ⊥平面 BDR, ∴平面 BDC⊥平面 BDR.

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