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用不等式(组)解三角形的边角问题


用不等式(组)解三角形的边角问题
湖北 王东青

三角形边角的不等问题,经常要用不等式(组)来解决,下面举例说明. 例 1 △ ABC 中,三边长为 5,12, 2 ? 3 x ,周长为奇数,求整数 x 的值及周长的最大 值.
?5 ? 12 ? 2 ? 3x, ① ? 解:由三角形的三边关系的性质可知: ?5 ? 2 ? 3x ? 12, ② ?12 ? 2 ? 3x ? 5. ③ ?

5 解这个不等式组,得 ?5 ? x ? ? . 3 ? 3, ?2. 故整数 x 的值为 ?4, 当 x ? ?4 时, 2 ? 3 x 最大,最大值为 14 ,此时周长取最大值,最大值为 31. 12, 2 ? 3 x 的大小关系不确定,应考虑任何两边之和大于第三边,所 评注:由于此题中 5, 以用不等式组确定 x 的取值范围,细心的读者会注意到 5 ? 12 ,又因为 2 ? 3 x 应大于 0,故 不等式③是多余的. 例 2 三角形的三个内角分别为 ?,?,? .且 ? ≥ ? ? ? , ? ? 2? ,则 ? 的取值范围是
______.
① ?? ? 2? , ? 解:依题意,得 ?? +? +? ? 180?, ② ?? ≥ ? ? ? . ③ ?

1 ? 由①、②,得 ? ? 60? ? ?,? ? 120? ? ? . 3 ? 2 ? 所以 120? ? ? ≥ ? ? 60? ? ? . 3 ? 解得 72? ≥ ? ? 45? . 所以 45? ? ? ≤ 72? . 评注:先根据三角形的内角和的性质及已知条件,用含 ? 的式子来表示 ?,? ,再建立 关于 ? 的不等式组.
4∠C ? 7∠A , 例 3 在 △ ABC 中, 三个内角的度数均为整数, 且 ∠A ? ∠B ? ∠C , 求 ∠B 的度数.

解:设 ?C ? x? ,则 ∠A ?

4 ? ?? x? , ?B ? 180? ? ?A - ?C ? 180? ? x? ? x? ????? ? x? . 7 ? ?

4 11 由 ?A ? ?B ? ?C ,得 x ? 180 ? x ? x . 7 7 70 ? x ? 84 解得 .

4 因为 x 为整数,所以 x ? 77 ,求得 ?B ? 59? . 7 评注:设 ?C ? x? ,先把 ∠A,?B 用含 x 的式子来表示,再建立关于 x 的不等式组,求 出 x 的取值范围,然后利用整数的性质确定 ?B 的值.

例 4 △ ABC 的三个内角 A,B,C 满足 3 A ? 5B , 3C ≤ 2 B ,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
?3 A ? 5B, 解:由 ? 得 3 A ? 5 B ? 3B ? 2 B ≥ 3B ? 3C , ?3C ≤ 2 B

所以 A ? B ? C . 又 A ? B ? C ? 180? , 所以 A ? 180? ? A ,即 A ? 90? ,故选 C. 评注:不等式之间的转换不易把握,解此题的关键是推出 A ? B ? C ,我们还可以这样 推导: A ?

5 3 5 3 5 2 3 B,B ≥ C ,故 A ? ? C ,即 A ? C ,所以 C ? A ,又 B ? A ,故 3 2 3 2 2 5 5 2 3 B ? C ? A ? A ,即 B ? C ? A . 5 5


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