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2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷(理科)


2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每题只有一个正确答案,将正确 答案的序号涂在答题卡上.) 1.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 值为( ) A.28 B.32 C.33 D.27 2. 1}, B={x|ax+2=0}, 已知集合 A={﹣1, 若 B

?A, 则实数 a 的所有可能取值的集合为( A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,0,2} 3.下列函数中最 小值为 4 的是( A.y=x+ B.y= ) )

C.y=ex+4e﹣x

D.y=sinx+

, (0<x<π)

4.设 a=30.5,b=log32,c=cos2,则( ) A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a 5.下列叙述中,正确的个数是( ) 2 ①命题 p:“?x∈R,x ﹣2≥0”的否定形式为¬p:“?x∈R,x2﹣2<0”; ②O 是△ ABC 所在平面上一点,若 ? = ? = ? ,则 O 是△ ABC 的垂心; ③“M>N”是“( )M>( )N”的充分不必要条件; ④命题“若 x2﹣3x﹣4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2﹣3x﹣4≠0”. A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那 ) 么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(

A.90° B.60° C.45° D.30°

7.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a7=9a3,则

=(

)

A.9

B.5

C.

D.

8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

)

A.4

B.

C.

D.8

9.平面内有三个向量

,其中 ,若



夹角为 120°,



的夹角为 30°,且 )

, (λ,μ∈R)则(

A.λ=4,μ=2 B.

C.

D.

10.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.3a﹣1 B.1﹣3a C.3﹣a﹣1 D.1﹣3﹣a )

,则

11.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ ABC 中用余弦定理解得 , 乙同学在 Rt△ ACH 中解得 区间为( ) , 据此可得 cos72°的值所在

A. (0.1,0.2)

B. (0.2,0.3)

C. (0.3,0.4)

D. (0.4,0.5)

12.已知函数 f(x)=e2x,g(x)=lnx+ ,对?a∈R,?b∈(0,+∞) ,使得 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.1+ ln2 ) ﹣1 D.e2﹣

B.1﹣ ln2 C.2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.由直线 x=0,x= ,y=0 与曲线 y=2sinx 所围成的图形的面积等于__________.

14.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是__________.

15. Q, 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点 P, 且满足 A1P=BQ, M 是棱 CA 上的动点,则 的最大值是__________.

16.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 an 和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为__________.

对任意

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)△ ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 >b,试求角 B 和角 C. 18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2an=Sn+2n+1(n∈N*) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列; (Ⅲ)求数列{n?an}的前 n 项和 Tn. ,b=1, ,且 a

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

20.“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向 自来水厂缴纳水费约 4 万元, 为了缓解供水压力, 决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化 设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水 厂供水互补的用水模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C (单 位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是 C(x) = (x≥0,k 为常数) .记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消

耗的水费之和. (Ⅰ) 试解释 C(0)的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元?

21.设函数 处的切线的斜率为 k(x) ,且函数 列条件:①k(﹣1)=0;②对一切实数 x,不等式 (Ⅰ)求函数 k(x)的表达式; (Ⅱ)求证: 22.已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+ (n∈N*) . ﹣x2﹣2ax(a∈R) .

的图象在点(x,f(x) ) 为偶函数.若函数 k(x)满足下 恒成立.

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a=﹣ 时,方程 f(1﹣x)= 有实根,求实数 b 的最大值.

2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷 (理科)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每题只有一个正确答案,将正确 答案的序号涂在答题卡上.) 1.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 值为( ) A.28 B.32 C.33 D.27 【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】计算题. 【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性,即从第二项起,每一项与前一项的差依次 是 3 的倍数,再进行求解. 【解答】解:由题意知,数列 2,5,11,20,x,47, ∴5﹣2=3,11﹣5=6,20﹣11=9, 则 x﹣20=12,解得 x=32, 故选 B. 【点评】本题考查了数列的概念的应用,即需要找出数列各项之间的特定关系,考查了分析 问题和解决问题的能力. 2. 1}, B={x|ax+2=0}, 已知集合 A={﹣1, 若 B?A, 则实数 a 的所有可能取值的集合为( A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,0,2} 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】根据 B?A,利用分类讨论思想求解即可. 【解答】解:当 a=0 时,B=?,B?A; 当 a≠0 时,B={ }?A, =1 或 =﹣1?a=﹣2 或 2, )

综上实数 a 的所有可能取值的集合为{﹣2,0,2}. 故选 D. 【点评】本题考查集合的包含关系及应用.注意空集的讨论,是易错点. 3.下列函数中最小值为 4 的是( A.y=x+ B.y= )

C.y =ex +4e﹣x

D.y=sinx+

, (0<x<π)

【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】A. 当 x<0 时,利用基本不等式的性质,y=﹣ ≤﹣4,可知无最小值;

B.变 形为

,利用基本不等式的性质可知:最小值大于 4;

C.利用基本不等式的性质即可判断出满足条件; D.利用基本不等式的性质可知:最小值大于 4.

【解答】解:A.当 x<0 时, x=﹣2 时取等号.因此此时 A 无最小值; B. =

=﹣4,当且仅当

=4,当且仅当

x2+2=1 时取等号,但是此时 x 的值不存在,故不能取等号,即 y>4,因此 B 的最小值不是 4; C. =4,当且仅当 ,解得 ex=2,即 x=ln4 时取等号,即 y 的

最小值为 4,因此 C 满足条件; D. sinx>0, ∴ 当 0<x<π 时, =4, 当且仅当 ,

即 sinx=2 时取等号,但是 sinx 不可能取等号,故 y>4,因此不满足条件. 综上可知:只有 C 满足条件. 故选 C. 【点评】熟练掌握基本 不等式的性质是解题的关键,特别注意“=”是否取到. 4.设 a=30.5,b=log32,c=cos2,则( ) A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a 【考点】不等式比较大小. 【专题】计算题;阅读型. 【分析】有指数函数的性质得到 a>1,由对数函数的性质得到 b 大于 0 小于 1,由余弦函数 象限符号得到 c 小于 0,则答案可求 【解答】解:∵ 0=log31<log32<log33=1, 又∵ ,∴cos2<0, ,

所以 c<b<a. 故选 A. 【点评】本题考查了不等式的大小比较,考查了指数函数和对数函数的性质,考查了余弦函 数的性质,属基础题型. 5.下列叙述中,正确的个数是( ) 2 ①命题 p:“?x∈R,x ﹣2≥0”的否定形式为¬p:“?x∈R,x2﹣2<0”; ②O 是△ ABC 所在平面上一点,若 ? = ? = ? ,则 O 是△ ABC 的垂心; ③“M>N”是“( )M>( )N”的充分不必要条件; ④命题“若 x2﹣3x﹣4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2﹣3x﹣4≠0”. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑.

【分析】①对存在命题的否定,应把存在一个改为对任意的,再取结论的反面,故正确; ②由数量积的分配律可知 OC⊥AB,得出结论成立; ③由指数函数可知③“M>N”得出“( )M<( )N”,故错误; ④命题的逆否命题是先逆再否,故正确. 【解答】解:①命题 p:“?x∈R,x2﹣2≥0”的否定形式为¬p:“?x∈R,x2﹣2<0”是对应存 在命题的否定,应把存在一个改为对任意的,再 取结论的反面,故正确; ② ? = ? , ∴ ? ﹣ ? =0, ∴ ( )=0, ( )=0,进而得出 OB⊥AC,同理可证 OA⊥BC,

=0, ∴ ∴OB⊥AC, 同理可证 OA⊥BC,OC⊥AB, 故 O 为垂心,正确;[来源:学*科*网 Z*X*X*K] ③“M>N”不能推出“( )M>( )N”,由③“( )M>( )N”不能推出“M>N”,故应 是既不充分也不必要条件,故错误 ; ④命题的逆否命题是先逆再否,故命题“若 x2﹣3x﹣4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2﹣3x﹣4≠0”正确. 故选 C. 【点评】考查了四种命题,存在命题的否定和数量积的运算,属于基础题型,应熟练掌握. 6.如图,正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那 ) 么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(

A.90° B.60° C.45° D.30° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 AC 的中点 D,得到的锐角或直角就 是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 【解答】解:如图,取 AC 的中点 D,连接 DE、DF,∠DEF 为异面直线 EF 与 SA 所成的 角 设棱长为 2,则 DE=1,DF=1,根据 SA⊥BC,则 ED⊥DF ∴∠DEF=45°,

故选 C.

【点评】 本小题主要考查异面直线所成的角, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力, 属于基础题.

7.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a7=9a3,则 A.9 B.5 C. D.

=(

)

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项及求和公式,即可得出结论. 【解答】解:∵等差数列{an},a7=9a3, ∴a1+6d=9(a1+2d) , ∴a1=﹣ d, ∴ = =9,

故选:A. 【点评】本题考查等差数列的通项及求和公式,考查学生的计算能力,属于中档题. 8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A.4

B.

C.

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离.

【分析】 由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体, 画出其直观图, 由三视图可得 SC⊥ 平面 ABCD,AB⊥平面 BCSE,SC=4,BE=2.四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形,把数 据代入棱锥的体积公式计算可得答案. 【解答】解:由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图:

其中 SC⊥平面 ABCD,AB⊥平面 BCSE, 又 SC=4,BE=2.四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形, ∴几何体的体积 V=V 四棱锥+V 三棱锥 A﹣BSE= ×22×4+ × ×2×2×2= + = .

故选 B. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积, 判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解题的关键.

9.平面内有三个向量

,其中 ,若



夹角为 120°,



的夹角为 30°,且 )

, (λ,μ∈R)则(

A.λ=4,μ=2 B.

C.

D.

【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】如图所示,过点 C 作 CD∥OB,交直线 OA 与点 D,由题意可得∠OCD=90°.在 Rt△ OCD 中,利用边角关系求得| |=2,| |=4,再由| |=λ| |, 且| |=μ| |,求得 λ、μ 的值. 【解答】解:如图所示,过点 C 作 CD∥OB,交直线 OA 与点 D. ∵中 与 夹角为 120°, 与 的夹角为 30°,∴∠OCD=90°. 在 Rt△ OCD 中,| 由 可得| |=λ| |,且| |=| = |=μ| |tan30°=2 , |,即 4=λ?2,且 2=μ? . × =2,| |= =4,

解得 λ=2,且 μ= , 故选:C.

【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,熟练掌握向量的三角形 法则和向量共线定理是解题的关键,属于中档题.

10.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.3a﹣1 B.1﹣3a C.3﹣a﹣1 D.1﹣3﹣a[来源:学科网] 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用奇偶函数得出当 x≥0 时,f(x)= )

,则

,x≥0 时,f

(x)=

,画出图象,根据对称性得出零点的值满足 x1+x2,

x4+x5 的值,关键运用对数求解 x3=1﹣3a,整体求解即可. 【解答】解:∵定义在 R 上的奇函数 f(x) , ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∵当 x≥0 时,f(x)= ,

∴当 x≥0 时,f(x)=



得出 x<0 时,f(x)= 画出图象得出:

如图从左向右零点为 x1,x2,x3,x4,x5, 根据对称性得出:x1+x2=﹣4×2=﹣8, x4+x5=2×4=8,﹣log (﹣x3+1)=a,x3=1﹣3a,

故 x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a, 故选:B 【点评】本题综合考察了函数的性质,图象的运用,函数的零点与函数交点问题,考查了数 形结合的能力,属于中档题. 11.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ ABC 中用余弦定理解得 , 乙同学在 Rt△ ACH 中解得 区间为( ) , 据此可得 cos72°的值所在

A. (0.1,0.2)

B. (0.2,0.3)

C. (0.3,0.4)

D. (0.4,0.5)

【考点】解三角形;余弦函数的定义域和值域. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】根据题意,建立方程,再构造函数.利用零点存在定理,确定零点所在区间. 【解答】解: 根据题意可得 ∴

构造函数 ﹣1 ∵ , ∴x 所在区间为(0. 3,0.4) 即 cos72°的值所在区间为(0.3,0.4) 故选 C. 【点评】本题考查解三角形,考查函数思想,考查函数零点的判断,属于中档题. 12.已知函数 f(x)=e2x,g(x)=lnx+ ,对?a∈R,?b∈(0,+∞) ,使得 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.1+ ln2 ) ﹣1 D.e2﹣

B.1﹣ ln2 C.2

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】由 f(x)=e 2x,g(x)=lnx+ ,得:f﹣1(x)= ,g﹣1(x)= ,则 b﹣a

的最小值,即为 h(x)的最小值,利用导数法求出函数的最小值,可得答案. 【解答】解:∵f(x)=e2x,g(x)=lnx+ , ∴f﹣1(x)= ,g﹣1(x)= , ﹣ ,

令 h(x)=g﹣1(x)﹣f﹣1(x)=

则 b﹣a 的最小值,即为 h(x)的最小值, ∵h′(x)= ﹣ ,

令 h′(x)=0,解得 x= , ∵当 x∈(0, )时,h′(x)<0,当 x∈( ,+∞)时,h′(x)>0,

故当 x= 时,h(x)取最小值 1﹣

=1+



故选:A. 【点评】本题考查的知识点是反函数,利用导数法求函数的最值,其中将求 b﹣a 的最小值, 转化为 h(x)的最小值,是解答的关键. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.由直线 x=0,x= ,y=0 与曲线 y=2sinx 所围成的图形的面积等于 3.

【考点】定积分. 【专题】数形结合;数形结合法;导数的综合应用. 【分析】由题意可得 S= ,计算可得.

【解答】解:由题意和定积分的意义可得所求面积 S=

=﹣2cosx

=﹣2(cos

﹣cos0)=﹣2(﹣ ﹣1)=3

故答案为:3 【点评】本题考查定积分的求解,属基础题.

14.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是[ , ].

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出可行域,变形目标函数可得 连线的斜率与 1 的和,数形结合可得. =1+ 表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)

【解答】解:作出

所对应的区域(如图阴影) ,

变形目标函数可得

=

=1+



表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1 的和, 由图象可知当直线经过点 B(2,0)时,目标函数取最小值 1+ 当直线经过点 C(0,2)时,目标函数取最大值 1+ 故答案为:[ , ] = ; = ;

【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中 档题. 15. Q, 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点 P, 且满足 A1P=BQ, M 是棱 CA 上的动点,则 的最大值是 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】由已知中 A1P=BQ,我们可得四边形 PQBA 与四边形 PQB1A1 的面积相等,等于侧 面 ABPQB1A1 的面积的一半,M 是棱 CA 上的动点,可得 M 是 C 时, 最大.根据等底同高的棱锥体积相等,可将四棱椎 C﹣PQBA

的体积转化三棱锥 C﹣ABA1 的体积,进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的 ,求出四棱 椎 C﹣PQBA 的体积,进而得到答案. 【解答】解:设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 V ∵侧棱 AA1 和 BB1 上各有一动点 P,Q 满足 A1P=BQ, ∴四边形 PQBA 与四边形 PQB1A1 的面积相等, ∵M 是棱 CA 上的动点, ∴M 是 C 时, 最大

又四棱椎 M﹣PQBA 的体积等于三棱锥 C﹣ABA1 的体积等于 V,



的最大值是

= .

故答案为: . 【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积,棱锥的体积,其中根据四边形 PQBA 与四边形 PQB1A1 的面积相等,等于侧面 ABPQB1A1 的面积的一半,将四棱椎 C﹣PQBA 的体积转化 三棱锥 C﹣ABA1 的体积是解答本题的关键.

16.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 an 和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为 . 【考点】数列与不等式的综合. 【专题】计算题. 【分析】等差数列{an}中,首项不为零,前 n 项和 Sn= ;由不等式

对任意

,得 an2+

≥λa12,整理得

+

+ ≥λ;若

设 t=

,求函数 y= t2+ t+ 的最小值,得 λ 的最大值.

【解答】解:在等差数列{an}中,首项不为零,即 a1≠0;则数列的前 n 项之和为 Sn= ;

由不等式

,得 an2+

≥λa12,

∴ an2+ a1an+ a12≥λa12,即

+

+ ≥λ;

设 t=

,则 y= t2+ t+ =

+ ≥ ,

∴λ≤ ,即 λ 的最大值为 ; 故答案为 . 【点评】本题考查了数列与不等式的综合应用,其中用到换元法求得二次函数的最值,应属 于考查计算能力的基础题目. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间;

(2)△ ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

,b=1,

,且 a

>b,试求角 B 和角 C. 【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)将 f(x)解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数 值化简, 整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 由正弦函数的递增 区间为[2kπ﹣ 的递增区间; (2)由(1)确定的 f(x)解析式,及 f( )=﹣ ,求出 sin(B﹣ )的值,由 B 为三 ,2kπ+ ],x∈Z 列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集即可得到 f(x)

角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数,再由 b 与 c 的值,利用正弦定理求 出 sinC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数,由 a 大于 b 得到 A 大于 B,检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数. 【解答】解: (1)f(x)=cos(2x﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ )﹣cos2x= sin2x﹣ cos2x= ≤x≤kπ+ ,x∈Z, sin(2x﹣ ) ,

,x∈Z,解得:kπ﹣ ,kπ+

则函数 f(x)的递增区间为[kπ﹣ (2)∵f(B)= ∵0<B<π,∴﹣ ∴B﹣ =﹣ sin(B﹣ <B﹣ ,

],x∈Z; )=﹣ ,

)=﹣ < ,

,∴sin(B﹣

,即 B= , =

又 b=1,c= ∴由正弦定理

得:sinC=

=



∵C 为三角形的内角, ∴C= 当 C= 则 B= 或 , ;当 C= . 时,A= (不合题意,舍去) ,

时,A= ,C=

【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦定理,正弦函数的单调性,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2an=Sn+2n+1(n∈N*) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列; (Ⅲ)求数列{n?an}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列的函数特性;等比关系的确定. 【专题】计算题. 【分析】 (I)根据 2an=Sn+2n+1,分别取 n=1,2,3,可求出 a1,a2,a3 的值; (II)因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立,两式相减可得 an+1+2=2(an+2) , 然后根据等比数列定义可得结论; (III)先求出数列{n?an}的通项公式,然后利用错位相消法进行求和即可. 【解答】 (本小题 满分 13 分) (I)解:由题意,当 n=1 时,得 2a1=a1+3,解得 a1=3. 当 n=2 时,得 2a2=(a1+a2)+5,解得 a2=8. 当 n=3 时,得 2a3=(a1+a2+a3)+7,解得 a3=18. 所以 a1=3,a2=8,a3=18 为所求.… (Ⅱ)证明:因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立. 两式相减得:2an+1﹣2an=an+1+2. 所以 an+1=2an+2(n∈N*) ,即 an+1+2=2(an+2) .… 所以数列{an+2}是以 a1+2=5 为首项,公比为 2 的等比数列.… (Ⅲ)解:由(Ⅱ) 得:an+2=5×2n﹣1,即 an=5×2n﹣1﹣2(n∈N*) . n﹣1 * 则 nan=5n?2 ﹣2n(n∈N ) .… n﹣1 设数列{5n?2 }的前 n 项和为 Pn, 则 Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n﹣1)?2n﹣2+5×n?2n﹣1, 所以 2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5(n﹣1)?2n﹣1+5n?2n, 所以﹣Pn=5(1+21+22+…+2n﹣1)﹣5n?2n, 即 Pn=(5n﹣5)?2n+5(n∈N*) .… 所以数列{n?an}的前 n 项和 Tn= ,

整理得,Tn=(5n﹣5)?2n﹣n2﹣n+5(n∈N*) .…(13 分) 【点评】 本题主要考查了等比关系的确定, 以及利用错位相消法求和, 同时考查了计算能力, 属于中档题. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE,E 为 PA 的中点,利用三角形中位线的性质, 可知 OE∥PC,利用线面平行的判定定理,即可得出结论;

(2)先证明 PA⊥DE,再证明 PA⊥OE,可得 PA⊥平面 BDE,从而可得平面 BDE⊥平面 PAB. 【解答】证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.… 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.… 因为 PC?平面 BDE,OE?平面 BDE,所以 PC∥平面 BDE.… (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.… 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE?平面 BDE,DE?平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.… 因为 PA?平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.…(14 分)

【点评】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 20.“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向 自来水厂缴纳水费约 4 万元, 为了缓解供水压力, 决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化 设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水 厂供水互补的用水模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C (单 位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是 C(x) = (x≥0,k 为常数) .记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消

耗的水费之和. (Ⅰ) 试解释 C(0)的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元? 【考点】函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)C(0)的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元,依题意,C(0) = =4,可求得 k,从而得到 y 关于 x 的函数关系式;

(Ⅱ)利用基本不等式即可求得 y 取得的最小值及 y 取得最小值时 x 的值. 【解答】解: (Ⅰ) C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元 ∵C(0)= =4,∴k=1000;

∴y=0.2x+

=0.2x+

,x≥0﹒﹒

(Ⅱ) y=0.2(x+5+ 当 x+5=

)﹣1≥0.2×20﹣1=7

,即 x=15 时,ymin=7

∴当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元 【点评】本题考查函数最值的应用,着重考查分析与理解能力,考查基本不等式的应用,属 于中档题.

21.设函数 处的切线的斜率为 k(x) ,且函数 列条件:①k(﹣1)=0;②对一切实数 x,不等式 (Ⅰ)求函数 k(x)的表达式; (Ⅱ)求证: (n∈N*) .

的图象在点(x,f(x) ) 为偶函数.若函数 k(x)满足下 恒成立.

【考点】综合法与分析法(选修) ;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 【专题】证明题. 【分析】 (Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x) ,根据 g(x)的奇偶性求出 b,根据 k(﹣1)=0, 求出 的表达式. (Ⅱ)根据 ,即证 ,把 ,再由 对一切实数 x 恒成立, 解得 a、c 的值, 即得函数 k(x)

代入要证不等式的左边化简即可证得不等式 成立. 【解答】解: (Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x)=ax2+bx+c.… 由 为偶函数, 得 .… 为偶函数, 显然有 … .

又 k(﹣1)=0,所以 a﹣b+c=0,即 又因为 即对一切实数 x,不等式 显然,当 时,不符合题意.…

对一切实数 x 恒成立, 恒成立.…



时,应满足



注意到

,解得

.… 所以

. …

(Ⅱ)证明:因为

,所以

.…

要证不等式

成立,

即证

.…

因为

,…

所以

=



所以

成立.…(14 分)

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,函数的恒成立问题,利用导数研究曲线在某点 的切线斜率,以及用裂项法对数列进行 求和,属于难题. ﹣x2﹣2ax(a∈R) .

22.已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a=﹣ 时,方程 f(1﹣x)= 有实根,求实数 b 的最大值.

【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)先对函数求导,由 x=2 为 f(x)的极值点,可得 f'(2)=0,代入可求 a (2)由题意可得 在区间[3,+∞)

上恒成立,①当 a=0 时,容易检验是否符合题意,②当 a≠0 时,由题意可得必须有 2ax+1 x﹣ +∞0 上恒成立. ≥0 对 x∈[3, >0 对 x≥3 恒成立, 则 a>0, 从而 2ax2+ (1﹣4a) (4a2+2) 考 2 2 查函数 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,结合二次函数的性质可求

(3)由题意可得

.问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1

﹣x)=xlnx+x2﹣x3 在(0,+∞)上有解,即求函数 g(x)=xlnx+x2﹣x3 的值域. 方法 1:构造函数 g(x)=x(lnx+x﹣x2) ,令 h(x)=lnx+x﹣x2(x>0) ,对函数 h(x)求 导,利用导数判断函数 h(x)的单调性,进而可求 方法 2:对函数 g(x)=x(lnx+x﹣x2)求导可得 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2.由导数知识研究 函数 p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,的单调性可求函数 g(x)的零点,即 g'(x0)=0,从而可得 函数 g(x)的单调性,结合 可知 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0 可求 b 的最大值 【解答】解: (1) = 因为 x=2 为 f(x)的极值点,所以 f'(2)=0.… 即 ,解得 a=0.… .… ,

又当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2) ,从而 x=2 为 f(x)的极值点成立.… 2 f x [3 + ∞ ( )因为 ( )在区间 , )上为增函数, 所以 在区间[3,+∞)上恒成立.…

①当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2)≥0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f(x)在[3,+∞)上为增 函数,故 a=0 符合题意.… ②当 a≠0 时,由函数 f(x)的定义域可知,必须有 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,故只能 a>0, 所以 2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0 对 x∈[3,+∞)上恒成立.… 令 g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2) ,其对称轴为 因为 a>0 所以 ,

,从而 g(x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g(3)≥0 即可,

因为 g(3)=﹣4a2+6a+1≥0, 解得 因为 a>0,所以 .… .

由①可得,a=0 时,符合题意; 综上所述,a 的取值范围为[0, ].…

(3)若

时,方程

x>0 可化为,



问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3 在(0,+∞)上有解, 即求函数 g(x)=xlnx+x2﹣x3 的值域.… 以下给出两种求函数 g(x)值域的方法: 方法 1:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x2) ,令 h(x)=lnx+x﹣x2(x>0) , 则 ,…

所以当 0<x<1,h′(x)>0,从而 h(x)在(0,1)上为增函数, 当 x>1,h′(x)<0,从而 h(x')在(1,+∞上为减函数,…(13 分) 因此 h(x)≤h(1)=0. 而 x>1,故 b=x?h(x)≤0, 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.…(14 分) 方法 2:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x2) ,所以 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2. 设 p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,则 .

当 当

时,p'(x)>0,所以 p(x)在 时,p'(x)<0,所以 p(x)在 ,又

上单调递增; 上单调递减; ,[来

因为 p(1)=0,故必有 源:学|科|网 Z|X|X|K] 因此必存在实数

使得 g'(x0)=0,

∴当 0<x<x0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,x0)上单调递减; 当 x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上单调递增; 又因为 当 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0. 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.…(14 分) 【点评】 本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用, 及利用函数的导数研究函数 的单调性及函数的最值的求解,解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力 [来源: ,


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