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【2013济宁市一模】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试 理科数学


2013 年济宁市高三模拟考试 数学(理工类)试题 第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 l2 小题.每小题 5 分。共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z ? (
i 1? i ) ,则复数 z ? 1 在复平面上对应的点位于
2

A.第一象限

>B.第二象限

C.第三象限
2

D.第四象限

2.已知全集 U=R,集合 A={ y | y ? ln ( x ? 1 ), x ? R },集合 B={ x || x ? 2 |? 1 },则如图所示的 阴影部分表示的集合是 A.{ x | 0 ? x ? 1 或 x > 3 } C.{ x | x > 3 } 3.下列命题中正确的有 ①设有一个回归方程 ? =2—3x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位; y
2 2 ②命题 P:“ ? x 0 ? R , x 0 - x 0 -1> 0 ”的否定 ? P:“ ? x ? R , x - x - 1 ? 0 ”;

B.{ x |0 ? x <1 } D.{ x |1 ? x ? 3 }

③设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),若 P(X>1)=p,则 P(-1<X<0)=
2

1 2

-p;

④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k =6.679,则有 99%的把握确认这两个变量间有关系. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 本题可以参考独立性检验临界值表 P(K ≥k) k
2

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828
??? ? ???? ?? ??? ???? ? ????

4.平面四边形ABCD中 A B + C D = 0 ,( A B - A D ) ?A C = 0 ,则四边形ABCD 是 A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形

5. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)= f ( x ) , 且当 x ? [ 0 ,2 ] 时, f ( x ) = e -1 ,则 f ( 2 0 1 3 )+ f (- 2 0 1 4 ) =
x

A.1-e B.e-1 . C.-l-e D.e+l 6. 如果右边程序框图的输出结果是 10, 那么在判断框中①表示的“条

1

件”应该是 A.i≥3 B.i≥4 C.i≥5 D.i≥6
? x ? 2 ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? 3 x - y ? 1 ,若目标函数 z = a x + b y ( a > 0 , b > 0 ) 的最小值为 2,则 ab 的 ? y ? x +1 ?

最大值为 A.1 B.
1 2

C.

1 4

D.

1 6

8.已知 m,n 是空间两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? ? , ? ? ? , 则 m ? ? B.若 ? ? ? = m , ? ? ? = n , m // n ,则 ? // ? D.若 m ? ? , m // ? , 则 ? ? ?

9.某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、 乙两辆汽车。每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需 乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 A.24 种 B.18 种 C.48 种 D.36 种 10.关于函数 f ( x )= 2 ( s in x - c o s x ) c o s x 的四个结论: P1:最大值为 2 ; P2 : 把 函 数 f ( x ) ?
2 s in 2 x ? 1 的 图 象 向 右 平 移

?
4

个单位后可得到函数

f ( x ) ? 2 (s in x ? c o s x ) c o s x 的图象;

P3:单调递增区间为[ k ? ? P4:图象的对称中心为( A.1 个 B.2 个
k 2

7? 8

,k? ?

1 1? 8

], k ? Z ;

? ?

?
8

, ? 1 ), k ? Z .其中正确的结论有

C.3 个 D.4 个
x

11.现有四个函数:① y ? x ?s in x ② y ? x ?co s x ③ y ? x ?| c o s x | ④ y ? x ?2 的图象(部分)如 下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

2

A.④①②③ 12.过双曲线
x a
2 2

B.①④③②
? y b
2 2

C.①④②③ D.③④②①
2 2

? 1 (a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)作圆 x ? y

? a 的切线,切点为 E,延
2

长 FE 交抛物线于点 P,O 为原点,若 O E ?
1? 2 5 3? 3 3 5 2

??? ?

1 2

???? ??? ? ( O F ? O P ) ,则双曲线的离心率为
1? 2

A.

B.

C.

D.

3

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分.共 16 分. 13、如图,长方形的四个顶点为 O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲 线 y ? a x 经过点 B.现将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图
2

中阴影区域的概率是 14. ( a x ?
2



1 x

) 的展开式中各项系数的和为 243,则该展开式中常数项
5

为 ▲ 15.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式: 2 2 2 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7? 3 3 2 =3+5 3 =7+9+11? 4 2 =7+9? 4 此规律,5 的分解式中的第三个数为 ▲ 16.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若存在闭区间[a,b] ? D,使得函数 f ( x ) 满足: (1) f ( x ) 在[a,b]内是单调函数;(2) f ( x ) 在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b] 为 y= f ( x ) 的“和谐区间”. 下列函数中存在“和谐区间”的是 函数序号) ① f ( x ) ? x ( x ? 0 ) ;② f ( x ) ? e ( x ? R ) ;
2 x



(只需填符合题意的

③ f(x)?

1 x

( x ? 0 ) ;④ f ( x ) ?

4x x ?1
2

( x ? 0)。

3

三、解答题:本大题共 6 小题。共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A= (I)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 18. (本小题满分 l2 分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母, “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为 动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进,增加了某项新 技术, 该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、 丙进行通过量化检测. 乙、 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为
3 4

?
4

, cos B ?

2 5

5





2 3



1 2

。指标甲、乙、丙

合格分别记为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互 不影响. (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学 期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图 1, ? O 的直径 AB=4,点 C、D 为 ? O 上两点,且 ? CAB=45°, ? DAB=60°,F 为 弧 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如图 2。 (I)求证:OF // 平面 ACD; (Ⅱ)求二面角 C—AD—B 的余弦值; (Ⅲ)在弧 BD 上是否存在点 G,使得 FG // 平面 ACD?若存在,试指出点 G 的位置;若不存在,请 说明理由.

20.(本小题满分 12 分)已知数列{ a n }的前 n 项和 S n ? ? a n ? (
n 满足 b n = 2 a n .

1 2

)

n ?1

? 2( n ? N

*

) ,数列{ b n }

(I)求证数列{ b n }是等差数列,并求数列{ a n }的通项公式;

4

(Ⅱ)设 c n ? lo g 2 值。

n an

,数列{

2 cncn?2

}的前 n 项和为 Tn,求满足 T n ?

25 21

(n? N

*

) 的 n 的最大

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为 (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)直线 x=2 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,A、B 是椭圆 O 上位于直线 PQ 两侧的动点,且直线 AB 的斜率为 ①求四边形 APBQ 面积的最大值; ②设直线 PA 的斜率为 k 1 ,直线 PB 的斜率为 k 2 ,判 断 k 1 + k 2 的值是否为常数,并说明理由. 22 . ( 本 小 题 满 分
f ( x ) ? a ? l n 3? x

1 2

, 短轴长为 4 3 .

1 2



l3
a ?. x

分 ) 已 知 函 数
( a R )

(I)若 a=-1,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45 , 对于任意的 t ? [1, 2], 函数 g ( x ) ? x ? x [ f '( x ) ?
3 2

o

m 2

] ( f '( x ) 是 f ( x ) 的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,

求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证:
ln 2 2 ? ln 3 3 ? ln 4 4 ? ... ? ln n n ? 1 n ( n ? 2 ,n ? N
*

)

5

2013 年济宁市高三模拟考试 数学(理工类)试题参考答案及评分标准 一 、选择题:DACCB 三、解答题:共 74 分. 17.解: (Ⅰ)? cos
B ? 2 5 5

DDDAB

CA 13.

2 3

14. 10 15. 125

16. ①③④

且 B ? (0 ,180 ) ,∴ sin
3? 4

?

?

B ?

1 ? cos

2

B ?

5 5

????2 分

cos C ? cos( ? ? A ? B ) ? cos(

? B)

?????????????????4 分
2 2 5 5
10 10 )

? cos

3? 4

cos B ? sin

3? 4

sin B ? ?

2 2

?

2 5
2

5

?

?

? ?

10 10
2

??????????6 分
3 10 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin 由正弦定理得
BC sin A ? AB sin C

C ?

1 ? cos

C

?

1 ? (?

?

????????8 分

,即

2

5 2 2

? 3

AB 10 10



解得 AB

? 6

. ????????????10 分
2

在 ?BCD 中, CD

? (2

5)

2

? 3

2

? 2?3? 2

5 ?

2 5

5

? 5

,所以 CD

?

5

18.解: (Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 A 、 B 、C , 则事件“得分不低于 8 分”表示为 ABC + A B C . 彼此独立?
P

? ABC

与 A B C 为互斥事件,且 A 、 B 、 C 为

P ( ABC

+ A BC
3 4 ? 2 3 ? 1 2

)

= P ( ABC )+ P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C )+ P ( A )
3 4 ? 1 3 ? 1 2 ?

( B ) P (C =

?

3 8

.

????????4 分

(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 X 的取值为 0,1,2,3.
? P ( X ? 0) = P

( A B C )=

1 4

?

1 3

?

1 2

=

1 24

,
? 1 3 ? 2 3 ? ? 1 2 1 2

P ( X ? 1)

= P ( A B C + A B C + A B C )= = P ( AB C + A BC + A B C )= = P ( ABC )=
3 4 ? 2 3 ? 1 2

3 4

+ +

1 4 1 4

?

2 3

?

1 2

+ +

1 4 3 4

?

1 3

?

1 2

= =

1 4

, ,

?????6 分

P ( X ? 2)

3 4

?

2 3

?

1 2

?

1 3

?

1 2

11 24

P ( X ? 3)

=

1 4

,

?????????????????8 分

随机变量 X 的分布列为
X P

0
1 24
? EX

1
1 4

2
11 24

3
1 4

=0 ?

1 24

+1 ?

1 4

+2 ?

11 24

+3 ?

1 4

=

23 12

.

???????????12 分

6

19.(方法一) :证明: (Ⅰ)如右图,连接 CO ,
? ? CAB ? 45 ,? CO ? AB .
?

?1 分 又? F
?

?

C

?F

为 弧

BC

的 中 点 , ? ? FOB ? 45

, ,
?

A
E
O

?
G

B

? ? ? ? OF ? 平 面 A C D 平面 ACD , AC ? ? O F // 平面 ACD . ?解: (Ⅱ)过 O 作 OE ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO ,AD ? CE
? ? OAD ? 60 , OA ? 2 ,? OE ?
?

? OF // AC .

D

? AD 于 E ,连 CE .
? CO

⊥平面 ABD .又? AD ? 平面 ABD , , 则∠ CEO 是二面角 C - A D - B 的平面角. ?

3 .

由 CO ⊥平面 ABD , ? 平面 ABD , ? C 得 E OE O
3 7
21 7

为直角三角形,? CO ? 2 ,? CE ?

7 ? cos ? CEO =

=

. ???8 分

(Ⅲ)取弧 BD 的中点 G ,连结 OG 、 FG ,则 ? B O G = ? B A D = 6 0 ? ????? ? OG // AD ?? O F // 平面 ACD ,? 平面 OFG // 平面 ACD FG //平面 ACD . 因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为弧 BD 的中点.?12 分 z (方法二) :证明: (Ⅰ)如图,以 AB 所在的 直线为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz
A ? 0, ? 2 ,0 ?
C ? 0 ,0 ,2 ?

?

C

?F


A
O

?
G

B y



?

?

1



?

D
x

AC ? ( 0 , 0 , 2 ) ? ( 0 , ? 2 , 0 ) ? ( 0 , 2 , 2 ) ,
?

点 F 为弧 BC 的中点,? 点 F 的坐标为 ? 0 , 2 , 2 ? , OF ? ( 0 , 2 , 2 ) .
2 ???? ? A C 解: (Ⅱ)? ? D A B ? 6 0 ,? 点 D 的坐标 D 2

???? ? OF ?

?

3 , ? 1 ,0

?, AD

????

? (

3 , 1, 0 )



设二面角 C - A D - B 的大小为 ? , n1 ? ? x , y , z ? 为平面 ACD 的一个法向量.
?? ?n ? 1 由 ? ?? ? n1 ? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ? A C ? 0, ? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? 有? 即? ???? 3 , 1, 0 ? 0 , ? A D ? 0, ? 3x ? y ? 0. ? ?? x, y, z ? ? ?

??

?

?

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?

?? 3 . ? n 1 = 1 ,-

?

3, 3

?.

????????????5 分

7

取平面 A D B 的一个法向量 n 2 = ? 0 ,0 ,1 ? ,
?? ?? ? 1? 0 ? (? n1 ? n 2 ?? ? ? ? c o s ? ? ?? | n1 | ? | n 2 | 3)? 0 ? 7 ?1
( x , y ,0 )

?? ?

??????????????6 分
3 ?1 ? 21 7

. ???????????8 分

(Ⅲ)设在弧 BD 上存在点 G
FG ? ( x , y ? 2 ,? 2)

,

,由(Ⅱ)知平面 ACD 的一个法向量为 n = ?1 ,- 3 , 3 ? .
2 ) ? 1 ,-

FG ? n ? ( x , y ?

2 ,?

?

3, 3

?=x ?

3(y ?

2)?

6 ? x ?

3y ? 0

① ?????9 分
????

又因为
???? AD ? (

x

2

? y

2

? 4

②由①②两式联立解得 G (

3 ,1 , 0 )

,?11 分 ? O G ?

?

3 ,1 , 0

? ,因为

3 , 1 , 0 ),所以 OG // AD ,则 G 为弧 BD 的中点,因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得

FG //平面 ACD ,且点 G 为弧 BD 的中点.
1

???12 分
1 2

20. 解: (Ⅰ)在 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ? a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
2

.

当 n ? 2 时 , S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 ∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ? a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,
2 2

1

1

?∴

1 n ?1 n n ?1 n 2a n ? a n ?1 ? ( ) ,即 2 a n ? 2 a n ?1 ? 1 .∵ bn ? 2 a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, 2

bn ? bn ?1 ? 1 .

??又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
n 2
n

于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n , a n ? ∴ (Ⅱ)∵ c n ∴ ∴Tn 由 Tn
2 c n c n+ 2
? (1 ?
25 21 1 n ?1 ? 1 n ? 2

.

????????????????6 分

? log

n
2

? log

an

2

2

n

? n

, ????????????????8 分
1 n ?1 ? 1 n ?1
1 n ?1

=
1 3 )? (

2 n (n + 2)
1 2
1 2

=
? 1 4
?

1 n

1 3 ?

1 n+ 2
1 5
? 1 n ? 2

,

)? (
1

)?? ? (

)? (

1 n

?

1 n ? 2
? 13 42

)

=1 ? ,

1 2

?

1 n ?1

?

1 n ? 2

. ?10 分

?

,得 1 ?

n ?1

?

25 21

,即
9 20

?

1 n ? 2 13 42

f (n) ?

单调递减,∵

f (4) ?

, f (5 ) ?



∴ n 的最大值为 4. ????????????????????????????????12 分
x a
2 2

21.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) .

???????1 分

8

由已知 b= 2 3

离心率 e ?
x
2

c a

?
2

1 2

,a

2

? b

2

? c

2

,得 a ? 4

所以,椭圆 C 的方程为

?

y

? 1.

?????????????????4 分

16

12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点 P、Q 的坐标为 P ( 2 , 3 ) , Q ( 2 , ? 3 ) ,则 | PQ | ? 6 , ??5 分
1 2
x
2

设 A ? x 1 , y 1 ?, B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y ? 得: x ? tx ? t ? 12 ? 0 .
2 2

x ? t ,代人

?

y

2

?1

16

12

由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得 ? 四边形 APBQ 的面积 s ? 故当 t ? 0 , S max ? 12 3
y2 ? 3 x2 ? 2

? x1 ? x 2 ? ? t ? x1 x 2 ? t
2
2

? 12

?????7 分

1 2

? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 ?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 3

48 ? 3 t
y1 ? 3 x1 ? 2

2

?②由题意知,直线 PA 的斜率 k 1 ?

,直线 PB 的斜率

k2 ?

1

则 k1 ? k 2 ?

y1 ? 3 x1 ? 2

?

y2 ? 3 x2 ? 2

? 2

x1 ? t ? 3 x1 ? 2

1 ? 2

x2 ? t ? 3 x2 ? 2

?????????10 分

1

=2

( x1 ? 2 ) ? t ? 2 x1 ? 2

1 ? 2

( x2 ? 2) ? t ? 2 x2 ? 2 ?1?

t ? 2 x1 ? 2

?

t ? 2 x2 ? 2

=1 ?

( t ? 2 )( x 1 ? x 2 ? 4 ) x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4

,由①知 ?

? x1 ? x 2 ? ? t ? x1 x 2 ? t
2

? 12

可得 k 1 ? k 2 ? 1 ?

( t ? 2 )( ? t ? 4 ) t ? 12 ? 2 t ? 4
2

?1?

? t ? 2t ? 8
2

t ? 2t ? 8
2

?1?1? 0

所以 k 1 ? k 2 的值为常数 0.

??????????????????13 分
(x ? 1) x (x ? 0)

22. 解 : Ⅰ ) 当 a ? ? 1 时 , f ' ( x ) ? (

解 f '( x ) ? 0 得 x ? (1, ?? ) ; 解

9

f '( x ) ? 0

得 x ? ( 0 ,1 ) f ( x ) 的单调增区间为 ?1 , ?? ? ,减区间为 ? 0 ,1 ? .
a (1 ? x ) x ( x ? 0) ∴ f '(2) ? ?
a 2

???4 分

(Ⅱ) ∵ f '( x) ?
m 2

? 1 得 a ? ? 2 , f ( x ) ? ? 2 ln x ? 2 x ? 3

g (x) ? x

3

? (

? 2)x

2

? 2 x ,∴ g ' ( x ) ? 3 x

2

? (m ? 4) x ? 2

∵ g ( x ) 在区间 (t , 3 ) 上总不是单调函数,且 g ? 0 ? ? ? 2 ∴ ?
'

? g ' (t ) ? 0 ? g ' (3) ? 0

???????7 分

由题意知:对于任意的 t ? [1, 2 ] , g '( t ) ? 0 恒成立,
? g '(1) ? 0 37 ? 所以, ? g '( 2 ) ? 0 ,∴ ? ? m ? ?9 . 3 ? g '( 3 ) ? 0 ?

???(Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知

当 x ? (1, ?? ) 时 f ( x ) ? f (1 ) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1, ?? ) 成立.???????????????10 分 ∵ n ? 2 , n ? N * ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ?
ln n n ? n ?1 n

.

???????11 分

?

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? (n ? 2, n ? N ) . 2 3 4 n 2 3 4 n n

???13 分

10


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