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三角函数高三复习


[巨人聚优教研室]

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三角函数
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课程目标
了解任意角、弧度制、任意角的三角函数的定义 掌握三角函数的基本关系及诱导公式,并掌握三角函数的图像

和性质 理解并掌握三角恒等变换的相关公式(和差、二倍角、辅助角) 能综合应用三角恒等变换的相关公式及三角函数的图像和性质解决问题

层次要求
★ ★★ ★★ ★★★

【知识梳理】 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一.基础知识 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360° (k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. l ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=r,l 是以角 α 作为圆 心角时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值r与所取的 r 的大小无关,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形=2lr=2|α|r2.

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2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、 y x y 余弦、正切分别是:sin α=r ,cos α=r ,tan α=x,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos_α,sin_α), 即 P(cos_α,sin_α),其中 cos α=OM,sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点 的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

二.熟记要点 一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
? ? π (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合?β|β =2+kπ,k∈Z?;终 ? ? ? ? ? ? ? kπ 边落在坐标轴上的角的集合可以表示为?β?β= 2 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一 定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,

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第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可 混用. (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一.基础知识 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α, tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. ?π ? ?π ? 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ? π 诱导公式可概括为 k· α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中 2± π 的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相 应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为 结果的符号. 二.熟记要点 一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦.

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(2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ) =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负 -脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

2

第三节 三角函数的图象与性质
一.基础知识 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ? (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ? 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域

y=sin x

y=cos x

y=tan x

R

R

π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

图象 值域 [-1,1] π 对称轴:x=kπ+2(k 对称性 ∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) [-1,1] 对称轴:x=kπ(k∈ Z) 对称中心: π ? ? ?kπ+2,0??k∈Z? ? ? R 无对称轴 ?kπ ? 对称中心:? 2 ,0?(k ? ? ∈Z)

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周期

2π 单调增区间 π π? ? ?2kπ-2 , 2kπ+ 2?(k ? ?



π

单调性

∈Z); 单调减区间 π 3π? ? ?2kπ+2 ,2kπ+ 2 ? ? ? (k∈Z)

π ? 单调增区间?kπ-2 , ? π,2kπ](k∈Z);单 调减区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z) π? kπ+ 2?(k∈Z) ?

单调增区间[2kπ-

奇偶性







二.熟记要点 两条性质 (1)周期性 2π π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx, 而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根据正弦函数单调性写 出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

第四节 两角和与差的正弦、余弦和正切
一.基础知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;
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(4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; (5)T(α+β):tan(α+β)= (6)T(α-β):tan(α-β)= tan α+tan β ; 1-tan αtan β tan α-tan β . 1+tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)T2α:tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β); (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = ; 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 4.函数 f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2cos(α- φ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定. 二.熟记要点 两个技巧 α+β α-β α-β ? β? ?α ? (1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; 2 =?α+2?-?2+β?. ? ? ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂” 等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有: “常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

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【经典例题】
题型一:任意角与弧度制

【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 7 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与3角的终边相同的角; α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、2所在的象限. [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断.

(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们 之间相差 360° 的整数倍. (2) 角 的 集 合 的 表 示 形 式 不 是 唯 一 的 , 如 : 终 边 在 y 轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为
? ? ? π ?x?x=2kπ- 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3π ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ+ 2 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ? ? ?

变式 1-1 下列各对角中终边相同的角是( A C
? ? 和 ? ? 2k? (k ? Z) 2 2 7? 11? 和 ? 9 9

) 。 B D
?

?
3



22 3

20? 122? 和 3 9

1-2 若角 ? 、 ? 的终边相同,则 ? ? ? 的终边在 A. x 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上

.

B. y 轴的非负半轴上 D. y 轴的非正半轴上

1-3 当角 ? 与 ? 的终边互为反向延长线,则 ? ? ? 的终边在 A. x 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上 B. y 轴的非负半轴上 D. y 轴的非正半轴上

.

1-4 时钟经过一小时,时针转过了(

) 。

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A C 1-5

?
6

rad rad

B D

?

?
6

rad rad

?
12

?

?
12

下列说法正确的有几个(



(1)锐角是第一象限的角; (2)第一象限的角都是锐角; (3)小于 90? 的角是锐角; (4) 0? ? 90? 的角是锐角。 A 1-6 1个 B 2个 C 3个 D 4个 )象限角。

已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,则角 855? 是第( A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角 ) B.锐角必是第一象限的角 D.第二象限的角必大于第一象限的角

1-7 下面四个命题中正确的是( A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

1-8 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 3) ,则与 ? 终边相同的角的集合是
2π ? ? A. ? x x ? 2kπ ? , k ? Z? 3 ? ? 5π ? ? C. ? x x ? kπ ? , k ? Z? 6 ? ?

.

5π ? ? B. ? x x ? 2kπ ? , k ? Z? 6 ? ? 2π ? ? D. ? x x ? 2kπ ? , k ? Z? 3 ? ?

1-9 若 ? 是第四象限角,则 180? ? ? 是( A 第一象限角 C 第三象限角



B 第二象限角 D 第四象限角

1-10 若 ? 与 ? 的终边互为反向延长线,则有( A C



? ? ? ? 180?

B D

? ? ? ? 180?

? ? ??

? ? ? ? (2k ? 1) ? 180? , k ? Z

1-11 已知集合 M ? ? x x ? A. M ? P

? ?

kπ π kπ π ? ? ? ? , k ? Z? , P ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 2 4 4 2 ? ? ?

.

B. M ? P

C. M ? P

D. M ? P ? ?

1-12 若 A ? {? | ? ? k ? 360? , k ? Z } ; B ? {? | ? ? k ? 180? , k ? Z } ; C ? {? | ? ? k ? 90? , k ? Z} ,则下列关系中正确的是 ( )

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A

A? B ?C

B

A ? B ?C

C

A? B ? C

D

A 刎B

C

题型二 弧长及扇形的面积

例 2 ?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积.

弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用 起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.
变式 1. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为_________。

2.用弧度制表示:①终边在 x 轴上的角的集合②终边在 y 轴上的角的集合③终边在坐标轴上的角的集合。

3 已知扇形周长为 10cm ,面积为 6cm2 ,求扇形中心角的弧度数。

4 已知扇形的面积为 S ,当扇形的圆心角为多少弧度时,扇形的周长最小?并求出此最小值。

题型三:任意角的三角函数

2 【例 3】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ.

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任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的.
变式 1 已知角 ? 的终边经过点 P(2 , ? 3) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值。

2 (1)已知角 ? ? ?

7? ,求 2sin ? ? cos? 的值; 3

(2)已知角 ? 的终边经过点 P(4a , ? 3a)(a ? 0) ,求 2sin ? ? cos? 的值。

3

若 ? 是第二象限角, P( x, 5) 为其终边上一点,且 cos ? ? A
10 4

2 x ,则 sin ? 的值为( 4



B

6 4

C

2 4

D

?

10 4

4 已知角 ? 的终边经过 (2a ? 3 , 4 ? a) ,且 cos? ? 0 , sin ? ? 0 ,则 ? 的取值范围是___________。

题型四:同角三角函数的关系

【例 4】?1、已知 tan α=2. 求:(1) 2sin α-3cos α ;(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. 4sin α-9cos α

1 2、 已知: sin ? ? 且 tan ? ? 0 ,试求 cos? , tan ? 的值。 5 1 3、 已知 sin ? ? cos ? ? ,求下列各式的值. 5

⑴ sin ? cos? ; ⑵ sin3 ? ? cos3 ? ; ⑶ sin 4 ? ? cos4 ? .

(1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二 式的值可求.转化的公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α;(2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关 于 tan α 的式子.

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变式
3 1 已知 cos ? ? ? , ? 是第二象限角,那么 tan ? 的值等于( 5 4 4 3 3 A B ? C D ? 3 4 3 4

) 。

2 已知 sin ? ? cos ? ? A
? 3 3

1? 3 ,且 0 ? ? ? ? ,则 tan ? 的值为( 2

) 。

B

? 3

C

3 3

D

3

3 已知 tan ? ? 2 ,求 A 2

sin ? ? cos ? 的值( 2sin ? ? 3cos ?

) D
?3

B

3

C

1

1 4 已知 ? 是三角形的内角, sin ? ? cos ? ? ,则 sin ? ? cos? 的值为( 5 1 7 7 1 A ? B ? C D 5 5 5 5



5 已知 tan ? ? 2 ,求下列各式的值:
sin 2 ? ? 2sin ? ? cos ? ? cos 2 ? 4sin ? ? cos ? ; (2) ; 4cos2 ? ? 3sin 2 ? 3sin ? ? 5cos ? 3 1 (3) sin 2 ? ? cos2 ? ; (4) sin ? ? cos? 。 4 2

(1)

6 已知 ? 是第二象限角,化简 A
?2 tan ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? 为( ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

) D
? tan ?

B

2tan ?

C

tan ?

题型五 三角函数的诱导公式与三角函数线

【例 5】?1、已知 f(α)=

sin?π-α?cos?2π-α? ?31π? ,求 f? 3 ?. π ? ? ? ? sin?2+α?tan?π+α? ? ?
B. tan ? ? sin? ? cos? D. sin ? ? cos? ? tan?

2、若 45o< ? <90o,则下式中正确的是().
A. cos? ? sin? ? tan? C. sin ? ? tan? ? cos?

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[审题视点] 先化简 f(α),再代入求解.

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽 可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了.

变式 1 求下列各式的值。 (1) cos ? ?60? ? ? sin ? ?210? ? ; (2) sin ? ?
? 31? ? ? 10? ? ? cos ? ? 6 ? ? ? 3 11? ? 。 ? ? sin 10 ?

2 化简:

sin[? ? (2n ? 1)? ] ? 2sin[? ? (2n ? 1)? ] (n ? Z) sin(? ? 2n? )cos(2n? ? ? )

3 已知

1 ? tan(? ? 720? ) ? 3? 2 2 , 1 ? tan(? ? 360? )

求 [cos2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? )] ? 4
⑴求下列三角函数值:

1 的值。 cos (?? ? 2? )
2

① cos 225? ;② sin

25π ? 17 π ? ? 32π ? ;③ sin ? ? ? ;④ tan ? ? ?. 3 6 ? ? ? 3 ?

⑵将下列三角函数化为 0? 到 45? 之间角的三角函数: 3 π ① sin85? ;② cos π ;③ tan ; 5 3 5 化简: ⑴ sin(?1071?) ? sin 99? ? sin(?171?) ? sin(?261?) ⑵ 1 ? sin(? ? 2π) ? sin(π ? ? ) ? 2cos2 (?? ) ⑶
sin(2π ? ? ) cos(π ? ? ) cos(π ? ? )sin(3π ? ? )sin(?? ? π)

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6 化简: (1)

sin (?? ) cos(5? ? ? ) tan(2? ? ? ) ; cos (?? ? 2? )sin(?? ? 3? ) tan 3 (? ? 4? )
3 3

(2)

sin 2 (?? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? 。 tan(2? ? ? ) ? cos3 (?? ? ? )

7 求值: sin(?1320? )cos1110? ? cos(?1020? )sin 750? ? tan 495? 。

1 ? sin(180? ? ? ) 1 sin(?? ) ? 8 求证: (1) ; 3 1 tan ? ? ? cos(360 ? ? ) cos(540? ? ? )

(2)

cos(k? ? ? )cos(k? ? ? ) ? ?1, k ? Z sin[(k ? 1)? ? ? ]cos[(k ? 1)? ? ? ]

9 设 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ? 7 , ? , ? , a , b 均为实数,若 f (2001) ? 6 ,求 f (2008) 的值。

. 10、设?是第四象限的角,试判断 sin ? 和 tan ? 的大小关系. 11、已知: x ? ? 0 ,
? ? π? ? ,求证: sin x ? x ? tan x . 2?

12、若 x ? [? π , 13、函数 y ?

π ] ,求 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围. 2

sin x cos x tan x cot x 的值域是 ? ? ? sin x cos x tan x cot x

.

A. ??2 , 4? C. ??2 , 0 , 2 , 4?

B. ??2 , 0 , 4? D. ??4 , ? 2 , 0 , 4?

题型六、三角函数的定义域与值域及单调性
【例 6】?(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. π? ? (2)求函数 y=cos2x+sin x?|x|≤4?的最大值与最小值. ? ? [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大于等于零,再利用单位圆或图象求 x 的范围. (2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解决.

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(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象 来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数 求值域(最值). ?π ? 【例 7】?已知 f(x)=sin x+sin?2-x?,x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. ? ? [审题视点] 化为形如 f(x)=Asin(x+φ)的形式,再求单调区间.

求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应 单调区间内即可,若 ω 为负则要先把 ω 化为正数.

变式 1
(1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? ? ? π? ? π? ? π π? (2)已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?· sin?x+4?, 求函数 f(x)在区间?-12,2?上的最大值与最小值. ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? 2、函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ?

3、函数 y ?

1 ? ? ) (? ? x ? ) 的值域是( tan x 4 4 A [?1, 1] B (?? , ? 1) ? (1, ? ?)

C (?? , 1]

D [?1, ? ?)

3 1 4、若函数 y ? a ? b cos x 的最大值是 ,最小值是 ? ,求函数 y ? ?4a sin bx 的最大值与最小值及周期。 2 2

5、函数 y ? 1 ? 2sin x 的值域是(

) 。

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A

[?2 , 1]

B

[?1, 3]

C

[0 , 1]

D

[?2 , 2]

? ? ? 6、函数 y ? 3sin( ? 3 x), x ?[ ? , ] 的单调递增区间是_________。 6 2 2
7、函数 y ? a sin x ? 1 的最大值是 3,则它的最小值_____________________. 8、 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0) ,y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? 的单调增区间。 题型七三角函数的周期性与对称性及奇偶性

?
8

, (1) 求? ; (2) 求函数 y ? f ( x)

π? ? 【例 8】?(1)函数 y=cos?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ? ? π π A.x=-6 B.x=-12 π π C.x=6 D.x=12

).

π π ? ? (2)若 0<α<2,g(x)=sin?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. ? ? [审题视点] (1)对 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,把“ωx+φ”看作一个整体,即可求. π π (2)利用4+α=kπ+2(k∈Z),求解限制范围内的 α. 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称 图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. ? π? 【例 9】?函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为2的奇函数 ). B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为2的偶函数

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和奇偶性.

求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把三角函数式化为一个 角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.

π? π ? 变式 1、(1)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12,则 φ=________. ? ? (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则 φ=________. 2、已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________.

15

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? x ? 3、求下列三角函数的周期: (1) y ? sin( x ? ) ; (2) y ? 3sin( ? ) 。 3 2 5
4、函数 y ? sin(2 x ?
A
x?? 5? ) 图像的一条对称轴方程是( 2



?
4

B

x??

?
2

C

x?

?
8

D

x?

5? 4

5、如果函数 y ? 3cos ? 2 x ? ? ? 的图象关于点 ? A.
π 6

B.

π 4

? 4π ? , 0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为( ? 3 ? π π C. D. 3 2



6、函数 f ( x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0 , ? ? 0) 的部分图象如下图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … f (11) ?
y
6

2 2

O
-2

2

3

x

? ? 7、若函数 f ( x) ? 2cos(2 x ? ? ) 对任意实数 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) . 6 6 ? (1) 求 f ( ) 的值; 6
(2) 求 ? 的最小正值; (3) 当 ? 取最小正值时,求 f ( x) 在 ? ?
? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 6?

? 8 函数 y ? tan(ax ? )(a ? 0) 的最小正周期为( 4
1 ? 5 9、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? , 2 6 4

) 。

(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调区间; (2)求 f ( x) 的图像的对称轴和对称中心。
x 2 ? , x ? R , 若 有 10 个 互 不 相 等 的 正 数 xi 满 足 f ( xi )? 2 10 、 已 知 函 数 f ( x)? 2 s? i n ? ,且 ? ? π? 6?

16

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xi ? 10π (i ? 1 , 2 , 3 ??? , 10) ,求 x1 ? x2 ? ??? ? x10 的值

π ? 3π ?cos 2 x, ? ≤ x ? 0, 11 、设 f ( x) 是定义在 R 上且最小正周期为 的函数,在某一周期内, f ( x) ? ? 则 2 2 ? sin x , 0 ≤ x ? π , ? ? 15π ? . f ?? ?= ? 4 ?

12、函数 f ( x) ? cos(3x ? ? ),x ? R 的图象关于原点中心对称,则 ? ? ( A.
π 3



B. kπ ?

π , k ?Z 2

C. kπ,k ? Z

π D. 2kπ ? ,k ? Z 2

题型八:三角函数的平移伸缩变换 例九、1 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行称动 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是
π? ? A. y ? sin ? 2 x ? ? 10 ? ? 1 π ? ? C. y ? sin ? x ? ? 2 10 ? ? π? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? 5? ? π? ?1 D. y ? sin ? x ? ? 10 ? ?2

π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 10

2、已知函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ?

?
2

)的图象在 y 轴上的截距为 1 ,它在 y 轴右侧的第一

个最大值点和最小值点分别为 ? x0 , 2? 和 ? x0 ? 3? , ? 2 ? . (1)求 f ? x ? 的解析式;
1 (2)将 y ? f ?x ? 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 , (纵坐标不变) ,然后再将所得图象沿 x 轴正 3 ? 方向平移 个单位, 得到函数 y ? g ? x ? 的图象. 写出函数 y ? g ? x ? 的解析式并用“五点法”画出 y ? g ? x ? 3 在长度为一个周期的闭区间上的图象.

变式

? 1 要得到函数 y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象上所有的点的( 4 1 ? A 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 4 ? C 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 4 ? D 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 8



17

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2、把函数 y ? sin(2x ? ( ) 。 A
C

?
4

) 的图像向左平移

? 1 个单位长度,再将横坐标压缩到原来的 ,所得函数的解析式为 8 2

y ? sin 4 x

B

y ? cos 4 x

y ? sin(4 x ?

?
8

)

D

y ? sin(4 x ?

?
32

)

? 3、要得到 y ? cos(2 x ? ) 的图像,只需将 y ? sin 2 x 的图像( ) 4 ? ? A 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位 8 8 ? ? C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 4 4
π? 4π ? 4、设 ? ? 0 ,函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是 3 3 ? ?
A.
2 3

B.

4 3

C.
? ? π? ?

3 2

D. 3
? ? π? ?

5、已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin ? x ? ? (a,b ? Z) ,当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 . 2 4 ⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵由 f ( x) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y ? g ( x) 的图象?若能,请写出变换过程;若 不能,请说明理由.

题型九、三角函数的图像

【例 10】? 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________.

[审题视点] 由最高、最低点确定 A,由周期确定 ω,然后由图象过的特殊点确定 φ.

18

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解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定 A,h 的值,函数的周期确定 ω 的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值.

变式 1、若函数 y ? A sin(? x ? ? ) , ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ≤? ? 2π) 的图象上一个最高点的坐标为( 2, 3 ) ,由这个最高点 到相邻的最低点间,图象与 x 轴的交点为 (4 , 0) .求此函数的解析式. 2 、已知函数 f ( x) ? sin( ? x ? ? )( ?? 0 ,0 ≤? ≤ π) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M ?
? π? ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. ? 2?

? 3π ? , 0 ? 对称,且在区间 ? 4 ?

3、如图,是函数 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0) , ? ? π 的图象的一部分,由图中条件写出函数解析式.
y
5 5? ? O ? 4 2

x

4、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ,在同一周期内,当 x ? 该函数的解析式为(
A y ? 2sin(3x ? ) 6
x ? C y ? 2sin( ? ) 3 6

?
9

时函数取得最大值 2,当 x ?

4? 时取得最小值 ?2 ,则 9



?

B y ? 2sin(3x ? ) 6
x ? D y ? 2sin( ? ) 3 6
?π? 2

?

5、已知函数 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ? 的图象如图所示, f ? ? ? ? ,则 f ? 0 ? ? ( 3 ?2? A. ?
2 3
y ? 2 2 3 O 7? 12 11? 12 x



B. ?

1 2

C.

2 3

D.

1 2

19

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6、已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ...
y 2 1 O y 1 O ? 2? x ? 2? x y 2 1 O y 2 1 O



?

2?

x

A.

B.

?

C.

D.

2?

x

7、右图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π) 的图象的一部分,试求此函数的解析式.
y
2 -2 - 2 O 2 4 6 8 10 x

8、函数 y ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? π) 的图象的一段如图所示,确定该函数的解析式.
y 2 Q P 7? 12 O x

-

-2

题型十 三角恒等变换 第一种:化简求值(三角函数式)

【例 11】?化简 . ?π ? ?π ? 2tan?4-x?sin2?4+x? ? ? ? ? [审题视点] 切化弦,合理使用倍角公式.

1 2cos4x-2cos2x+2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函 数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特征”,分析结构特征, 找到变形的方向.

20

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变式 1 化简:

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? . sin 2α
2sin 2 sin

?
2

2、已知 f (? ) ? 2 tan ? ?

?1

?
2

cos

?
2

? ,求 f ( ) 12

3、已知 ? 为锐角,且 tan ? ? ? ? ? 2 . ⑴求 tan ? 的值; sin 2? cos ? ? sin ? ⑵求 的值. cos 2? 4、若 f (? ) ?
2sin 2 ? ? 1 ? ,则 f ( ) ? _______。 sin 4? 12

?π ?4

? ?

1 2 。 5、化简 ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

sin x ? 2sin 2 x 4 6、若 cos(45? ? x) ? ? (225? ? x ? 315? ) ,求 的值。 1 ? tan x 5

第二种:已知某一三角函数式的值,求另一三角函数式或者某角的三角函数的值

β? π 1 ? ?α ? 2 【例 12】?已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? α+β ? β? ?α ? [审题视点] 拆分角: 2 =?α-2?-?2-β?,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦. ? ? ? ?

三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.

变式 π? 4 1 ? 1 已知 α,β∈?0,2?,sin α=5,tan(α-β)=-3,求 cos β 的值. ? ?

21

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2、设 sin 2 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1, ? ? (0 ,

?
2

) 。求 sin ? , tan ? 的值。

? 3 ? 3? ? 3、已知 cos(? ? ) ? ( ? ? ? ) ,求 cos(2? ? ) 的值。 4 5 2 2 4

4、已知 sin ? ? cos ? ?

2 (0 ? ? ? ? ) ,求 cos 2? 的值。 2

5、已知 ? 为锐角,且 tan ? ? ? ? ? 2 . 4 ⑴求 tan ? 的值; sin 2? cos ? ? sin ? ⑵求 的值. cos 2?

?π ?

? ?

题型十一:高考三角函数解答题(三角函数的综合题型) 第一种:求三角函数式 f x 的最小正周期和最值-、单调区间、对称轴、对称中心------

? ?

x ? ? ? B 的形式 最终化为 f x ? Asin ?

? ?

?

?

例 13、已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. ? π π? (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ?

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数 性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再进一步讨论其定义域、 值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.
变式 1、已知函数 f(x)=2cos 2x+sin x.
2

22

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?π? (1)求 f?3?的值;(2)求 f(x)的最大值和最小值. ? ?
2、设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin ? 2 ? x ? ? 2 . ⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵当 x ? ?0,
? ? π? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2? ? ? ? π? ? ?π ? ? 1 ?

3、已知函数 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x 3 ⑴求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程; ⑵设函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x) ,求 g ( x) 的值域.
4 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(天津理) )已知函数

f (x)= sin (2 x+

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

5 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(重庆理) )(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分)

设 f ? x ? ? 4cos(? x ?

?
6

)sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

. (2012 年高考(北京理) )已知函数 f ( x) ? 7、错误!未指定书签。

(sin x ? cos x)sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间. 第二种:求某一三角函数或者三角函数式的值

1 13 π 【例 14】?已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,求 β. [审题视点] 由 cos β=cos[α-(α-β)]解决. 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值, π? ? 选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?,选正、余弦皆可; ? ?

23

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? π π? 若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?
变式

?? ? . (2012 年高考(广东理) )(三角函数)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (其中 ? ? 0 x ? R )的 1、错误!未指定书签。 6? ?
最小正周期为 10? . (Ⅰ)求 ? 的值;

5 ? 6 5 ? 16 ? ?? ? ? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f ? 5? ? ? ? ? ? , f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 3 ? 5 6 ? 17 ? 2? ? ?
2、 【2012 高考广东文 16】 已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0,

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 2 ? 8 ? ?? ? ? , f ? 4? ? ? ? ? ? , f ? 4 ? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 3 ? 17 3 ? 5 ? ? ? 2?

第三种:在三角形中,求边或者角或某角的三角函数值 例 15、 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值;

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

变式 【2012 年北京市西城区高三一模理】15.(本小题满分 13 分) 1、 在△ ABC 中,已知 sin( A ? B) ? sin B ? sin( A ? B) . (Ⅰ)求角 A ; 2、 【2012 北京市房山区一模理】15. (本小题共 13 分) 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的值; 【2012 北京市朝阳区一模文】15. (本题满分 13 分) 3、 已知函数 f ( x) ? cos( x ? ) .

π 4

24

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(Ⅰ)若 f (? ) ?

π? 3 π 3π ? ,其中 ? ? ? , 求 sin ? ? ? ? 的值; 4? 5 4 4 ?

【2012 年北京市西城区高三一模文】15.(本小题满分 13 分) 4、 在△ ABC 中,已知 2sin B cos A ? sin( A ? C) . (Ⅰ)求角 A ; 5、 【2012 北京市房山区一模文】15. (本小题共 13 分) 已知 △ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? (Ⅰ)求 cos? A ? B ?的值; 第四种:与向量的综合 ?? ? ? 例 16、 (1)已知向量 m ? ? sin B , 1 ? cos B ? ,且与向量 n ? ? 2 , 0 ? 的夹角为 ,其中 A, B, C 是 △ABC 的内角. (I) 3

2 5 3 10 , cos B ? . 5 10

求角 B 的大小;

(II)求 sin A ? sin C 的取值范围

? 3? ), (2)已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 A(3 , 0) 、 B(0 , 3) 、 C(cos? ,sin ? ) , ? ? ( , 2 2
(I)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; (II)若 AC ? BC ? ?1 ,求
???? ??? ?

???? ??? ?

2sin 2 ? ? sin 2? 的值 1 ? tan ?

方法总结:在这里注意向量的数量积等各种运算,及其坐标表示。再结合三角函数的相关知识点解决。 变式:
? 1、已知向量 n ? ? cos ? , sin ? ?
? 和n ?

?

2 ? sin ? , cos ? , ? ? ?? , 2? ? .

?

(1)求 | m ? n | 的最大值;(2)当 | m ? n | =

??

?

??

?

8 2 ?? ? ? 时,求 cos ? ? ? 的值 5 ?2 8?

? ? ? ? 3 ? 2、已知 ? 、 ? ? (0 , 2 ) , a ? (sin ? , 1 ? cos ? ) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ? b ? 2 ? cos ?

(1)求向量 a 与 b 的夹角 ? ;

?

?

(2)求 ? 、 ? 的值.

3、已知向量 m ? (sin A , cos A) , n ? (1, ? 2) 且 m ? n ? 0 ⑴求 tan A 的值; ⑵求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域.
? 4、已知锐角△ ABC 中,三个内角为 A、B、C,两向量 p ? (2 ? 2sin A , cos A ? sin A) , ? ? ? q ? (sin A ? cos A , 1 ? sin A) ,若 p 与 q 是共线向量.

(1)求 A 的大小;

25

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C ? 3B 取最大值时,B 的大小 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 5、 【2012 高考江苏 15】在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .

(2)求函数 y ? 2sin 2 B ? cos

5 ,求 A 的值. 5 6、 【2012 年北京市西城区高三一模理】15.(本小题满分 13 分)
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ? 在△ ABC 中,已知 sin( A ? B) ? sin B ? sin( A ? B) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 | BC | ? 7 , AB ? AC ? 20 ,求 | AB ? AC | . 【2012 北京市门头沟区一模文】15.(本小题满分 13 分) 7、 已知向量 a ? (sin x,?1) , b ? ( 3 cos x,2) ,函数 f ( x) ? (a ? b) 2 . (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)若 x ? [?

??? ?

??? ? ????

? ?

, ] ,求函数错误!未找到引用源。的值域. 4 2

【强化训练】&【课后作业】
(注:本专题根据学生的程度及上课接受情况适当选择部分进行上课练习,部分做为课后作业。)

【A 卷】
一、选择题

1 ? cos 2 x 错误!未指定书签。 1、函数 f ( x) ? cos x
π π , ) 上递增 2 2 π π C.在 (? , ) 上递减 2 2
A.在 (?





π π , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 ( ? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 ( ?

2 错误!未指定书签。 、为得到函数 y ? sin (π-2 x) 的图象,可以将函数 y ? sin (2 x ?

π ) 的图象 ( 3



π 个单位 3 π C.向右平移 个单位 3
A.向左平移

π 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

3、下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?
x ? A. y ? sin( ? ) 2 3

?
12

对称的是





x ? B. y ? sin( ? ) 2 3

26

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C. y ? sin(2 x ? ) 3

?

D. y ? sin(2 x ? ) 3

?

4、函数 f ( x) ? sin( x ? ) ( x ? R )的图象的一条对称轴方程是 A. x ? 0 5、函数 y= 2sin( x ? A .0
二、填空题

? 4

( D. x ?



B. x ? ?

?
3

π 4

C. x ?

π 4

π 2
( )

)(0≤x≤ ? )的最大值与最小值之和为 B. 2 ? 3 C.-1 D.-l ? 3

1、已知角 A 为三角形的一个内角,且

cos A ?

3 ? tan( A ? ) ? 5 ,则 tan A ? ____, 4 ____.

2、函数 f() 的最小正周期是________________ x? s i nc xo s x

3、若 cos x ?

3 , tan x ? 0 ,则 sin x =________. 5

4、若 tan(?

? x) ? 2 ,则 tan 2x 的值是_______.
?

5、已知函数

? f ( x) ? sin(2? x ? )(0 ? ? ? 1) 的图象经过点 ( , 0) ,则 ? ? ______, f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的单调 6 6

递增区间为________. 6、函数 f ( x) ? sin(x ?

?
3

) 的图象为 C ,有如下结论:①图象 C 关于直线 x ?

称;③函数 f ( x) 在区间 [

? 5?
3 , 6

5? 4? 对称;②图象 C 关于点 ( , 0) 对 6 3

] 内是增函数,其中正确的结论序号是____.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题 1 错误!未指定书签。 .已知函数 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x ) 2 .

π π π (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间 [ ? , ] 上的最大值和最小值. 3 6 3
2、已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C ) ? 3 sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; 3、已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? 2 x) ? 2cos x ? 1, x ? R .
2

27

[巨人聚优教研室]

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

2

(Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 4、已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? [ f ( x)] ? 2sin x ,求 g ( x) 的单调递增区间.
2 2

3π . 4

5 、 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 在

?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

f ( A) ? 2cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; 6、如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A ,且 ? ?? , ) . 将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 (Ⅰ)若 x1 ?

? ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 3

? ? 6 2

1 ,求 x 2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S 2 .若 S1 ? 2 S 2 , 求角 ? 的值.

7、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,且图象过点 ( , ) . (Ⅰ)求 ?,? 的值;
? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
8、已知函数 f(x)=sin(2x+

? 1 6 2

?
6

)+cos 2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间.

28

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9、已知函数 f ( x) ?

( 3 cos x ? sin x)sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间.
10、已知函数

π f ( x) ? sin 2 x ? cos x cos( - x) . 2 π (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 3
(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小正周期及值域.

11、已知函数 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x) 的取值范围.

2? 3

12、已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [

? 3?
4 , 4

] 上的值域.

13、错误!未指定书签。 . (2013 届房山区一模文科数学)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值和最大值. 2
14、已知 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

x ? [0, ] 6 ,求 f ( x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值. (Ⅱ)若

?

15、已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间;

29

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(Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.

? 2

【B 卷】
选择题 1、 (2011 丰台二模理 6) .已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是()

4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 3 1 (B) y ? sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 (C) y ? sin( x ? ) 5 5 5 4 1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5
(A) y ? 2、 (2011 顺义二模理 8).已知定义在区间 ?0,

y
1

O -1

?

2?

x

3? 3? ? 3? ? 上的函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 对称,当 x ? 时, ? 4 4 ? 2 ?

为() f ( x) ? cos x ,如果关于 x 的方程 f ( x) ? a 有解,记所有解的和为 S, 则 S 不可能 ... A

5 ? 4

B

3 ? 2

C

9 ? 4

D

3?

3、 (2011 西城二模理 6).函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图 象与 x 轴的交点,则 tan ?APB ? ( ) (A) 10 (B) 8 y P x A O B

8 7 4 (D) 7
(C) 4、 (2011 东城二模文 5)已知 sin ? ?

3 ,且 ? 在第二象限,那么 2? 在 ( ) 4

30

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(A)第一象限 (C)第三象限

(B)第二象限 (D)第四象限

5、 (2011 朝阳二模文 3)已知 cos ? ? (A)

1 5

(B)-1

3 π , 0 ? ? ? π ,则 tan(? ? ) = () 5 4 1 (C) (D) ?7 7

6、 (2011 丰台二模文 6)已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是( )

4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 3 1 (B) y ? sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 (C) y ? sin( x ? ) 5 5 5 4 1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5
(A) y ? y
1

O -1

?

2?

x

7、 (2011 海淀二模文 4)若函数 y ? sin( x ? 的图象所对应的函数解析式为( ) A. y ? sin( x ?

? ) 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,则得到 3

1 2

? ) 6

B.

1 ? y ? sin( x ? ) 2 3

y ? sin(2 x ?
C.

2? ) 3

D.

? y ? sin(2 x ? ) 3

解答题 1、 (2011 朝阳二模理 15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin( ? x) ? 2sin x ? 1 ( x ? R ) .
2

? 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及函数 f ( x) 的单调递增区间;

31

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(Ⅱ)若 f (

x0 2 π π )? x0 ? (? , ) ,求 cos 2 x0 的值. , 2 3 4 4
3 sin 2?x ? 2 cos2 ?x(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

2、 (2011 昌平二模理 15). (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(I) 求 ?的值 ;
(II)求函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 的取值范围.

3、 (2011 东城二模理 15) (本小题共 13 分) 已知 sin( A ?

π 7 2 π π )? , A?( , ) . 4 10 4 2

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

4、 (2011 海淀二模理 15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos ? x ? 3 sin ? x cos ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? .
2

(Ⅰ)求 f ( ?) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间及其图象的对称轴方程.

2 3

4、 (2011 顺义二模理 15). (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? sin? 2 x ?

? ?

??

2 ? ? 2 sin x , x ? R 6?

(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期;

5、 (2011 西城二模理 15).(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

cos 2 x sin( x ? ) 4

?

.

( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; ( Ⅱ ) 若 f ( x) ?

4 ,求 sin 2 x的值. 3

32

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6、 (2011 昌平二模文 15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos2 x .

? (I) 求 f ( ) ; 3
(II)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间

7、 (2011 朝阳二模文 15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2sin x ? 1 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及值域; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调递增区间.

8、 (2011 丰台二模文 15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? (Ⅰ)求 f ( ?

?
12

1 . 2

) 的值;

(Ⅱ)若 x ? [0,

?
2

] ,求函数 y ? f ( x) 的最小值及取得最小值时的 x 值.

9、 (2011 海淀二模文 15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ? sin x .
2

? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 4 ? (II)若 x ? [0, ] ,求 f ( x ) 的最大值及相应的 x 值. 2

10、 (2011 顺义二模文 15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 cos 2 x , x ? R (2) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最小值及 f(x)取最小值时 x 的值 11、 (2011 西城二模文 15) (本小题满分 13 分)

33

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? 1 2 sin( x ? ) ? 4 3. 已知函数 f ( x) ? sin x
( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; ( Ⅱ ) 若 f ( x ) ? 2, 求 s i n 2 x的值.

【课堂小结】

【教师课堂点评】

【作业完成情况】

34

[巨人聚优教研室]

35


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