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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业12


课时作业(十二)
1.设(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8,则 a0,a1,…,a8 中奇数的个 数为( A.2 C.4 答案 A ) B.3 D.5

r r 解析 由于(1+x)8 的展开式的通项为 Tr+1=Cr 8x ,因此 ar=C8(其

中 r=0,1,2,…,8),由此可知,其中 a0、a8 是奇数,其余的系数均 为偶数,因此选 A. 2. 1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n 展开式的各 项系数和为( A.2n+1 C.2n+1-1 答案 C
2 3 n

) B.2n+1+1 D.2n+1-2

2n+1-1 解析 令 x=1 得各项系数和为 1+2+2 +2 +…+2 = = 2-1 2n+1-1. 3.在(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大项是( n A.第2+1 项 C.第 n+1 项 答案 C B.第 n 项 D.第 n 项与第 n+1 项 )

1 4.若(x+x )n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项 为( ) A.10 B.20

C.30 答案 B

D.120

5.关于(a-b)10 的说法,错误的是( A.展开式中的二项式系数之和为 1 024 B.展开式中第 6 项的二项式系数最大

)

C.展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D.展开式中第 6 项的系数最小 答案 C

解析 根据二项式系数的性质进行判断, 由二项式系数的性质知: 二项式系数之和为 2n,故 A 正确;当 n 为偶数时,二项式系数最大的 项是中间一项,故 B 正确,C 错误;D 也是正确的,因为展开式中第 6 项的系数是负数,所以是系数中最小的. 6.在(x+y)n 展开式中第 4 项与第 8 项的系数相等,则展开式中 系数最大的项是( A.第 6 项 C.第 5、6 项 答案 解析 的项. 7 . (1 + x)2n + 1 的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是 ( ) A.n,n+1 C.n+1,n+2 答案 C ) B.n-1,n D.n+2,n+3 A
3 7 Cn =Cn ,所以 n=10,系数最大的项即为二项式系数最大

) B.第 5 项 D.第 6、7 项

8.若(1+ 2)5=a+b 2(a,b 为有理数),则 a+b=( A.45 B.55

C.70 答案 解析 C

D.80

1 2 2 3 3 4 4 5 (1 + 2)5 = C0 5 + C 5 · 2 + C 5 ( 2) + C 5 ( 2) + C 5 ( 2) + C 5

( 2)5=41+29 2=a+b 2, ∴a+b=41+29=70.故选 C. 9.(a+ a)n 的展开式中奇数项系数和为 512,则展开式的第八项 T8=________. 答案 解析
0 2 4 Cn +Cn +Cn +…=2n-1,∴2n-1=512=29,n=10,∴T8=

3 7 C7 10a ( a) =

.

10.(2x-1)6 展开式中各项系数的和为________;各项的二项式 系数和为________. 答案 1 64 解析 令展开式左、右两边 x=1,得各项系数和为 1.各二项式系
0 1 2 6 数之和为:C6 +C6 +C6 +…+C6 =26=64.

11.要使组合数 Cm 27有最大值,则 m 的值应是________________. 答案 13 或 14
27 解析 因 Cm 27表示(a+b) 展开式中二项式系数,而二项式系数最

大项在中间,所以 m=13 或 14. 12.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+ a4)(a1+a3+a5)的值等于________. 答案 -256

解析 令 x=1,得 a0+a1+…+a5=0;令 x=-1,得 a0-a1+a2 -…-a5=25,∴a0+a2+a4=24,a1+a3+a5=-24,∴(a0+a2+a4)(a1 +a3+a5)=-28=-256.

13. (x2+x-1)9(2x+1)4 的展开式中所有 x 的奇次项的系数之和等 于________,所有 x 的偶次项的系数之和等于________. 答案 41 40 解析 设(x2+x-1)9(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a22x22.令

x=1,得 a0+a1+a2+…+a22=81;令 x=-1,得 a0-a1+a2-…- 1 a21+a22=-1,∴所有 x 的奇次项的系数之和等于2[81-(-1)]=41, 1 所有 x 的偶次项的系数之和等于2[81+(-1)]=40.
1 3 n 14.证明:Cn +2C2 2n-1. n+3Cn+…+nCn=n·

n! k 证明 方法 1:∵k· Cn =k· k!?n-k?! ?n-1?! -1 =n· =nCk n-1, ?k-1?!?n-k?!
0 1 n-1 ∴原式=nCn -1+nCn-1+…+nCn-1 0 1 n -1 =n(Cn 2n-1. -1+Cn-1+…+Cn-1)=n·

命题得证. 方法 2:(倒序相加)
2 3 n 令 S=C1 n+2Cn+3Cn+…+nCn,
-2 n n-1 1 ∴S=nCn +(n-1)Cn +(n-2)Cn n +…+Cn.

n-k 0 n ∵Ck n=Cn ,且 Cn=Cn,两等式相加,得 1 2 n-1 n 2S=nC0 n+nCn+nCn+…+nCn +nCn 0 2 n =n(Cn +C1 2n. n+Cn+…+Cn)=n·

∴S=n· 2n-1,命题成立. ?重点班选做题 a1 a2 15.若(1-2x)2 013=a0+a1x+…+a2 013x2 013(x∈R),则 2 +22+…

a2 013 +22 013的值为( A.2 C.-1 答案 C

) B.0 D.-2

r r 解析 ar=C2 013(-2) ,r=0,1,2,…,2 013,

a1 a 2 a2 013 2 3 2 013 0 ∴ 2 +22+…+22 013=-C1 2 013+C2 013-C2 013+…-C2 013.又 C2 013
1 2 2 013 -C2 013+C2 013-…-C2 013=0.

故原式=-1. 16.在(1+x)n(n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为 A,偶数 项的和为 B,则(1-x2)n 的值为( A.0 C.A2-B2 答案 解析 C (1+x)n=A+B,(1-x)n=A-B,所以(1-x2)n=A2-B2. ) B.AB D.A2+B2

1.1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 的展开式的各项系数之和为 ( ) A.2n-1 C.2n+1-1 答案 C B.2n-1 D.2n

-1 1 n-1 2.若 n 为正奇数,则 7n+Cn · 7 +C2 7n-2+…+Cn 7 被 9 除所 n· n ·

得的余数是( A.0

) B.2

C.7 答案 C

D.8

3.试判断 7777-1 能否被 19 整除? 答案 能

1.(2012· 新课标全国)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别 安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学 生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 C.9 种 答案 A ) B.10 种 D.8 种

2 2 C4 C2 解析 将 4 名学生均分为 2 个小组共有 A2 =3 种方法, 2 2 将 2 个小组的同学分给两名教师带有 A2 =2 种分法, 2 最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有 A2 =2 种方法,故不

同的安排方案共有 3×2×2=12 种. 2.(2012· 山东)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、 绿色卡片各 4 张. 从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( A.232 B.252 C.472 D.484 答案 C )

解析 完成这件事可分为两类:第一类 3 张卡片颜色各不相同共
1 1 1 有 C3 4C4C4C4=256 种;第二类 3 张卡片有两张同色且不是红色卡片共 1 2 1 有 C1 3C3C4C4=216 种,由分类加法计数原理共有 472 种,故选 C 项.

3. (2012· 辽宁)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家. 若每家人坐在一 起,则不同的坐法种数为( A.3×3! C.(3!)4 答案 C ) B.3×(3!)3 D.9!

解析 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位
3 3 3 3 置,有 A3 种排法;第二步排列每个家庭的三个成员,共有 A3 A3A3种 3 3 3 3 排法,由乘法原理可得不同的坐法种数有 A3 A3A3A3,故选 C 项.

4.(2012· 陕西)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负 为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共 有( ) A.10 种 C.20 种 答案 C B.15 种 D.30 种

解析 甲获胜有三种情况,第一种共打三局,甲全胜,此时,有 一种情形; 第二种共打四局, 甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜,
2 此时,共有 C3 =3 种情况;第三种共打五局,甲第五局获胜且前四局

只有两局获胜,此时,共有 C2 4=6 种情况,所以甲赢共有 10 种情况, 同理乙赢也有 10 种情形,故选 C 项. 5.(2012· 大纲全国)6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也 不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( A.240 种 B.360 种 C.480 种 D.720 种 答案 C )

1 解析 由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为 A4 ,剩

5 1 5 余 5 人进行全排列:A5 ,故总的情况有:A4 · A5 =480 种.故选 C 项.

6.(2011· 大纲全国)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有( A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 答案 B )

2 解析 先从 4 人中选 2 人选修甲课程,有 C4 种方法,剩余 2 人再 2 选修剩下的 2 门课程,有 22 种方法,则共有 C2 4×2 =24 种方法.

1 7.(2012· 安徽)(x2+2)(x2-1)5 的展开式的常数项是( A.-3 C.2 答案 解析 D B.-2 D.3

)

1 1 5 -r r r r 1 (x2-1)5 的通项为 Tr+1=Cr ( - 1) = ( - 1) C5 10-2r.要使 5( 2) x x

1 (x2+2)(x2-1)5 的展开式为常数,须令 10-2r=2 或 0,此时 r=4 或 1 4 5.故(x2+2)(x2-1)5 的展开式的常数项是(-1)4×C5 +2×(-1)5×C5 5= 3. 8.(2012· 湖北)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除, 则 a =( A.0 C.11 答案 D ) B.1 D.12

解析 ∵52 能被 13 整除,∴512 012 可化为(52-1)2 012,其二项式
2 012-r 012 系数为 Tr+1=Cr · (-1)r.故(52-1)2 012 被 13 除余数为 C2 (- 2 01252 2 012·

1)2 012=1,则当 a=12 时,512 012+12 被 13 整除. 9.(2012· 重庆)( x+ 35 A.16 35 C. 4 答案 解析
r

1 2 x

)8 的展开式中常数项为( 35 B. 8 D.105

)

B 二项式( x+ 1 2 x
8-r )8 的通项为 Tr+1=Cr · (2 x)-r=2- 8( x)

8-2r Cr 8x 2 ,令 8-2r=0,得 r=4,所以二项展开式的常数项为 T5=2 35 C4 8= 8 ,故选 B 项. 10.(2011· 福建)(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于( A.80 B.40 C.20 D.10 答案 B )

-4

解析 由二项式定理可知(1+2x)5 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1=
5 -r Cr (2x)r=Cr 2r· xr,令 r=2,得 T3=C2 22· x2=40x2.∴x2 的系数等于 51 5· 5·

40. 1 11.(2012· 广东)(x2+x)6 的展开式中 x3 的系数为________.(用数 字作答) 答案 20 解析 1 Tr+1=Cr (x2)6-r· (x )r=Cr x12-3r,∴要求展开式中 x3 的系数, 6· 6·

3 3 即 12-3r=3,∴r=3,即 T4=C6 · x =20x3.∴x3 的系数为 20.

1 12.(2012· 大纲全国)若(x+x)n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项 1 式系数相等,则该展开式中x2的系数为______. 答案 56
6 8-r 1 r 8 -2 r 解析 ∵C2 ∴n=8.Tr+1=Cr (x) =Cr .令 8-2r=-2, n=Cn, 8x 8x

1 解得 r=5.∴x2的系数为 C5 8=56.



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