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2016年贵州自主招生数学模拟试题:等可能事件及其概率


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2016 年贵州自主招生数学模拟试题:等可能事件及其概率
【试题内容来自于相关网站和学校提供】

1:一件产品要经过 2 道独立的加工工序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品 率为(

) : A、 1-a-b B、1-a· b C、 (1-a)· (1-b) D、1-(1-a)· (1-b)

2:分别写上数字 1,2,3,…,9 的 9 张卡片中,任取 2 张,观察上面的数字,两数之积为完全平方数的概率是 ( )

A、

B、

C、

D、

3:2 名男生和 2 名女生站成一排,则 2 名男生相邻的概率为

A、

B、

C、

D、

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4:在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球, 这些小球除标注的数字外完全相同。现从中随机取出 2 个小球, 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( )

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5:一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球,从中摸出一个,每个球被摸出的可能 性是相同的。现从中摸出两个球,均是红球的概率为 ,已知袋中红球有 3 个,则袋中共有球的个数为 A、4 B、5 C、 6 D 、7

6:甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军。 若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 。

7:从数字 1,2,3,4 中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于 30 的概率是



8: 由 0, 1, 2, 3, 4 组成的四位数中, 含有数字 0。 且恰有 2 个数位上的数字 重复的四位数的个数是____________。 (用数字作答)

9:定义集合 与 的差集 取一个元素 ”为事件 ; 设集合 总有 ,集合 ;③若 ,则

。记“从集合 中任取一个元素 ”为事件 ,“从集合 中任 为事件 发生的概率, 为事件 发生的概率。 当 , 且 时, 。给出下列判断: ①当 ;④ 时, ;② 。

不可能等于 1。其中所有判断正确的序号是

10:在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中任取一张卡片,则两数之和等于 5 的概率为______________________.

11:对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取

名学生作为样本,得到这

名学生参加社

区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:

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(Ⅰ)求出表中

及图中 的值; 内的人数;

(Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间

(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区服务次数在 区间 内的概率.

12:如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查,调查结果如 下:

(1)试估计 40 分钟内不能

赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3) 现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站, 为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站, 试通过计算说明,他们应如何选择各自的 路径。

13:(本小题满分 12 分) 甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红 2, 红 3, 红 4, 方 4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上, 甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。 (Ⅰ)设 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况。

(Ⅱ)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (Ⅲ)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜。你认为此游戏是否公平,说明你 的理由。

14: (本小题满分 12 分) 某校高三(1)班共有 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 分钟到 长短分 个组统计得到如下频率分布表: (1)求分布表中 , 的值; (2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性,需要在这

分钟之间,按他们学习时间的

名学生中按时间用分层抽样的方

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法抽取 名学生进行研究,问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组的学生中男、女生均为 人。在(2)的条件下抽取第一组的学生,求既有男生又有女生被抽中 的概率。

15: 、 (本小题满分 12 分) 我校高一有 A,B,C 三科兴趣小组,用分层抽样方法从参加这三科的同学中,抽取若干人组成一个队,代表我 校参加德州市组织的科技竞赛活动,有关数据见下表(单位:人) (1)求 x,y ; (2)若从 B、C 两科抽取的人中选 2 人参加市队, 求这二人都来自 C 科的概率。

答案部分

1、C

试题分析:根据分步原理知,产品为正品时需要这两道工序都为正品,∴产品的正品率为(1-a)· (1-b) ,故 选C 考点:本题考查了对立与独立事件概率的求法 点评:区分对立事件与独立事件是解决此类问题的关键,属基础题

2、A

试题分析:所有的取法有

种,两数之积为完全平方数有 1 和 4;1 和 9;2 和 8;4 和 9,两数的积是完全平方

数,两数之积为完全平方数的概率 考点:等可能事件的概率.

.

3、C

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4

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本题是一个等可能事件的概率,四个人站成一排,共有 A4 ,2 名男生相邻,可以把两名男生看成一个元素,同 另外两个元素进行排列,男生内部也有一个排列,共有 A3 A2 ,得到概率。 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生所包含的事件是四个人站成一排,共有 A4 =24 种结果, 满足条件的事件是 2 名男生相邻,可以把两名男生看成一个元素, 同另外两个元素进行排列,男生内部也有一个排列,共有 A3 A2 =12 种结果, ∴要求的概率是 12/24=1/2 故选 C、
3 2 4 3 2

4、A 略

5、C 略

6、

.

试题分析:甲要获得冠军共分为两种情况: (1)第一场就取胜,这种情况的概率为

; (2)第一场失败,第二

场取胜,这种情况的概率为 考点:等可能事件的概率.

,则甲获得冠军的概率为

.故应填

.

7、

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试题分析:由题意,从数字 1,2,3,4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,总数为 A4 =12,事件“两位数 大于 30”只能是十位是 4, 3, 个数是其余三个数中的一个, 求出此事件包含的基本事件数, 求出事件的概率. 解: 由题意从数字 1,2,3,4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,总数为 A4 =12,事件“两位数大于 30”包含的
2

2

基本事件数是 2×3=6 个,故事件“两位数大于 30”的概率是故答案为 考点:等可能事件的概率 点评:本题考查等可能事件的概率,解题的关键是理解事件“两位数大于 40”确定此事件的计数方法,本题概率 基本公式考查题,考查分析判断的能力及计数的方法

8、144 略

9、

①②

:考查集合与概率(等可能事件、对立事件的概率)的基本知识,阅读理解能力及灵活与综合运用数学知识分析 解决问题的能力。①当 是对立事件,总有 , 等于 1。 时, ;③若 ,则 , ;②由题意,事件 与事件 时,

的取值可为任意小于 的整数;④当

10、

考点:等可能事件的概率。 分析:本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是两数之和共有的情况,可以通过列举得到结果,这些情况发 生的可能性相等,满足条件的事件可以从列举出的表格中看出有 6 种,根据古典概型概率公式得到结果。 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示 36 种情况。

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其中和为 5 的从表中可以看出有 6 种情况,

∴所求事件的概率为

=



故答案为:

11、 (Ⅰ)

,p=0.25,a=0.12;(II)

人;(III)

.

试题分析: (I)根据频率,频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量,写出算式,求出式子中的 字母的值。 (II)根据该校高三学生有 240 人,分组[10,15)内的频率是 0.25,估计该校高三学生参加社区服务的次数在此 区间内的人数为 60 人。 (III)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6 人,设出在区间[20,25)内的人为 a1,a2, a3,a4,在区间[25,30)内的人为 b1,b2,列举出所有事件和满足条件的事件,得到概率。

试题解析: (Ⅰ)由分组

内的频数是 4,频率是 0.1 知,

,所以

所以



.

所以 (Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 所以估计在此区间内的人数为 人. 内的频率是 ,

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(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 设在区间 则任选 人共有 内的人为 ,在区间 内的人为 人, 。

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,共 15 种情况,

而两人都在

内只能是

一种,所以所求概率为

考点:1.频率分布表与频率分布直方图;2。等可能事件的概率.

12、 (1)0.44 (2)

所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L1 的频率 L2 的频率
(3)见解析

0

0.1

0.4

0.4

0.1

试题分析: (1) 先从表中看出不能按时赶到火车站的人数, 把所有的四项人数相加, 用这个人数除以调查的总数, 得到要求的概率。 (2)从表中可以看出选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,用每一组的人数除以选择这条道路的人数,得到 频率。 (3)分别求出甲和乙两个人分别选择两条道路时,根据互斥事件的概率做出能够按时赶到火车站的概率,把所 求的两个概率比较,分别给甲和乙选择合适的道路。 解: (1)由已知共调查了 100 人, 其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人, ∴用频率估计相应的概率为 0.44。 (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为:

所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L1 的频率

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L2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1

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(3)A1,A2,分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站; B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站。 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6 P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2)∴甲应选择 L1 P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8 P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1) , ∴乙应选择 L2。 点评:本题考查等可能事件的概率,考查频率分布表,考查用样本估计总体,本题题干比较长,但解题时应用的 原理不复杂,是一个基础题。

13、(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况为: (红 2,红 3) 、 (红 2,红 4) 、 (红 2,红 4 ) 、 ( 红 3,红 2) 、 (红 3,红 4) 、 (红 3,方 4 ) 、 ( 红 4,红 2) 、 (红 4,红 3) 、 (红 4,方 4 ) 、 (方 4, 红 2) 、 (方 4 , 红 3) (方 4 , 红 4) , 共 12 种不同情况 ;

(2)乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为

; (3)此游戏不公平。

该题考查随机事件的基本事件与等可能事件的概率,每问都根据实际情况找出事件数,然后求其概率,第三问最 甲乙获胜的概率进行了分析,判断出游戏不公平具有现实意义。 解:(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况为: (红 2,红 3) 、 (红 2,红 4) 、 (红 2,红 4 ) 、 ( 红 3,红 2) 、 (红 3,红 4) 、 (红 3,方 4 ) 、 ( 红 4,红 2) 、 (红 4,红 3) 、 (红 4,方 4 ) 、 (方 4, 红 2) 、 (方 4 , 红 3) (方 4 , 红 4) , 共 12 种不同情况 -----------------------------------------4 分

(2)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4。因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为

;----6 分

(3)由甲抽到牌比乙大有(红 3,红 2) 、 (红 4,红 2) 、 (红 4,红 3) 、 (方 4 ,红 2) 、 (方 4 ,3) 5 种,------------------------8 分

甲胜的概率

,乙获胜的概率为

。------------------------------10 分

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∴此游戏不公平。-------------------------------------12 分

14、解: (1)

, 得 。

。……………………4 分

(2)设应抽取 名第一组的学生,则

故应抽取 名第一组的学生。 ……………………………6 分 (3)在(II)的条件下应抽取 名第一组的学生。 记第一组中 名男生为 , 名女生为 。 按时间用分层抽样的方法抽取 名第一组的学生共有 种等可能的结果,列举如下: 。 ……………………………9 分 其中既有男生又有女生被抽中的有 这 种结果, ………………10 分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为 略 …………………………12 分

15、解: (1)x="1,y=3 " (2) 略


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