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吉林省实验中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 理


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吉林省实验中学 2014—2015 学年度下学期期末考试 高一数学理试题
一、选择题. (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上) 1.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 3n ? 4(n ? N*) ,则 a 4 等于(
2



A.1

B.2

C.0

D.3

2.在 ?ABC 中,设 BC ? a, AC ? b ,且 a ? 2, b ? 3, a ? b ? 3 ,则∠C 的大小为( A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。

uu u r

r uuu r

r

r

r

r r



3.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么球的体积扩大到原来的 ( A.2 倍 B. 2 2 倍 C. 2 倍 ) D. <

).

D. 3 2 倍

4.已知 a,b 为非零实数且 a<b,则下列命题成立的是( A.a <b
2 2

B.ab >a b

2

2

C.

1

ab a b

2

<

1
2

b a a b

5 对于直线 m,n 和平面 α ,β ,γ ,有如下四个命题: (1)若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α (2)若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α (3)若 α ⊥β ,γ ⊥β ,则 α ∥γ , (4)若 m⊥α ,m∥n,n? β ,则 α ⊥β 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是( )

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20 A. 3 16 B. 3 π C.8- 6 π D.8- 3

7.在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 错误! 未找到引用源。 则其通项公式为 an 错误! 未找到引用源。=( )

A.错误!未找到引用源。 -1 D.2(n-1)

2n ? 1

B. 错误! 未找到引用源。2

n -1

?1

C. 2n

8.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,∠B= 的面积为( A. 2 3+2 ) B. 3+1 C. 2 3-2

?
6

,∠C=

?
4

,则△ABC

D. 3-1

9.如图,在长方体 ABCD ? A 1 ? 1 ,则 BC1 与平面 BB 1D 1D 错 1B 1C1 D 1 中,AB=BC=2, AA 误!未找到引用源。所成角的余弦值为( )

A

B.

C.

D.

10 等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 , , a22 ? a1a4 , 若a1, a3 , ak1 , ak2 ,L , akn ,L 成等比数列, , 则 kn ? ( A. nd ) B. 3 n ? 2 C. 3 n ?1 D. 3 n

11 正数 x, y满足 log2 ( x ? y ? 3) ? log2 x ? log2 y, 则x ? y 的取值范围是 A. (0,6] B. [6,??) C. [1 ? 7 ,??)





D. (0,1 ? 7 ]

12. 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB=1, 若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60°, 则点 C 到 平面 C1 AB 的距离为 ( )

2

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A. 1

B.

1 2

C.

3 2

D.

3 4

二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应的横 线上. ) 13 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,则数列 ?a n ? 的通项公式为
n

14 一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB 与 CM 成 60°角;③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是

15. 要制作一个容积为 4 错误!未找到引用源。 ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 _________(单位:元). 16. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1, P 2 错误!未找到引用源。分别是线段 1B 1C1 D 1 中,点 P AB, BD1 错误!未找到引用源。(不包括端点)上的动点,且线段 P 1P 2 错误!未找到引用源。 平行平面 A ,则四面体 PP 1 ADD 1 错误!未找到引用源。 1 2 AB 1 错误!未找到引用源。的体积 的最大值是 三、解答题. (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17.(本题 10 分)已知不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? 2或x ? 1 。 (1)求 b和c 的值; (2)求不等式 cx 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集

?

?

3

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18. (本题 12 分)??? C 的内角 ? ,? ,C 所对的边分别为 a , b ,c . 向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行. (I)求 ? ; (II)若 a ? 7 , b ? 2 ,求 ??? C 的面积.

r

?

?

r

19. (本题 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP= AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; P (Ⅱ)求四棱锥 P—ABCD 的表面积 S.

E A B

F D C

20(本题 12 分)如图,在三棱锥 A-BOC 中,OA⊥底面 BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC =4,BC= 2 2 ,动点 D 在线段 AB 上. (1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 OD⊥AB 时,求三棱锥 C-OBD 的体积.

4

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21(本题 12 分). 如图, 四棱柱 ABCD ? A 1 错误!未找到引用源。 1B 1C1 D 1 中, 侧棱 AA ⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1 ? CE 错误!未找到引用源。 (Ⅱ) 求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段错误!未找到引用源。 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1 A 1 错误!未找

2 到引用源。所成角的正弦值为 6 , 求线段 AM 的长.

2Sn 2 22.(本小题 12 分)数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an ? (n ? 2) 2Sn ? 1
(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列 ? Sn ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式
?

(3) 设存在正数 k , 使 求k ( 1+S1 )(1 ? S2 )L (1 ? Sn ) ? k 2n ?1 对于一切 n ? N 都成立, 的最大值。

5

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参考答案 选择题: 1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D

13. an ? ?

?5(n ? 1) ?2
n ?1

(n ? 2)

14.①③

15.160

16.

1 24

17. (1)不等式

的解集为 的两个根为 1,2 由根与系数关系的

所以与之对应的二次方程

(2)不等式

化简为



等式的解为

18.(I)因为

,所以

由正弦定理,得





,从而



由于



所以

(II)解法一:由余弦定理,得

,而







,即

因为

,所以

,故

面积为

.

6

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解法二:由正弦定理,得

,而

又由



,所以





所以

面积为

.

19. (1)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC,又 BC∥AD,∴EF∥AD, ∴EF∥平面 PAD。

(2) 3 2+ 3+3

20. (1)证明:∵AO⊥底面 BOC,∴AO⊥OC,AO⊥OB. ∵∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,∴OC=OB=2. ∵BC = 2 ,∴OC⊥OB,∴OC⊥平面 AOB. ∵OC? 平面 COD,∴平面 COD⊥平面 AOB. (2)

3 3

21(Ⅰ)证明:因为侧棱 CC1 ⊥底面 A1B1C1D1 , B1C1 ? 平面 A1B1C1D1 .所以 CC1 ? B1C1 . 经计算可得 B1E ? 5 , B1C1 ? 2 , EC1 ? 3 ,从而 B1E ? B1C1 ? EC1 .所以在
2 2 2

△ B1EC1 中, B1C1 ? C1E ,又 CC1 , C1E ? 平面 CC1E , CC1 ? C1E ? C1 ,所以 B1C1 ⊥ 平面 CC1E ,又 CE ? 平面 CC1E ,故 B1C1 ? CE .

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)解:过 B1 作 B1G ⊥ CE 于点 G,连接 C1G .由(Ⅰ), B1C1 ? CE 垂直,故 CE ⊥平 面 B1C1G ,得 CE ? C1G ,所以∠ B1GC1 为二面角 B1-CE-C1 的平面角.在△ CC1E 中,由

CE ? C1E ? 3 , CC1 ? 2 ,可得 C1G ?
sin ?B1GC1 ?
(3)

2 6 42 .在 Rt△ B1C1G 中, B1G ? ,所以 3 3

21 21 ,即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 . 7 7

2

22 (1)因为 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

2Sn 2 得 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 2Sn ? 1

由题意 Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

又 S1 ? a1 ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?

(2)由(1)有

1 1 n? N?? ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? S n ? ? 2n ? 1 Sn

? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 ? ?? . 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1 ? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(3)设 F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ???1 ? Sn ?
2n ? 1

F (n ? 1) (1 ? Sn ?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4n 2 ? 8n ? 4 则 ? ? ? ?1 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2 n ? 3 4n2 ? 8n ? 3
? F (n) 在 n ? N ? 上递增
又 F (n)min ? F (1) ? 故使 F (n) ? k 恒成立只需 k ? F (n)min 又k ? 0

2 3 3

? 0?k ?

2 3 2 3 ,所以, k 的最大值是 . 3 3
8

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