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河南省开封市2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)


河南省开封市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)若集合 M={x|y=lg A.(0,2] },N={x|x<1},则 M∩?RN=() C.[1,2)
3

B.(0,2)

D.

(0,+∞)

2. (5 分)已知复数 z 满足 z(1+i) =1﹣i,则复数 z 对应的点在()上. A.直线 y=﹣ x B.直线 y= x C.直线 x=﹣ D.直线 y=﹣

3. (5 分)下列命题中为真命题的是() A.若 x≠0,则 x+ ≥2 B. 命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x ≠1 C. “a=1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件 2 2 D.若命题 P:?x∈R,x ﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x ﹣x+1>0 4. (5 分)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花 纤维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所 示.从抽样的 100 根棉花纤维中任意抽取一根,则其棉花纤维的长度小于 20mm 的概率是()
2 2

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.12

B.24

C.30

D.48

6. (5 分)已知{an}为正项等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a1=16,且 a4 与 a7 的等差中项为 ,则 S5 的值() A.29 B.31 C.33 D.35

7. (5 分)已知程序框图如图则输出的 i 为()

A.7

B. 8

C. 9 )的图象与函数 y=cos(x﹣

D.10 )的图象()

8. (5 分)函数 y=sin(2x﹣

A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C. 既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 9. (5 分) 从 6 本不同的书中选出 4 本, 分别发给 4 个同学, 已知其中两本书不能发给甲同学, 则不同分配方法有() A.180 B.220 C.240 D.260 10. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切 线,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.( ,+∞) C.( ,e) D.(e,+∞)
x

11. (5 分) 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2, ∠DAB=60°, E 为 AB 的中点, 将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体 积为()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)已知双曲线



=1(b∈N )的两个焦点 F1,F2,点 P 是双曲线上一点,|OP|

*

<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线的离心率为() A.2 B. 3 C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须作答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求作答.
x

13. (5 分)设不等式组

,表示的平面区域为 D,若指数函数 y=a 的图象上存

在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是. 14. (5 分)若等边△ ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足 = + ,则 =.

?

15. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2)且当 x∈[﹣ 2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a >1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是. 16. (5 分)设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3(n=4,5,…) ,则 a2015=.
x

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知 2 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos A. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b=5,sinBsinC= ,求△ ABC 的面积 S.

18. (12 分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次 出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂 已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 x(年) 0<x<1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 455 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌 轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车, 若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 19. (12 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. (Ⅰ)求证:PC⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值.

20. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切 x∈(0,+∞) ,2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 xlnx> ﹣ .

2

21. (12 分)已知点 P 是圆 F1: (x+1) +y =16 上任意一点(F1 是圆心) ,点 F2 与点 F1 关于 原点对称.线段 PF2 的中垂线 m 分别与 PF1、PF2 交于 M、N 两点. (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; 2 (Ⅱ)直线 l 经过 F2,与抛物线 y =4x 交于 A1,A2 两点,与 C 交于 B1,B2 两点.当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|.

2

2

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CA、BD 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长 线于点 F.求证: (1)∠DEA=∠DFA; 2 (2)AB =BE?BD﹣AE?AC.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲 线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. , Q 为 C2 上的动点, 求 PQ 中点 M 到直线 C3: ρ (cosθ

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|. (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x) , (a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数 x 的范围.

河南省开封市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)若集合 M={x|y=lg A.(0,2] },N={x|x<1},则 M∩?RN=() C.[1,2) D.(0,+∞)

B.(0,2)

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 的解集,求出 N 的补集,根据交集的定义求出即可. 解答: 解:∵集合 M={x|y=lg 又∴N={x|x<1}, ∴(CRN)=[1,+∞) , }={x|x(2﹣x)>0}=(0,2) ,

∴M∩?RN=[1,2) , 故选:C 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知复数 z 满足 z(1+i) =1﹣i,则复数 z 对应的点在()上. A.直线 y=﹣ x B.直线 y= x C.直线 x=﹣ D.直线 y=﹣
3

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解:由 z(1+i) =1﹣i,得 = .
3

∴复数 z 对应的点在直线 x=﹣ 上. 故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 3. (5 分)下列命题中为真命题的是() A.若 x≠0,则 x+ ≥2 B. 命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x ≠1 C. “a=1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件 D.若命题 P:?x∈R,x ﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x ﹣x+1>0 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 对四个命题,分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:对于 A,x>0,利用基本不等式,可得 x+ ≥2,故不正确; 对于 B,命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x ≠1,正确; 对于 C,“a=±1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件,故不正确; 2 2 对于 D,命题 P:?x∈R,x ﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x ﹣x+1≥0,故不正确. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 4. (5 分)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花 纤维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所 示.从抽样的 100 根棉花纤维中任意抽取一根,则其棉花纤维的长度小于 20mm 的概率是()
2 2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图每一个小矩形的面积等于该组的概率,易得到答案. 解答: 解:由图可知,棉花纤维的长度小于 20mm 段的概率为(0.01+0.01+0.04)×5=0.3 故答案为:A. 点评: 本题考查了频率分布直方图的相关知识,直方图中的各个矩形的面积代表了频率. 5. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.12 考点: 专题: 分析: 解答:

B.24

C.30

D.48

由三视图求面积、体积. 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 由三视图可知其直观图,从而求其体积. 解:由三视图可知其直观图如下所示,

其由三棱柱截去一个三棱锥所得,

三棱柱的体积 V= ×4×3×5=30, 三棱锥的体积 V1= × ×4×3×3=6, 故该几何体的体积为 24; 故选 B. 点评: 本题考查了学生的空间想象力与作图计算的能力,属于基础题. 6. (5 分)已知{an}为正项等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a1=16,且 a4 与 a7 的等差中项为 ,则 S5 的值() A.29 B.31 C.33 D.35

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设正项等比数列的公比为 q, 运用等比数列的通项公式和等差数列的性质, 求出公比, 再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求. 解答: 解:设正项等比数列的公比为 q, 3 6 则 a4=16q ,a7=16q , a4 与 a7 的等差中项为 , 即有 a4+a7= , 即 16q +16q ,= , 解得 q= (负值舍去) ,
3 6

则有 S5=

=

=31.

故选 B. 点评: 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算 能力,属于中档题. 7. (5 分)已知程序框图如图则输出的 i 为()

A.7

B. 8

C. 9

D.10

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中的流程图,我们模拟程序的运行结果,分别讨论 S 与 i 的值是否满足继续 循环的条件,当条件满足时,即可得到输出结果. 解答: 解:由程序框图可得 解:S=1,i=3 不满足条件 S≥100,执行循环体 S=1×3=3,i=3+2=5,不满足条件 S≥100,执行循环体 S=3×5=15,i=5+2=7,不满足条件 S≥100,执行循环体 S=15×7=105,i=7+2=9,满足条件 S≥100,退出循环体 此时 i=9 故选 C. 点评: 考查程序框图的基本内容,考查简单的逻辑推理能力.模拟循环的执行过程是解答 此类问题常用的办法,属于基础题.

8. (5 分)函数 y=sin(2x﹣

)的图象与函数 y=cos(x﹣

)的图象()

A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C. 既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 分别求出 2 函数的对称轴和对称中心即可得解. 解答: 解: 由 2x﹣ k∈Z. =k , k∈Z, 可解得函数 y=sin (2x﹣ ) 的对称轴为: x= + ,

由 x﹣

=kπ,k∈Z,可解得函数 y=cos(x﹣

)的对称轴为:x=kπ

,k∈Z.

故 2 个函数没有相同的对称轴. 由 2x﹣ 由 x﹣ =kπ,k∈Z,可解得函数 y=sin(2x﹣ =k )的对称中心为: ( )的对称中心为: (kπ+ ,0) ,k∈Z. ,0) ,k∈Z.

,k∈Z,可解得函数 y=cos(x﹣

故 2 函数没有相同的对称中心. 故选:D. 点评: 本题主要考查了三角函数的图象和性质,属于基本知识的考查. 9. (5 分) 从 6 本不同的书中选出 4 本, 分别发给 4 个同学, 已知其中两本书不能发给甲同学, 则不同分配方法有() A.180 B.220 C.240 D.260 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 分两步,第一步,先确定甲分到书,第二步,再确定;另外 3 人的分到的书,根据 分步计数原理可得. 解答: 解:因为其中两本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的 4 本种分一本,然后再 选 3 本分给 3 个同学,故有 =240 种.

故选:C 点评: 本题考查了分步计数原理,关键是如何分步,属于基础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切 线,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.( ,+∞) C.( ,e) D.(e,+∞)
x

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. x 分析: 求函数的导数,利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件,转化为(e ﹣m)e= ﹣1,有解,即可得到结论. x 解答: 解:函数的 f(x)的导数 f′(x)=e ﹣m, 若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线, x 则切线斜率 k=e ﹣m, x 满足(e ﹣m)e=﹣1, 即 e ﹣m=﹣ 有解, 即 m=e + 有解, ∵e + > ,
x x x

∴m> , 故选:B 点评: 本题主要考查导数的几何意义的应用,以及直线垂直的关系,结合指数函数的性质 是解决本题的关键. 11. (5 分) 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2, ∠DAB=60°, E 为 AB 的中点, 将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体 积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

球内接多面体;球的体积和表面积. 计算题;综合题;压轴题. 判定三棱锥的形状,然后求出它的外接球的半径,再求体积. 解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1, ,外接球的体积为 ,

故外接球半径为

故选 C. 点评: 本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题.

12. (5 分)已知双曲线



=1(b∈N )的两个焦点 F1,F2,点 P 是双曲线上一点,|OP|

*

<5,|PF1|, |F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线的离心率为() A.2 B. 3 C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过等比数列的性质和双曲线的定义,余弦定理推出:|OP| =20+3b .利用|OP|<5, b∈N,求出 b 的值,求出 c,再由离心率公式计算即可得到. 解答: 解:由题意,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列, 2 可知,|F1F2| =|PF1||PF2|, 2 即 4c =|PF1||PF2|, 2 2 由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=4,即|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|=16, 2 2 2 可得|PF1| +|PF2| ﹣8c =16…① 设∠POF1=θ,则∠POF2=π﹣θ, 2 2 2 由余弦定理可得:|PF2| =c +|OP| ﹣2|OF2||OP|cos(π﹣θ) ,
2 2

|PF1| =c +|OP| ﹣2|OF1||OP|cosθ, 2 2 2 2 |PF2| +PF1| =2c +2|OP| ,…②, 2 2 2 由①②化简得:|OP| =8+3c =20+3b . 2 因为|OP|<5,b∈N,所以 20+3b <25. 所以 b=1. c= 即有 e= = = . ,

2

2

2

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的定义、方程和性质,余弦定理以及等比数列的应用,是一道综合 问题,考查分析问题解决问题的能力. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须作答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求作答.
x

13. (5 分)设不等式组

,表示的平面区域为 D,若指数函数 y=a 的图象上存

在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 1<a≤3. 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;指数函数的图像与性质. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 先依据不等式组

,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画
x

出其表示的平面区域,再利用指数函数 y=a 的图象特征,结合区域的角上的点即可解决问题. x 解答: 解:作出区域 D 的图象,联系指数函数 y=a 的图象,能够看出, 当图象经过区域的边界点 C(2,9)时,a 可以取到最大值 3, 而显然只要 a 大于 1,图象必然经过区域内的点. 则 a 的取值范围是 1<a≤3. 故答案为:1<a≤3

点评: 这是一道略微灵活的线性规划问题,本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、 指数函数的图象与性质,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题. 14. (5 分)若等边△ ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足

=

+

,则

?

=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由等边△ ABC 的边长为 2,可得 , = .即可得出 ? = =2×2×cos60°.由 ,进而得到 = = + , . =2×2×cos60°=2. , ,可得

解答: 解:∵等边△ ABC 的边长为 2,∴CA=CB=2, ∵ ∴ ∴ = = = ? = ﹣ ﹣ + ,∴ , = . = ﹣ ,

=﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了数量积的运算及其性质,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 15. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2)且当 x∈[﹣ 2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a >1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是( , 2) .
x

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. x+2 分析: 由已知中可以得到函数 f (x) 是一个周期函数, 且周期为 4, 将方程 f (x) ﹣loga =0 x+2 恰有 3 个不同的实数解,转化为函数 f(x)的与函数 y=﹣loga 的图象恰有 3 个不同的交点, 数形结合即可得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵对于任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(2+x) ,∴函数 f(x)是一个周期函数, 且 T=4.

又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0 恰有 3 个不同的实数解, 则函数 y=f(x)与 y=loga(x+2)在区间(﹣2,6]上有三个不同的交点,如下图所示:

x

又 f(﹣2)=f(2)=3, 则对于函数 y=loga(x+2) ,由题意可得,当 x=2 时的函数值小于 3,当 x=6 时的函数值大于 3, 即 loga4<3,且 loga8>3,由此解得: 故答案为: ( ,2) . <a<2,

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,指数函数与对数函数的图象与性 质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是解 答本题的关键,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题. 16. (5 分) 设数列{an}满足: a1=1, a2=4, a3=9, an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3 (n=4, 5, …) , 则 a2015=8057. 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由数列递推式得到 an+1=an+an﹣1﹣an﹣2,进一步得到 an+1+an﹣3=2an﹣1,说明数列{an} 的奇数项和偶数项均构成等差数列,由等差数列的通项公式求得 a2015. 解答: 解:由 an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3,得 an+1=an+an﹣1﹣an﹣2, 两式作和得:an+1=2an﹣1﹣an﹣3. 即 an+1+an﹣3=2an﹣1(n=4,5,…) . ∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列, ∵a1=1,a3=9,∴奇数项公差为 8. 则 a2015=a1+8(1008﹣1)=1+8×1006=8057. 故答案为:8057. 点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,是中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知 2 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos A. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b=5,sinBsinC= ,求△ ABC 的面积 S.

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦定理.

专题: 解三角形. 分析: (I)化简已知等式可得 2cos A+3cosA﹣2=0,即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0,即可解 得 cosA 的值,结合范围 0<A<π,即可求得 A 的值. (II)又由正弦定理,得 ?sin A═ .由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,又 b=5,即可解得 c
2 2 2 2 2

的值,由三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (I)由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos A,得 2 2cos A+3cos A﹣2=0,即(2cos A﹣1) (cos A+2)=0.﹣﹣﹣﹣(2 分) 解得 cos A= 或 cos A=﹣2(舍去) .﹣﹣﹣﹣(4 分) 因为 0<A<π,所以 A= .﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ?sin A═ .﹣(8 分)
2 2

(II)又由正弦定理,得 sinBsinC= sin A? sin A= 解得:bc= ,
2 2 2

由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA,又 b=5,所以 c=4 或 c= 所以可得:S= bcsin A= bc? = bc=5 或 S=

﹣﹣﹣﹣(10 分)

﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,三角形面积公 式的应用,属于基本知识的考查. 18. (12 分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次 出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂 已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 x(年) 0<x<1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 455 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌 轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车, 若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: (I)根据保修期为 2 年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量 为 2+3,由此可求其概率; (II)求出概率,可得 X1、X2 的分布列;

(III) 由 (II) , 计算期为 E (X1) =1× (万元 ) ,比较期望可得结论.

+2×

+3×

=2.86 (万元 ) , E (X2) =1.8×

+2.9×

=2.79

解答: 解: (I) 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 则P (A) = (II)依题意得,X1 的分布列为 X1 1 P X2 的分布列为 X2 P (III)由(II)得 E(X1)=1× E(X2)=1.8× +2.9× +2× +3× =2.86(万元 )

2

3

1.8

2.9

=2.79(万元 )

∵E(X1)>E(X2) , ∴应生产甲品牌轿车. 点评: 本题考查概率的求解,考查分布列与期望,解题的关键是求出概率,属于基础题. 19. (12 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. (Ⅰ)求证:PC⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明 PC⊥平面 ABC; (Ⅱ)建立坐标系,利用向量法即可求二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值. 解答: 证明: (Ⅰ)取 AB 的中点 D,连结 PD,CD. ∵AP=BP,∴PD⊥AB. ∵AC=BC,∴CD⊥AB. ∵PD∩CD=D, ∴AB⊥平面 PCD.﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵PC?平面 PCD, ∴PC⊥AB, 又∵PC⊥AC, ∴PC⊥平面 ABC﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C﹣xyz. 则 C(0,0,0) ,A(0,2,0) ,B(2,0,0) . 设 P(0,0,t) .﹣﹣﹣(8 分) ∵|PB|=|AB|=2 , ∴t=2,P(0,0,2) .﹣﹣﹣﹣(9 分) 取 AP 中点 E,连结 BE,CE. ∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|, ∴CE⊥AP,BE⊥AP. ∴∠BEC 是二面角 B﹣AP﹣C 的平面角. ∵E(0,1,1) , , ,

∴cos

=



∴二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值为



点评: 本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系,利用向量法是解决 空间角的常用方法. 20. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切 x∈(0,+∞) ,2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:对一切 x∈(0,+∞) ,都有 xlnx> ﹣ .
2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求导数,然后讨论极值点与区间[t,t+1]的关系,确定函数的单调性,从而求 出最值; (2)分离参数,转化为函数的最值问题求解; (3) 只需不等号左边的最小值大于右边函数的最大值即可, 然后分别求出函数最值解决问题. 解答: 解: (1)由已知得 f′(x)=1+lnx,令 f′(x)=0.得 x= . 若 ,则当 x∈[t,t+2]时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在[t,t+2]上递增,所以 f(x)min=f

(t)=tlnt;



,即

时,则当 x 上递减,在 ;

时,f′(x)<0,当 上递增,

时,

f′(x)>0,所以 f(x)在 所以此时 f(x)min=f( )=

所以 f(x)min=


2

(2)由题意,不等式化为 ax≤2xlnx+x +3,因为 x>0, 所以 ,当 x>0 时恒成立.

令 h(x)=2lnx+x+ ,则 h



当 0<x<1 时,h′(x)<0,x>1 时,h′(x)>0,所以 h(x)在(0,1)上递减,在(1, +∞)上递增. 故 h(x)min=h(1)=2ln1+1+3=4.所以 a≤4. 故所求 a 的范围是(﹣∞,4]. (3)令 t(x)=xlnx,易知 t′(x)=1+lnx,令 t′(x)=0 得 t= .由(1)知,此时 t(x)min=t ( )=﹣ . ,当 x∈(0,1)时,m′(x)>0,当 x∈(1,+∞)

再令 m(x)= 时,m′(x)<0.

,则

所以 m(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以 m(x)max=m(1)= 所以 t(x) ,又因为两者取等号时的条件不一致,



所以 t(x)>m(x)恒成立. 即对一切 x∈(0,+∞) ,都有 xlnx> ﹣ .

点评: 本题主要考查了不等式恒成立问题的解题思路,一般此类问题转化为函数的最值问 题来解. 21. (12 分)已知点 P 是圆 F1: (x+1) +y =16 上任意一点(F1 是圆心) ,点 F2 与点 F1 关于 原点对称.线段 PF2 的中垂线 m 分别与 PF1、PF2 交于 M、N 两点. (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; 2 (Ⅱ)直线 l 经过 F2,与抛物线 y =4x 交于 A1,A2 两点,与 C 交于 B1,B2 两点.当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|.
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (I)先确定 F1、F2 的坐标,再根据线段 PF2 的中垂线与与 PF1、PF2 交于 M 点,结 合椭圆的定义,可得点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆,从而可得点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,B1(1, ) ,B2(1,﹣ ) ,不满足条件,当直线 l 不与 x 轴

垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) ,由

,得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣

2

2

2

2

12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|. 解答: 解: (I)由题意得,F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,圆 F1 的半径为 4,且|MF2|=|MP|, 从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,…(2 分) ∴点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆,…(4 分) 其中长轴 2a=4,得到 a=2,焦距 2c=2, 则短半轴 b= , 椭圆方程为: …(5 分)

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,B1(1, ) ,B2(1,﹣ ) ,又 F1(﹣1,0) , 此时 ,所以以 B1B2 为直径的圆不经过 F1.不满足条件.…(6 分)

当直线 l 不与 x 轴垂直时,设 L:y=k(x﹣1)
2 2 2 2



即(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,

因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点. 设 B1(x1,y1) ,B2(x2,y2) ,则:x1+x2= 因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1,所以
2

,x1x2=



,又 F1(﹣1,0)
2 2

所以(﹣1﹣x1) (﹣1﹣x2)+y1y2=0,即(1+k )x1x2+(1﹣k ) (x1+x2)+1+k =0 所以解得 k = ,…(8 分)
2 2 2 2 2



得 k x ﹣(2k +4)x+k =0

因为直线 l 与抛物线有两个交点,所以 k≠0, 设 A1(x3,y3) ,A2(x4,y4) ,则:x3+x4= =2+ ,x3x4=1

所以|A1A2|=x3+x4+p=2+

+2=

.…(12 分)

点评: 求圆锥曲线的方程,一般利用待定系数法;解决直线与圆锥曲线的位置关系问题, 一般设出直线方程,将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数,得到关于一个未知数 的二次方程, 利用韦达定理, 找突破口. 注意设直线方程时, 一定要讨论直线的斜率是否存在, 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了转化思想,属于中档题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CA、BD 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长 线于点 F.求证: (1)∠DEA=∠DFA; (2)AB =BE?BD﹣AE?AC.
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题;压轴题. 分析: (1)连接 AD,利用 AB 为圆的直径结合 EF 与 AB 的垂直关系,通过证明 A, D,E, F 四点共圆即可证得结论; (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF,再利用△ ABC∽△AEF 得到比例式,最后利用线段间的 关系即求得 AB =BE?BD﹣AE?AC. 解答: 证明: (1)连接 AD,因为 AB 为圆的直径, 所以∠ADB=90°, (1 分) 又 EF⊥AB,∠AFE=90°, (1 分) 则 A,D,E,F 四点共圆(2 分) ∴∠DEA=∠DFA(1 分) (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF, (1 分) 又△ ABC∽△AEF∴ ,即 AB?AF=AE?AC(2 分)
2 2

∴BE?BD﹣AE?AC=BA?BF﹣AB?AF=AB?(BF﹣AF)=AB (2 分)

点评: 本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知 识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲 线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)曲线 C1:
2

, Q 为 C2 上的动点, 求 PQ 中点 M 到直线 C3: ρ (cosθ

(t 为参数) ,利用 sin t+cos t=1 即可化为普通方程;
2

2

2

C2: (Ⅱ)当 t=

(θ 为参数) ,利用 cos θ+sin θ=1 化为普通方程. 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,直

线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可 得出. 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1: ∴C1 为圆心是(﹣4,3) ,半径是 1 的圆. C2: (θ 为参数) ,化为 . (t 为参数) ,化为(x+4) +(y﹣3) =1,
2 2

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)当 t= 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7, M 到 C3 的距离 d= 从而当 cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 = |5sin(θ+φ)+13|, .

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、 椭圆与圆的参数与标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|. (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x) , (a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数 x 的范围.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 常规题型;压轴题;数形结合;分类讨论. 分析: 本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题.在解答时对(1)要 先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数,然后逐段画出图象;对(2)先结和条件 a≠0 将问题转化,见参数统统移到一边,结合绝对值不等式的性质找出 f(x)的范围,通过图 形即可解得结果.

解答: 解: (1)

(2)由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x) 得 又因为 则有 2≥f(x) 解不等式 2≥|x﹣1|+|x﹣2| 得

点评: 本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题.在解答过程中充分 体现了分类讨论的思想、数形结合的思想、问题转化的思想.值得同学体会和反思.


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