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2013江苏高一数学增效减负学案05:基本不等式的证明(1)


§3.4.1

基本不等式的证明(1)

常州市第一中学高一数学备课组
【三维目标】 : 一、知识与技能 1.探索并了解基本不等式的证明过程,体会证明不等式的基本思想方法; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题; 3.学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等 号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释; 二、过程与方法 1.通过实例探究抽象基本不等式; 2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探 究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解,并为以 后实际问题的研究奠定基础。 两个定理的证明要注重严密性, 老师要帮助学生分析每一步的 理论依据,培养学生良好的数学品质 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 2.培养学生举一反三的逻辑推理能力, 并通过不等式的几何解释, 丰富学生数形结合的 想象力 【教学重点与难点】 : 重点:应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 a b ? 过程; 难点:理解基本不等式 a b ?
a?b 2

a?b 2

的证明

等号成立条件及 “当且仅当 a ? b 时取等号”的

数学内涵 【学法与教学用具】 : 1.学法:先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中 实际问题还原出数学本质, 可积极调动地学生的学习热情。 定理的证明要留给学生充分的思 考空间,让他们自主探究,通过类比得到答案 2.教学用具:直角板、圆规、投影仪(多媒体教室) 【授课类型】 :新授课 【课时安排】 课时 :1 【教 学思路】 :

一、创设情景,揭示课题
1. 提问:
a?b 2

与 a b 哪个大?
a?b 2

2.基本不等式 a b ?

的几何背景:

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图

1

案中找出一些相等关系或不等关系吗? (教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系) 。

二、研探新知
重要不等式 :一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时,
2 2

等号成立。
(a ( 证明: a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) , 当 a ? b 时 , ? b ) ? 0, 当 a ? b 时 , a ? b ) ? 0,
2 2 2 2 2

所以

a ?b
2 2

2

? 2 ab

注意强调 当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2 ab
2

注意: (1)等号成立的条件, “当且仅当”指充要条件; (2) 公式中的字母和 既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的变量式,因此应用范围 比较广泛。 基本不等式:对 任意正数 a 、 b ,有
a?b 2 ? a b , 当且仅当 a ? b 时等号成立。

证法 1:可以将基本不等式 2 看作是基本不等式 1 的推论。 由基本不等式 1,得
( a) ? ( b) ? 2 a
2 2

b,

当且仅当

a ?

b 时等号成立。即

a?b 2

?

a b , 当且仅当

a ? b 时等号成立。

证法 2:
a ?

a?b 2

?

ab ?

1 2

[( a ) ? ( b ) ? 2 a
2 2

b] ?

1 2

( a ?

b ) ? 0 当且仅当
2

b 即 a ? b 时,取“ ? ” 。

证法 3:要证 a b ?
0?( a ? b)
2

a?b 2

,只要证 2 a b ? a ? b ,只要证 0 ? a ? 2 a b ? b ,只要证

因为最后一个不等式成立, 所以 a b ? 证 法 4 : 对 于

a?b 2

成立, 当且仅当 a ? 数
?

b 即 a ? b 时, “ ? ” 取 。


a?b 2

a,b
ab



( a ?

b) ? 0
2



? a ? b ? 2 ab ? 0 ? a ? b ? 2 a b , ?

说明: 把

a?b 2

和 a b 分别叫做正数 a , b 的算术平均数和几何平均数,上述不等式可

叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至 3 个正数。 (1)基本不等式成立的条件是: a ? 0, b ? 0 (2)不等式证明的三种方法:比较法(证法 1) 、分析法(证法 2) 、综合法(证法 3)

2

(3)

a?b 2

?

ab 的几何解释: (如图 1) a ? b 为直径作圆, 以 在直径 A B 上取一点 C , 过
2

C 作弦 D D ? ? A B , CD 则

? CA ? CB ? ab , 从而 CD ?

ab , 而半径

a?b 2

? CD ?

ab
D

基本不等式 a b ?

a?b 2

几何意义是: “半径不小于半弦”
A

(4)当且仅当 a ? b 时,取“ ? ”的含义:一方面是当 a ? b 时取等号,即
a ?b ?

a

C

b

B

ab ?

a?b 2

;另一方面是仅当 a ? b 时取等号,即

ab ?

a?b 2

(图 1) D

?

? a ?b。
2 2

(5)如果 a , b ? R ,那么 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”. ) (6)如果把
a ?b 2

看作是正数 a 、 b 的等差中项, ab 看作是正数 a 、 b 的等比中项,那

么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称
a ?b 2

为 a 、 b 的算术平均数,称 ab 为 a 、 b 的几何平均数.

本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例 1 (教材 P88 例 1) a , b 为正数, 设 证明下列不等式成立: 1) ? (
a b a b ? 2 ; 2) ? ( a 1 a
b a ? ? 2∴ a b

? 2

证明: (1)∵ a , b 为正数,∴ 原不等式成立。 (2)∵ a ,
1 a

b a b a , 也为正数,由基本不等式得 ? ? 2 a b a b

均为正数,由基本不等式得 a ?

1 a

? 2 a?

1 a

? 2 ,∴原不等式成立。

例 2 已知 a , b , c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

证 明 : ∵ a , b , c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 , ∴ a ? b ? 2 ab , b ? c ? 2 b c ,
2 2
2 2

c ?a
2

2

? 2 ca ,
2 2 2
2 2 2

以上三式相加:2 ( a ? b ? c ) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca , 所以,a ? b ? c ? ab ? bc ? ca . 例 3 已知 a , b , c , d 都是正数,求证 ( ab ? cd )( ac ? bd ) ? 4 abcd . 证明:由 a , b , c , d 都是正数,得: ∴
( a b ? cd )( a c ? b d ) 4 a b ? cd 2 ? a b cd ,即 ( ab ? cd )( ac ? bd ) ? 4 abcd . ? a b ? cd ? 0 , ac ? bd 2 ? ac ? bd ? 0 ,

3

例 4 已知函数 y 例 5 求证:

? x?

1 x ?1
? 2

, x ? (1, ?? )

,求 y 的范围

x ?4
2

x ?3
2



2 证明:∵ x ? 3 ? 0 , 又 x ? 3 ? 1 ,

2

∴ x ?3 ?
2

1 x ?3
2





x ?4
2

x ?3
2

?

( x ? 3) ? 1
2

x ?3
2

?

x ?3?
2

1 x ?3
2

? 2

x ?3?
2

1 x ?3
2

? 2

, 即

x ?4
2

x ?3
2

? 2.

四、巩固深化,反馈矫正
1.已知 x , y 都是正数,求证: ( x ? y )( x ? y )( x ? y ) ? 8 x y
2 2 3 3 3 3

2.已知 a , b , c 都是正数,求证: ( a ? b )( b ? c )( c ? a ) ? 8 abc ; 3. 思考题:若 x ? 0 ,求 x ?
1 x

的最大值

五、归纳整理,整体认识
1.算术平均数与几何平均数的概念; 2.基本不等式及其应用条件; 3.不等式证明的三种常用方法。 小结:正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

六、承上启下,留下悬念 七、板书设计(略) 八、课后记:

4


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